Đề thi học sinh giỏi giải toán trên Máy tính cầm tay tỉnh Thừa Thiên Huế - Khối 12 hệ bổ túc (2009 - 2010)

MTCT12BTTHPT - Trang 1
S GIO DC V O TO K THI CHN HC SINH GII TNH
THA THIấN HU GII TON TRấN MY TNH CM TAY
THI CHNH THC KHI 12 BTTHPT - NM HC 2009-2010

Thi gian lm bi: 150 phỳt
Ngy thi: 20/12/2009 - thi gm 5 trang
Điểm toàn bài thi
Các giám khảo
(Họ, tên và chữ ký)
Số phách
(Do Chủ tịch Hội đồng
thi ghi)
GK1

Bằng số

Bằng chữ
GK2


Qui nh: Hc sinh trỡnh by vn tt cỏch gii, cụng thc ỏp dng, kt qu tớnh toỏn vo
ụ trng lin k bi toỏn. Cỏc kt qu tớnh gn ỳng, nu khụng cú ch nh c th, c
ngm nh chớnh xỏc ti 4 ch s phn thp phõn sau du phy
Bi 1 (5 im).
Tớnh gn ỳng nghim (, phỳt, giõy) ca phng trỡnh
3cos2 5sin cos 2.
x x x

Túm tt cỏch gii:











Kt qu:









Bi 2 (5 im).
Tớnh gn ỳng giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca hm s:
2
( ) 2 3 2 3 5
f x x x x

.
Túm tt cỏch gii: Kt qu:

MTCT12BTTHPT - Trang 2










Bài 3: (5 điểm)
Tính gần đúng giá trị cực tiểu và giá trị cực đại của hàm số
2
2
2 5 3
2 1
x x
y
x
 



Tóm tắt cách giải: Kết quả:












Bài 4 (5 điểm). Khi sản xuất cái phểu hình nón (không có nắp) bằng
nhôm, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu
làm phểu là ít nhất, tức là diện tích xung quanh của hình nón là nhỏ
nhất. Tính gần đúng diện tích xung quanh của phểu khi ta muốn có
thể tích của phểu là 1
3
dm
.
Tóm tắt cách giải: Kết quả:

A
S
O

MTCT12BTTHPT - Trang 3







Bài 5 (5 điểm). Tính gần đúng nghiệm của hệ phương trình
2
2 2
6log 13log 6 0
3 2 12
y x
x x

  

 



Tóm tắt cách giải: Kết quả:

Bài 6 (5 điểm). Đa thức
4 3 2
( )
P x x ax bx cx d
    
có giá trị là 8; 0;
4

;
4

khi
x
lần
lượt nhận giá trị là 1; 2; 3; 4.
a) Xác định các hệ số
, , ,
a b c d
của đa thức
( )
P x

.
b) Tính chính xác các giá trị của
( )
P x
ứng với các giá trị của
15; 27; 159;2009.
x


Tóm tắt cách giải: Kết quả:











MTCT12BTTHPT - Trang 4
Bài 7 (5 điểm).
Cho tứ diện ABCD có AB = 12 dm; AB vuông góc với mặt
(BCD); BC = 7 dm; CD = 9 dm và góc CBD = 52
0
. Tính gần đúng
thể tích và diện tích toàn phần của tứ diện ABCD.
Tóm tắt cách giải: Kết quả:

Bài 8 (5 điểm). Cho dãy hai số
n
u
xác định như sau:
2
1 1 1
1; 5 24 8 ( 2,3,4, )
n n n
u u u u n
 
     .
a) Tính chính xác các giá trị
2 3 4 5 10 11 12 13
; ; ; ; ; ; ; .
u u u u u u u u

b) Từ đó dự đoán rằng dãy số luôn luôn nhận giá trị nguyên. Hãy thiết lập công thức
truy hồi để tính
2

n
u

theo
1
n
u

và
n
u
.

