Đề thi học sinh giỏi thành phố Đà Nẵng môn Toán lớp 12 năm học 2010 - 2011 (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12
NĂM HỌC 2010-2011
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Câu I (2,0 điểm):
Với mỗi tham số gọi (C
m
) là đồ thị của hàm số:
(1)
1) Khảo sát sự
biến thiên và vẽ đồ thị (C
1
) của hàm số (1) khi
2) Chứng minh rằng: khi m
thay đổi, đường thẳng (∆
m
): luôn cắt
(C
m
) tại một điểm A có hoành độ không đổi. Tìm m để (∆
m
) còn cắt (C
m
) tại hai điểm nữa
khác A, mà các tiếp tuyến của (C
m
) tại hai điểm đó song song với nhau.
Câu II (2,0 điểm):

1) Giải phương
trình lượng giác:
2) Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt:

Câu III (1,0 điểm):
Tìm nguyên hàm của hàm số .
Câu IV (1,0 điểm):
Cho khối lăng trụ Một mặt
phẳng (α) di động nhưng luôn đi qua điểm song song với đường thẳng và chia khối
lăng trụ đã cho thành hai phần. Hãy xác định vị trí của (α) để hai phần đó có thể tích
bằng nhau.
Câu V (1,0 điểm):
Tìm hằng số C lớn nhất để với
mọi cặp số thực dương x và y.
Câu VI (2,0 điểm):
1) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy,
cho (E) là một elip di động nhưng
luôn nhận hai tiêu điểm của hypebol
(H): làm các tiêu điểm và luôn có điểm chung với đường thẳng (∆): Tìm giá trị bé nhất
của độ dài trục lớn của elip (E).
2) Tìm số hạng chứa trong
khai triển thành đa thức của .
Câu VII (1,0 điểm):
Cho ba số dương x, y, z thay
,∈Rm
3 2 2
(3 1) 2 ( 1) .= − − + − +y x m x m m x m
1.m =
2
y mx m= −

(cot3 cot )cot 4 (cot3 cot )cot 2 .+ = −x x x x x x
( )
2 2
2 2
1 0
2 1 0.

+ − − =


− + + − − + =


x y mx
x y x y m x y
( )
coslnf x x=
. ' ' '.ABC A B C
',C
' 'A B
x y
e Cxy
+
≥
2 2
1
5 4
x y
− =
6 0.x y− + =

7
x
( )
10
2 3
1+ + +x x x
3x y z+ + =
4 4 4
8 .= + +P x y z
đổi và thỏa điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Hết
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 2:
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12
NĂM HỌC 2010-2011
Môn thi: TOÁN
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 12
Dưới đây là sơ lược biểu điểm của đề thi Học sinh giỏi lớp12. Các Giám khảo thảo luận thống
nhất thêm chi tiết lời giải cũng như thang điểm của biểu điểm đã trình bày. Tổ chấm có thể phân chia nhỏ
thang điểm đến 0,25 điểm cho từng ý của đề thi. Tuy nhiên, điểm từng bài, từng câu không được thay đổi.
Nội dung thảo luận và đã thống nhất khi chấm được ghi vào biên bản cụ thể để việc chấm phúc khảo sau
này được thống nhất và chính xác.
Học sinh có lời giải khác đúng, chính xác nhưng phải nằm trong chương trình được học thì bài
làm đúng đến ý nào giám khảo cho điểm ý đó.
Việc làm tròn số điểm bài kiểm tra được thực hiện theo quy định của Bộ Giáo dục và Đào tạo
tại Quyết định số 40/2006/BGD-ĐT.
Câu -Ý NỘI DUNG ĐÁP ÁN
ĐIỂM

Câu I
Với mỗi tham số gọi (C
m
) là đồ thị của hàm số:
(1)
1) Khảo sát sự biến
thiên và vẽ đồ thị (C
1
) của hàm số (1) khi
2) Chứng minh rằng: khi m thay
đổi, đường thẳng (∆
m
): luôn cắt
(C
m
) tại một điểm A có hoành độ không đổi. Tìm m để (∆
m
) còn cắt (C
m
) tại hai điểm
nữa, khác A, mà các tiếp tuyến của (C
m
) tại hai điểm đó song song với nhau. 2,0 đ
I.1
(1,00đ)
Khi ta có hàm số với tập
xác định: và đạo hàm:
0,25
Hàm số f tăng trên các
khoảng giảm trên f đạt cực

