TUYỂN CHỌN 50 BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH

TUY
ỂN CHỌN

50 BÀI TOÁN

GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH

C
ẨM NANG CHO M
ÙA THI

NGUY
ỄN HỮU BIỂN

/>bienEmail:
(ÔN THI THPT QUỐC GIA)




T
UY
ỂN CHỌN 50 B
ÀI TOÁN GI
ẢI BẤT PH
ƯƠNG TR
ÌNH
-
ÔN THI THPT QU
ỐC GIA

Trang
1

NGUYỄN HỮU BIỂN -
/>
Bài 1: Giải bất phương trình
2 2
1 2 3 4 .
x x x x
+ − ≥ − −

Hướng dẫn
- Điều kiện:
2
2
0
0 1
3 41
1 0 0 .
3 41 3 41
8
2 3 4 0
8 8
x
x
x x
x
x x
≥


≤ ≤

− +

− ≥ ⇔ ⇔ ≤ ≤
 
− − − +
≤ ≤
 
− − ≥



- Bất phương trình đã cho tương đương với
2 2 2
1 2 (1 ) 2 3 4
x x x x x x
+ − + − ≥ − −
2 2
3( ) (1 ) 2 ( )(1 ) 0
x x x x x x
⇔ + − − + + − ≥

2 2 2
2
5 34
1
9
3 2 1 0 9 10 1 0

1 1 1 3
5 34
.
9
x
x x x x x x
x x
x x x
x

− +
≥

+ + +

⇔ + − ≥ ⇔ ≥ ⇔ + − ≥ ⇔
− − − 
− −
≤



- Kết hợp điều kiện (*), ta suy ra nghiệm của bất phương trình là
5 34 3 41
.
9 8
x
− + − +
≤ ≤

Bài 2: Giải bất phương trình )(,01102492321
22
Rxxxxxx ∈≥−+−+−+−
Hướng dẫn: Điều kiện:
1
≥
x

- Bất phương trình đã cho tương đương với
0410249423211
22
≥++−+−−+−− xxxxx

[ ]
)1(03)13(
223
6
11
1
)2(
03)13()2(
223
)63(2
11
2
0)269)(2)(223(2)11(
2
2
2
≥







−−+
+−
+
+−
−⇔
≥−−−+
+−
−
+
+−
−
⇔
≥−−−−−+−−⇔
x
xx
x
xx
x
x
x
x
xxxxx

- Dễ thấy

( )
1,013)11.3(313
223
6
11
1
2
2
≥∀>=−−>−−+
+−
+
+−
xx
xx

- Hơn nữa (1)
.202
≥
⇔
≥
−
⇔
xx
Kết hợp điều kiện thu được
.2
≥
x

Bài 3: Giải bất phương trình sau:
(

)
(
)
2 2
2
1 log log 2 log 6
x x x
+ + + > −

Hướng dẫn: ĐK:
0 6
x
< <
.
(
)
( )
2
2
2 2
log 2 4 log 6
x x x
⇔ + > −
( )
2
2 2
2 4 6 16 36 0
x x x x x
⇔ + > − ⇔ + − >

Vậy:
18
x
< −
hay
2
x
<

So sánh với điều kiện. KL: Nghiệm BPT là
2 6
x
< <
.
Bài 4: Giải bất phương trình
)(,1
4
2
2
7119229
23
23
Rx
x
x
x
xxxx
∈>
−++
−−++−

Hướng dẫn: Điều kiện



≠−++
≥
0422
1
23
xxx
x

- Nhận xét
1,014221422
23
≥∀>=−++≥−++ xxxx
.
- Bất phương trình đã cho tương đương với

0217248114227119229
232323
>−+−+−−⇔−++>−−−+− xxxxxxxxxxx



T
UY
ỂN CHỌN 50 B
ÀI TOÁN GI

ẢI BẤT PH
ƯƠNG TR
ÌNH
-
ÔN THI THPT QU
ỐC GIA

Trang
2

NGUYỄN HỮU BIỂN -
/>
)1(01)12(2
11
1
)2(0)188)(2(
11
2
22
>






−−+
+−
−⇔>+−−+
+−

−
⇔ x
x
xxxx
x
x

- Rõ ràng
1,011)12(21)12(2
11
1
22
≥∀>=−−>−−+
+−
xx
x
nên (1)
202
>
⇔
>
−
⇔
xx

Bài 5: Giải bất phương trình:
(
)
(
)