Tóm tắt cách giải: Kết quả:














MTCT12BTTHPT - Trang 5

Bài 9 (5 điểm). Tìm giá trị gần đúng của
a
và
b
để đường thẳng
y ax b
 
là tiếp tuyến
của đồ thị (C) của hàm số
4 3
2
3 5 4
3 2 1
x x x
y
x x
  

 
tại điểm trên (C) có hoành độ
0
2
x
 
.
Tóm tắt cách giải: Kết quả:

Bài 10 (5 điểm).
Tính gần đúng tọa độ các giao điểm của đường tròn có tâm
(3; 0)
I , bán kính
4
R

và
đường elip
2 2
( ): 1
25 9
x y
E
 
.
Tóm tắt cách giải: Kết quả:

Hết

MTCT12BTTHPT - Trang 6
Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Thừa Thiên Huế Giải toán trên máy tính CầM TAY
Đề thi chính thức Khối 12 BTTHPT - Năm học 2009-2010
P N V THANG IM
Bài

Cách giải
Điểm
TP
Điểm
toàn
bài
1
5
3cos2 5sin cos 2 3cos2 sin 2 2 6cos2 5sin 2 4
2
x x x x x x x

6 3 4
cos2 sin 2
61 61 61
x x

cos2 os sin 2 sin cos
xc x


vi
6 4
cos ; cos
61 61




0
os 2 cos 180
2
c x x k




0 0 0 0
1 2
49 29'57" 180 ; 9 41'37" 180
x k x k

5

2
2
( ) 2 3 2 3 5
f x x x x

cú tp xỏc nh l:
5
; 1
2
D






2
2 2
4 2 3 5 4 3
4 3
'( ) 2
2 2 3 5 2 2 3 5
x x x
x
f x
x x x x

2 2
'( ) 0 4 2 3 5 4 3 48 72 71 0
f x x x x x x

(x -0,75)
Gii phng trỡnh bc hai ta c:
1 2
9 7 6 9 7 6
2,178869017 0,75; 0,6788690166 1
12 12
x x



Do ú phng trỡnh ch cú mt nghim trong tp xỏc nh l:
2
9 7 6
0,6788690166
12
x


Dựng chc nng CALC tớnh:

5 9 7 6 18 7 6
8; 1 1; 0,2133929501

2 12 4
f f f









.
Vy:
5 5
;1 ;1
2 2
9 7 6 18 7 6 5
( ) 0,2134; ( ) 8
12 4 2
Max f x f Min f x f

3 Hm s
2
2
2 5 3
2 1
x x
y
x



cú tp xỏc nh l R.



MTCT12BTTHPT - Trang 7
 
2
2
2
10 8 5
'
2 1
x x

y
x
  


;
2
1 2
4 66 4 66
' 0 10 8 5 0 1,21240384; 0,4124038405
10 10
y x x x x
   
          
Lập bảng biến thiên của hàm số, ta xác định được:
Hàm số đạt cực tiểu tại
1
4 66
10
x
 
 và giá trị cực tiểu của hàm số
là:

4 66 8 66
0,03100960116
10 4
CT
y f
 

  
   
 
 
 

Hàm số đạt cực đại tại
2
4 66
10
x
 
 và giá trị cực đại của hàm số là:

4 66 8 66
4,031009601
10 4
CD
y f
 
  
  
 
 
 


4
Gọi x = OA (dm) là bán kính đáy của hình nón (x > 0),
h SO


là
chiều cao,
l SA

là đường sinh của hình nón.
Ta có thể tích của hình nón là:
2
1
1
3
V x h

 
(giả thiết)
2
3
h
x

  (1)
Đường sinh của hình nón:

2 6
2 2 2
2 4 2
9 9
x
l x h x
x x


 

    
Diện tích xung quanh của hình nón là:
2 6 2 6
2
9 9
( )
x x
S x xl x
x x
 
 

 
    (x > 0)
2 5
2 6
2 6
2 6
2
2 2 6
3
9
2 9
9
'( )
9
x

x x
x
x
S x
x
x x





 


 


6
2
9
' 0
2
y x

   (vì x > 0);
6 6
2 2
9 9
' 0 ; ' 0
2 2

y x y x
 
     
Do đó
6
2
9
0,8773080777
2
x

  là điểm cực tiểu của hàm số và:
2
6
2
9
( ) 4,1881
2
Min S x S dm

 
 
 
 
 



5
2

2 2
6log 13log 6 0 (1)
3 2 12 (2)
y x
x x

  

 

Điều kiện để hệ phương trình có


A
S
O

MTCT12BTTHPT - Trang 8
nghiệm là:
0
x


Đặt
2
log 0
u x
 
phương trình (1) trở thành:
2

6 13 6 0
u u
  

Giải phương trình ta được:
1 2
2 3
;
3 2
u u
 

Suy ra:
1 2
2 3
3 2
3
2
1 2
2 2 2 1.587401052; 2 2 2 2 2,828427125
u u
x x       
Thay x
1
vào phương trình (2):