đại tại f đạt cực tiểu tại 0,25
BBT:
0,25
(C
1
) cắt Oy tại
nên (C
1
) cắt
Ox tại và
Đồ thị: 0,25
I.2
(1,00đ)
Phương trình hoành độ giao điểm của (∆
m
) và (C
m
) được viết thành:
⇒ giao điểm
của (∆
m
) và (C
m
) gồm và trong
số đó, A là điểm duy nhất có hoành độ không đổi (khi m thay đổi). 0,25
Đặt Các tiếp tuyến
của (C
m
) tại B và C
lần lượt là các đường thẳng:

0,25
,m∈R
3 2 2
(3 1) 2 ( 1) .= − − + − +y x m x m m x m
1.m =
2
y mx m= −
1,m =
3 2
( ) 2 1y f x x x= = − +
D = ¡
2
'( ) 3 4 ( ).f x x x x= − ∀ ∈¡
'( ) 0 0 4 3.f x x x= ⇔ = ∨ =
( ;0), (4 3; ); −∞ +∞
(0;4 3);
0, (0) 1; x f= =
4 3, (4 3) 5 27. x f= = −
3
3
2 1
lim ( ) lim 1 ;
x x
f x x
x x
→±∞ →±∞
 
 
= − + = ±∞
 ÷

 
 
 
(0) 1f = ⇒
(0;1).
2
1 5
( ) 0 ( 1)( 1) 0 1
2
f x x x x x x
±
= ⇔ − − − = ⇔ = ∨ =
(1;0)
1 5
;0 .
2
 
±
 ÷
 ÷
 
2 2
( 1)( 3 2 ) 0 ( 1)( )( 2 ) 0.x x mx m x x m x m+ − + = ⇔ + − − =
2
( 1; ),A m m− − −
( ;0)B m
2
(2 ; );C m m
3 2 2
( ) (3 1) 2 ( 1) .

m
f x x m x m m x m= − − + − +
( ) : '( ) '( ) , ) : '( ) '( ) .
B m B B m B B C m C C m C C
y f x x y f x x y f x x y f x x∆ = + − ∆ = + − (
Ta cần tìm m để B và C cùng khác A
và tức là:
0,50
Câu II
1) Giải phương
trình lượng giác:
(1)
2) Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt :
2,0 đ
II.1
(1,0đ)
Điều kiện xác định của (1): với
mọi k nguyên. (*)
Với đk (*), ta có:
0,25
0,25

với n nguyên. 0,25
So sánh đk (*), ta chỉ lấy với m
nguyên (học sinh chỉ cần minh
họa trên đường tròn lượng giác). 0,25
II.2
(1,0đ)
Hệ ⇔ ⇔
⇔ 0,25

(1) là pt của đường tròn (C
1
) có tâm I
và bán kính R =
(2), (3) lần lượt là pt các đường thẳng
(∆
2
), (∆
3
)
Nên hệ đầu có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi hai đường thẳng (∆
2
), (∆
3
) cắt
đường tròn (C
1
) tại 4 giao điểm đôi một phân biệt 0,25
(∆
3
) cắt (C
1
) ⇔
(∆
2
) cắt (1) ⇔ ⇔ m ≠ 2
0,25
4 giao điểm phân biệt ⇔ giao điểm của (∆
2
) và (∆

3
) không thuộc (C
1
)
⇔∉(C
1
) ⇔
KL: và 0,25
Câu III
Tìm nguyên hàm của hàm số .
1,0 đ
(1,0đ)
Đặt và chọn .
Ta có: (với 0,25
Đặt và chọn .
Do đó: . 0,25
Suy ra:
0,25
Kết luận:
0,25
/ / ;
B C
∆ ∆
2 2
3 3 2
1
1 2
2 3.
'( ) '( ) 2 2
'( ) '( )

4 3
B A
C A
m B m C
B m B B C m C C
m
x x
m
x x
m
f x f x m m m
y f x x y f x x
m m m
≠ −
≠ 



≠ −
≠
 
⇔ ⇔ = −
 
= − = +
 
 
− ≠ −
≠ − −



(cot3 cot )cot 4 (cot3 cot )cot 2 .+ = −x x x x x x
( )
2 2
2 2
1 0
2 1 0.
x y mx
x y x y m x y