(
)
5 5 1
5
log 4 1 log 7 2 1 log 3 2
x x x
+ − − ≤ + +

Hướng dẫn: + Điều kiện:
1 7
4 2
x
− < <

(
)
(
)
(
)
5 5 5
log 4 1 log 3 2 1 log 7 2
x x x
⇔ + + + ≤ + −


(
)
(
)

(
)
( )( ) ( )
5 5
2
log 4 1 3 2 log 5 7 2
4 1 3 2 5 7 2
12 21 33 0
33
1
12
x x x
x x x
x x
x
⇔ + + ≤ −
⇔ + + ≤ −
⇔ + − ≤
⇔ − ≤ ≤

Giao với điều kiện, ta được:
1
1
4
x
− < ≤
. Vậy: nghiệm của BPT đã cho là
1
1
4

x
− < ≤

Bài 6: Giải bất phương trình
)(221452)1(
22
Rxxxxxxx ∈+++≥+−−

Hướng dẫn: Điều kiện:
.Rx
∈
Khi đó :
0)5212(2)522)(1(
222
≤+−−+++−++⇔ xxxxxxx

0
5212
547)52)(1(252214
)1(
0)
5212
)13(2
522)(1(
0
5212
)13)(1(2
)522)(1(
0
5212

)5244(2
)522)(1(
22
22222
22
2
22
2
22
22
2
≤








+−++
+−++−+++−++
+⇔
≤
+−++
−
++−++⇔
≤
+−++
−+

++−++⇔
≤
+−++
−+−+
++−++⇔
xxx
xxxxxxxx
x
xxx
xx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxxx
xxx

- Do
>++−=+− 16)2(547
222
xxxx
0 nên (2) )1;(101
−
−∞
∈
⇔
−
≤
⇔

≤
+
⇔
xxx
Bài 7: Giải bất phương trình :
( )
2 2
x 1 x 5 x x 1
− + + > +

Hướng dẫn:
x 1
+ ≤
: loại
( )
2
2 2 2
2 2
2
2
x x 1 1 1
x 1: x 5 x 5 x x 5 x
x 1 x 1 x 1
5 1
5 x 1 x 5 x 4x 5 x 5
x 1
x 5 x
5
x
x 2

4
15x 40x 20 0
− +
+ > + > ⇔ + > + ⇔ + − >
− − −
⇔ > ⇔ − > + + ⇔ − > +
−
+ +

>

⇔ ⇔ >


− + >




T
UY
ỂN CHỌN 50 B
ÀI TOÁN GI
ẢI BẤT PH
ƯƠNG TR
ÌNH
-
ÔN THI THPT QU
ỐC GIA

Trang
3

NGUYỄN HỮU BIỂN -
/>
Bài 8: Giải bất phương trình:
(
)
2 2
5 4 1 ( 2 4)
x x x x x+ < + + −
(x
∈
R).
Hướng dẫn:
(
)
2 2
5 4 1 ( 2 4)
x x x x x+ < + + −
(*)
- ĐK: x(x
2
+ 2x − 4) ≥ 0 ⇔
1 5 0
1 5
x
x

− − ≤ ≤


≥ − +



- (*) ⇔
2 2
4 ( 2 4) 5 4
x x x x x
+ − > + −
⇔
2 2
4 ( 2 4) ( 2 4) 3
x x x x x x
+ − > + − +
(**)
TH 1:
1 5
x ≥ − +
, chia hai vế cho x > 0, ta có: (**) ⇒
2 2
2 4 2 4
4 3
x x x x
x x
+ − + −
> +

Đặt
2

2 4
, 0
x x
t t
x
+ −
= ≥
, ta có bpt:
2
4 3 0
t t
− + <
1 3
t
⇔ < <

2
2
2
7 4 0
2 4
1 3
4 0
x x
x x
x
x x

− − <
+ −


< < ⇔

+ − >


⇔
1 17 7 65
2 2
x
− + +
< <

TH 2:
1 5 0
x
− − ≤ ≤
,
2
5 4 0
x x
+ − <
, (**) luôn thỏa mãn
Vậy tập nghiệm BPT (*) là
1 17 7 65
1 5;0 ;
2 2
S
 
− + +

 
= − − ∪
 
 
 