3 3
4 4
1 3

3 12 2 12 2 1,99948657
y
y log     
Thay x
2
vào phương trình (2):


2 2 2 2
2 3
3 12 2 12 2 1,446028009
y
y log     
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm:


 


3
1 1 2 2
( ; ) 4; 1,9995 , ; 2 2 ; 1,4460
x y x y 

6
a) Đa thức
4 3 2
( )
P x x ax bx cx d
    

có giá trị là 8; 0;
4; 4
 
khi x
lần lượt nhận giá trị là 1; 2; 3; 4.
Ta có hệ phương trình:
4
4
4
7
8 4 2 2
27 9 3 4 3
64 16 4 4 4
a b c d
a b c d
a b c d
a b c d
   


    


     


     


Giải hệ ta có:

10; 37; 64; 44
a b c d
     
.
Vậy:
4 3 2
( ) 10 37 64 44
P x x x x x
    
.
b)
x 15 27 159 2009
P(x) 24284 359900 599857436 16029014177736



7
Xét tam giác BCD, ta có:
2 2 2 0
2 cos52
CD BC BD BC BD   


2 0 2 2
14cos52 7 9 0
BD BD
    

Giải phương trình bậc hai theo BD, ta có hai nghiệm:
1

2,801833204 0
x
  
(loại) và
2
11,42109386
x  .
Do đó: 11,42109386
BD dm

.



MTCT12BTTHPT - Trang 9
0 2
1
sin52 31,49980672
2
BCD
S BC BD dm
  
Thể tích của tứ diện ABCD:

3
1
125,9992
3
BCD
V S SA dm

  


2 2
1 1
42 ; 68,52656315
2 2
ABC ABD
S BC AB dm S BD AB dm
     
Xét tam giác ACD:
2 2 2 2
7 12 193
AC BC AB     dm
2 2
16,56627251
AD AB BD dm
  
Nửa chu vi của tam giác ACD: 19,72935825
2
AC CD AD
p dm
 
 
   
2
62,51590057
ACD
S p p AC p AD p CD dm
    

Vậy diện tích toàn phần của tứ diện ABCD là:
2
204,5423
tp
S dm

8
a)
1 2 3 4 5 6 7
1, 9, 81; 881; 8721; 86329; 854569;
u u u u u u u      
8 9 10
8459361; 83739041; 828931049.
u u u  
11 12 13
8205571449; 81226783441; 804062262961;
u u u  
b) Công thức truy hồi của u
n+2
có dạng:
2 1 2
n n n
u au bu
  
  . Ta có hệ
phương trình:
3 2 1
4 3 2
9 89
10; 1

89 9 881
u au bu
a b
a b
u au bu
a b
 
 


    
 
 
 



Do đó:
2 1
10
n n n
u u u
 
 



9
4 3
2

3 5 4
3 2 1
x x x
y
x x
  

 
(C)
Dùng chức năng tính đạo hàm của hàm số tại điểm
0
2
x
 
ta có:
4 3
2
2
3 5 4
2,802469236
3 2 1
x
d x x x
a
dx x x

 
  
  
 

 
 

Dùng chức năng CALC tính được tung độ của tiếp điểm:
0
34
( 2)
9
y f   .
Đường thẳng tiếp tuyến đi qua điểm
34
2;
9
M
 

 
 
nên



MTCT12BTTHPT - Trang 10
34 34
2 2 1,8272
9 9
a b b a        .
Vậy:
2,8025
a

 
và
1,8272
b
 

10
Phương trình đường tròn tâm I(3 ; 0), bán kính R = 4 là:
 
2
2 2 2
3 16 6 7 0
x y x y x
       

Tọa độ giao điểm của đường tròn và elip (E) là nghiệm của hệ
phương trình:
 
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
6 7 0
6 7
6 7 (1)
9 25 6 7 225
16 150 50 0 (2)
1

25 9
x y x
y x x
y x x
x y
x x x x x

   

   

   
 
 
  
    
  
 

 


Giải phương trình (2) ta dược hai nghiệm:

1 2
75 5 193 75 5 193
0,3461112533; 9,028888747
16 16
x x
 

   
Thay vào (1):
Với
2
1 1
75 5 193
8,95687452 2,992803789
16
x y y

     
Với
2
2 2
75 5 193
20,34749952
16
x y

    (loại).
Vậy: Đường tròn cắt elip tại hai điểm: M(0,3461 ; 2,9928) và
N(0,3461 ;

2,9928)