+ − − =


− + + − − + =


3 ,4 π≠π≠ kxkx
cos3 sin cos sin 3 cos4 cos3 sin cos sin3 cos 2
(1)
sin 3 sin sin 4 sin3 sin sin 2
+ −
⇔ × = ×
x x x x x x x x x x
x x x x x x
cos4 cos 2
sin(3 ) sin(3 ) cos4 cos2
sin 4 sin 2
⇔ + × = − − × ⇔ = −
x x
x x x x x x
x x

0cos3cos202cos4cos =⇔=+⇔ xxxx
6)12( π+=⇔ nx
6)16( π±= mx
2 2
2 2
1 0
( ) ( ) ( 2 ) 0

+ − − =


− − − + + − =


x y mx
x m y m x y m
2 2
1 0
( 1)( 2 ) 0

+ − − =

− + + − =

x y mx
x y x y m
2 2 2 2
1 0 (1) 1 0 (1)
(I) (II)
1 0 (2) 2 0 (3)

 
+ − − = + − − =
∨
 
− + = + − =
 
x y mx x y mx
x y x y m
;0
2
m
 
 ÷
 
2
4
2
m +
2
2
4
2
2
2
m
m
m
−
+
<

8 8
7 7
m⇔ − < <
2
1
4
2
2
2
m
m
+
+
<
2
4 4 0m m⇔ − + >
2 1 2 1
;
2 2
m m
M
− +
 
 ÷
 
1
1;
2
m m≠ − ≠
8 8

7 7
m− < <
1
1;
2
m m≠ − ≠
( )
coslnf x x=
sin ln
cosln d d
x
u x u x
x
= ⇒ = −
d d ,v x=
v x=
( )
cosln d cosln sin ln dF x x x x x x x= = +
∫ ∫
0)x >
cosln
sin ln d d
x
u x u x
x
= ⇒ =
d d ,v x=
v x=
( )
sin ln d sin ln cosln d sin lnx x x x x x x x F x= − = −

∫ ∫
( )
2 cos ln sin lnF x x x x x C= + +
( ) ( )
cosln sin ln
2
x
F x x x C= + +
Câu IV
Cho khối lăng trụ Một mặt phẳng
(α) di động nhưng luôn đi qua
điểm song song với đường thẳng và chia khối lăng trụ đã cho thành hai phần. Hãy
xác định vị trí của (α) để hai phần đó có thể tích bằng nhau.
1,0 đ
(1,0đ) Gọi V là thể
tích của khối
lăng trụ Theo giả thiết, mặt phẳng chia
khối lăng trụ đã cho thành hai phần. Gọi
là thể tích của phần chứa đỉnh C, là thể
tích của phần còn lại. Ta cần xác định vị
trí của để
(1)
0,25
Nếu cắt cặp cạnh AC, BC thì
nên (1) không thỏa. Vậy, phải
cắt cặp cạnh 0,25
Gọi M và N tương ứng là giao
điểm giữa với các cạnh và
Cũng theo giả thiết, Đặt ta
có:

0,25
Suy ra: Kết luận: 0,25
Câu V
Tìm hằng số C lớn nhất để với mọi
cặp số thực dương x và y. 1,0 đ
(1,0đ)
Trên khoảng hàm số có đạo
hàm 0,25
⇔ ⇔ vậy,
0,25
Suy ra:
0,25
Hằng số C lớn nhất để với mọi khi
và chỉ khi
C lớn nhất để với mọi
Vậy 0,25
Câu VI
1) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho
(E) là một elip di động nhưng luôn
nhận hai tiêu điểm của hypebol (H):
làm các tiêu điểm và luôn có điểm chung với đường thẳng (∆): Tìm giá trị bé nhất
của độ dài trục lớn của elip (E).
2) Tìm số hạng chứa trong khai
triển . 2,0 đ
Các tiêu điểm của (E) gồm: và
Gọi a là nửa độ dài trục lớn của
(E), điều kiên ⇒ phương trình
của (E) là: 0,25
Tọa độ giao điểm giữa (E) và (∆) là nghiệm của hệ:
0,25

. ' ' '.ABC A B C
',C
' 'A B
M
N
B'
A'
B
C
A
C'
. ' ' '.ABC A B C
( )α
1
V
2 1
V V V= −
( )α
1 2
2 1
1 1
.
2 2
V V
V V
V V
= ⇔ = ⇔ =
( )α
'.
1