Bài 9: Giải bất phương trình sau :
2 5 3 2 4 1 5 6
x x x x
+ + − > + + −

Hướng dẫn:
2 5 4 1 3 2 5 6 0
1 1
( 2 4)[ ] 0
2 5 4 1 3 2 5 6
2
BPT x x x x
x
x x x x
x
⇔ + − + + − − − >
⇔ − + + >
+ + + − + −
⇔ <


Bài 10: Giải bất phương trình
2 2 2
3

( 2)( 2 2 5) 9 ( 2)(3 5 12) 5 7
x x x x x x x
+ − + − ≤ + + − − + +

Hướng dẫn: Điều kiện xác định:
5
2
x
≥ −
. Khi đó ta có
3
3 2 2 2
(1) 3 14 15 2( 2) 2 5 3( 2) 5 5 7 0
x x x x x x x x
⇔ + + + − + + − + + − + ≤

3
3 2 2 2
3 18 2( 2)( 2 5 3) 3( 2)( 5 3) 3 5 7 0
x x x x x x x x
⇔ + − − − + + − − + + − + − + ≤

(
)
2 2
2
2
2
3 3
2 2

2( 2)(2 4) 3( 2)( 4) 5(4 )
( 2)( 5 9) 0
2 5 3
5 3
9 3 5 7 5 7
x x x x x
x x x
x
x
x x
+ − + − −
⇔ − + + − − + ≤
+ +
+ +
+ + + +

(
)
2
2
2
2
3 3
2 2
4( 2) 3( 2) 5( 2)
( 2) 5 9 0(*)
2 5 3
5 3
9 3 5 7 5 7
x x x

x x x
x
x
x x
 
 
+ + +
⇔ − + + − − − ≤
 
 
+ +
+ +
+ + + +
 
 



T
UY
ỂN CHỌN 50 B
ÀI TOÁN GI
ẢI BẤT PH
ƯƠNG TR
ÌNH
-
ÔN THI THPT QU
ỐC GIA

Trang

4

NGUYỄN HỮU BIỂN -
/>
- Ta có với
(
)
2
2
2
2
3 3
2 2
4( 2) 4 3( 2) 3
( 2); ( 2)
3 5
2 5 3
5 3
5
5( 2) 5( 2)
2
9
9 3 5 7 5 7
x x
x x
x
x
x
x x
x x


+ +
≤ + < +

+ +
+ +

≥ − ⇒

+ +
<


+ + + +


(
)
2
2
2
2
3 3
2 2
4( 2) 3( 2) 5( 2)
5 9
2 5 3
5 3
9 3 5 7 5 7
x x x

x x
x
x
x x
+ + +
⇒ + + − − − >
+ +
+ +
+ + + +

2
18 57 127 5
0,
45 2
x x
x
+ +
> ∀ ≥ −

- Do đó (*)
2 0 2
x x
⇔ − ≤ ⇔ ≤
, kết hợp với điều kiện
5
2
x
≥ −
ta suy ra bất phương
trình đã cho có nghiệm là

5
2
2
x
− ≤ ≤

Bài 11: Giải bất phương trình )(76)1(2
152
)2(2
2
Rxxx
x
x
∈++≥++
++
+

Hướng dẫn: Điều kiện:
2
5
−≥x

Bất phương trình đã cho tương đương với
)1(0)3(2
652
1
)1(0)3)(1(2
652
1
0)32(265276242152

22
≥






++
+++
−⇔≥+−+
+++
−
≥−+++−+⇔++≥+++−+⇔
x
xx
xxx
xx
x
xxxxxxxx

Chú ý rằng
2
5
,0)3(2
552
1
−≥∀>++
+++
xx

xx
nên (1) 101
≥
⇔
≥
−
⇔
xx

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm 1
≥
x

Bài 12: Giải bất phương trình
2 8
2 1 2
x x
x x
− + − ≥

Hướng dẫn: Điều kiện của bất phương trình:
2
2
1 0
0
2 0
8 2
2
2 0
2 0

x
x
x
x
x
x
x
x
x
 ≥



− ≥


<
− ≤ <

 
⇔ ⇔
 

≥
≥


 
− ≥





− ≤ <



- Với
2 0
x
− ≤ < ⇒
bất phương trình đã cho luôn đúng
- Với
2
x
≥ ⇒
bất phương trình đã cho
2 2 2( 2)( 2)
x x x x x
⇔ − + − + ≥

2 2 3
4( 2) 2( 4) 4 ( 2) ( 2)
x x x x x
⇔ − + − + − + ≥

3 2 3 2
2 4 16 4 2( 2 4 8) 0
x x x x x x
⇔ − − + − − − + ≤

3 2 3 2
2( 2 4 8) 8 2( 2 4 8) 16 0
⇔ − − + − − − + + ≤
x x x x x x



T
UY
ỂN CHỌN 50 B
ÀI TOÁN GI
ẢI BẤT PH
ƯƠNG TR
ÌNH
-
ÔN THI THPT QU
ỐC GIA

Trang
5

NGUYỄN HỮU BIỂN -
/>
(
)
2
3 2 3 2
2( 2 4 8) 4 0 2( 2 4 8) 4
x x x x x x

− − + − ≤ ⇔ − − + =

3 2
0
2 4 0 1 5 1 5
1 5
x
x x x x x
x
=


⇔ − − = ⇔ = + ⇔ = +


= −

(do
2
x
≥
)
Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là
[
)
{
}
2;0 1 5
− ∪ +

Bài 13: Giải bất phương trình sau :
2
2 1
2
log ( 1) log ( 1)
x x
− ≥ −
.
Hướng dẫn: ĐK: x >1. BPT

2 2
2 1 2 2
2
log ( 1) log ( 1) log ( 1) log ( 1) 0
x x x x
− ≥ − ⇔ − + − ≥

2
( 1)( 1) 1
x x
⇔ − − ≥

3 2
1 1
x x x
⇔ − − + ≥
2
( 1) 0
x x x
⇔ − − ≥

1 5

2
x
+
⇔ ≥
(do x >1).
Vậy tập nghiệm của BPT là
1 5
S= ;
2
 
+
+∞



 
.
Bài 14: Giải bất phương trình
3
3
2log ( 1) log (2 1) 2
x x
− + − ≤

Hướng dẫn: ĐK:
1
x

>
. BPT
1
2
3
3
2log ( 1) log (2 1) 2
x x
⇔ − + − ≤

3 3 3
log ( 1) log (2 1) 1 log ( 1)(2 1) 1
x x x x
⇔ − + − ≤ ⇔ − − ≤

⇔
2
( 1)(2 1) 3 2 3 2 0
x x x x
− − ≤ ⇔ − − ≤

1
2
2
x
⇔ − ≤ ≤
. K
ế
t h
ợ

p
Đ
K ta có t
ậ
p nghi
ệ
m là
(
]
1;2
S =

Bài 15:
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình
)(,)1()12)(3(
22
Rxxxxx
∈−≥+−−

Hướng dẫn:

Đ
i
ề

u ki
ệ
n:
2
1
≥
x
- Nh
ậ
n xét x = 1 không th
ỏ
a mãn bài toán, do
đ
ó xx
≠−12

- B
ấ
t ph
ươ
ng trình
đ
ã cho t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i
2

133
,
2
133
01312212
22133)12(3
)12(
)1(
3
2222
22
2
2
−
≤
+
≥⇔≥−−⇔++≥−⇔+≥−⇔
−−−≥−⇔−−≥−⇔
+−
−
≥−
xxxxxxxxxxx
xxxxxxx
xx
x
x

K
ế
t h

ợ
p
đ
i
ề
u ki
ệ
n ta thu
đượ
c nghi
ệ
m
2
313 +
≥
x
Bài 16:
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình
29122)5124(4
2223
+−≤−+−−
xxxxxxx
Hướng dẫn:
+)

Đ
i
ề
u ki
ệ
n:



≤
≥
⇔≥−
0
2
02
2
x
x
xx


T
UY
ỂN CHỌN 50 B
ÀI TOÁN GI
ẢI BẤT PH
ƯƠNG TR
ÌNH
-
ÔN THI THPT QU

ỐC GIA

Trang
6

NGUYỄN HỮU BIỂN -
/>
+) Ta có b
ấ
t ph
ươ
ng trình
đ
ã cho t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i
[
]
)1(0)()12(02)52(252)12(
02)52)(12()252)(12(
02)5124(29124
22
23
2223
≤−⇔≤−−−+−−⇔
≤−−−−+−−⇔