1 1
3 2
C ABC
V
V
V V
≤ = <
( )α
',AA
'.BB
( )α
'AA
'.BB
/ / ' '.MN A B
' '
(0;1),
' '
MA NB
x
AA BB
= = ∈
' '
2 2
'. ' ' ' '
2 2 2
.
3 3 3
MNB A
C ABB A ABB A
S

V V
x
V V S
= × = × = ×
(1) 3 4.x⇔ =
x y
e Cxy
+
≥
(0; ),+∞
( ) e
x
f x x=
2
'( ) ( 1)= −
x
f x x xe
'( ) 0f x <
0 1,x< <
'( ) 0f x >
1;x >
0
min ( ) (1) 0
>
= = >
x
f x f e
2
0 0
0 0

min min ( ) ( )
+
> >
> >
= =
x y
x x
y y
e
f x f y
xy
[ ] e
x y
Cxy
+
≥e
0, 0 x y> >
2
0
0
min ( ) ( )
>
>
= =
x
y
C f x f y[ ] e
0, 0 x y> >
( ) ( )f x f y C≥
2 2

1
5 4
x y
− =
6 0.x y− + =
( )
10
2 3
1+ + +x x x
7
x
1
( 3;0)F −
2
(3;0).F
3a >
2 2
2 2
1
9
x y
a a
+ =
−
(E) có điểm chung với (∆) ⇔ (1) có nghiệm ⇔ ∆’ ≥ 0
⇔
⇔
⇔ 0,25
Giá trị bé nhất của độ dài trục lớn
của (E) là 0,25

VI.2
(1,0đ)
Ta có: .
0,25
và .
0,25
Với l và k là các số tự nhiên, thì:
hoặc hoặc hoặc 0,25
Kết luận: Số hạng chứa
là 0,25
Câu VII
Cho ba số dương x, y, z thay đổi
và thỏa điều kiện . Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức 1,0 đ
(1,0đ)
Ta có:
và
⇒ .
⇒
0,25
Do đó: Xét với
⇒
⇒
0,25
Lập BBT. nhỏ nhất khi
⇒
Mặt khác khi thì 0,25
Kết luận: GTNN của P là
0,25
Hết

2 2
2 2 2 2 2
2 2
( 6)
(2 9) 12 (45 ) 0 (1)
1
9
6.
6

x x
a x a x a a
a a
y x
y x

+

− + + − =
+ =

⇔
−
 
= +


= +

2 2 2 2 2

(6 ) (2 9) (45 ) 0a a a a− − − ≥
2
45 2 3 10 2a a≥ ⇔ ≥
min 2 3 10a =
2 4 2 2 2 2
(2 63 405) ( 9)(2 45) 0a a a a a a− + = − − ≥
( )
( )
( )
10 10
10
2 3 2
1 1 1x x x x x+ + + = + +
( )
10
10
10
0
1
k k
k
x C x
=
+ =
∑
( )
10
10
2 2
10

0
1
l l
l
x C x
=
+ =
∑
1
2 7
3
k
l k
l
=

+ = ⇔

=

3
2
k
l
=


=

5

1
k
l
=


=

7
0
k
l
=


=

7
x
1 3 3 2 5 1 7 7
10 10 10 10 10 10 10
( )C C C C C C C x+ + +
3+ + =x y z
4 4 4
8 .= + +P x y z
2 2 2 2 2
2 2( ) ( )x y xy x y x y+ ≥ ⇒ + ≥ +
4 4 2 2 4 4 2 2 2
2 2( ) ( )x y x y x y x y+ ≥ ⇒ + ≥ +
( )

( ) ( ) ( )
2
2
4
4 2 2 2 2 4 4
(3 ) 2 4 8z x y x y x y x y
 
− = + ≤ + = + ≤ +
 
( )
4
4 4
3
8
z
x y
−
+ ≥
( )
4
4
3 64
8
z z
P
− +
≥ ×
( )
4
4

( ) 3 64f z z z= − +
(0;3)∈z
3
'( ) 0 4 3 0 (0;3)
5
= ⇔ − + = ⇔ = ∈f z z z z
( )
3 3 2 2 2
' 4 64 4(3 ) 4(4 3 )[4 4 (3 ) (3 ) ]f z z z z z z z z z= × − − = − + + − + −
( )
f z
3
5
z =
4 3
3
0 3
( ) ( ) 3 2 648
min
8 8 5 125
z
f z f z
P
< <
≥ ≥ = =
648
125
P =
648
125

6 3
;
5 5
x y z= = =