≤−+−−−+−
xfxxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxx

+) V
ớ
i xxxxxxf
2)52(252)(
22
−−−+−=
.
Đặ
t xxttxxt
2)0(;2
222
−=
⇒
≥−=

- Khi
đ
ó
2)52(22)52()2(22)52(252
2222
+−−−=+−−−−=−−−+−
xtxtxtxxxxxxxx
- Ta có
2222
)32(912416825204)2(8)52( −=+−=−++−=−−−=∆

xxxxxxxx
Do v
ậ
y ph
ươ
ng trình




−=
−=
⇔=
2
1
2
0)(
t
xt
xf

Do v
ậ
y ta có phân tích
122)(22(2)52(252)(
2222
+−+−−=−−−+−= xxxxxxxxxxxf

Khi
đ

ó (1)
0)122)(22)(12(
22
≤+−+−−−⇔ xxxxxx


)2(,0)22)(12(
2
≤+−−−⇔ xxxx

(Do 2
012
2
>+− xx
v
ớ
i m
ọ
i x thu
ộ
c mi
ề
n xác
đị
nh)
Ta xét m
ộ
t s
ố
tr

ườ
ng h
ợ
p sau:
+) TH1:
2
1
012 =⇔=− xx
(không th
ỏ
a mãn)
+) TH2)
2
442
2
22
22
2
=⇔



+−=−
≥
⇔−=− x
xxxx
x
xxx
(th
ỏ

a mãn)
+) TH3
⇒



+−<−
>
⇔





−<−
>−
442
2
22
012
22
2
xxxx
x
xxx
x
H
ệ
ph
ươ

ng trình vô nghi
ệ
m
+) TH4
2
1
22
012
2
<⇔





−>−
<−
x
xxx
x

K
ế
t h
ợ
p v
ớ
i
đ
k ta

đượ
c
0
≤
x

V
ậ
y b
ấ
t ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có nghi
ệ
m là x=2;x
0
≤

Bài 17:
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình:
(
)

(
)
(
)
5 5 1
5
log 4 1 log 7 2 1 log 3 2
x x x
+ − − ≤ + +

Hướng dẫn:
+
Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
1 7
4 2
x
− < <

+ BPT
(
)
(
)
(
)

5 5 5
log 4 1 log 3 2 1 log 7 2
x x x
⇔ + + + ≤ + −


(
)
(
)
(
)
( )( ) ( )
5 5
2
log 4 1 3 2 log 5 7 2
4 1 3 2 5 7 2
12 21 33 0
33
1
12
x x x
x x x
x x
x
⇔ + + ≤ −
⇔ + + ≤ −
⇔ + − ≤
⇔ − ≤ ≤

T
UY
ỂN CHỌN 50 B
ÀI TOÁN GI
ẢI BẤT PH
ƯƠNG TR
ÌNH
-
ÔN THI THPT QU
ỐC GIA

Trang
7

NGUYỄN HỮU BIỂN -
/>
Giao v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n, ta
đượ
c:
1

1
4
x
− < ≤
. V
ậ
y: nghi
ệ
m c
ủ
a BPT
đ
ã cho là
1
1
4
x
− < ≤

Bài 18:
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình
:
2 2
(4 7) 2 10 4 8

x x x x x
− − + > + −
Hướng dẫn:

Đ
K: x
≥
-2
2 2
(4 7) 2 10 4 8
x x x x x
− − + > + −
2 2
(4 7) 2 2(4 7) 2[( 2) 4]
x x x x x x
⇔ − − + + − − > + −

2
(4 7)( 2 2) 2( 2 2)( 2 2)
x x x x x
⇔ − − + + > + − + +

2 2
2 2
4 7 2 2 4 4 2 2 2 1
(2 ) ( 2 1) 0 (2 2 1)(2 2 1) 0
x x x x x x
x x x x x x
⇔ − − > + − ⇔ > + + + +
⇔ − + + > ⇔ + + + − + − >

2 2 1
2 2 1
x x
x x

+ > −

⇔

+ < − −


ho
ặ
c
2 2 1
2 2 1
x x
x x

+ > − −


+ < −



Gi
ả

i các h
ệ
b
ấ
t pt trên
đượ
c t
ậ
p nghi
ệ
m là: T =
[
)
5 41
2; 1 ;
8
 
+
− − ∪ +∞
 
 
 

Bài 19:
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ

ng trình
3
8 2 (4 1)( 14 8 1)
x x x x x
− ≥ + − + + −
.
Hướng dẫn:

Đ
i
ề
u ki
ệ
n :
1
x
≥

3 3 3
(1) 8 2 (4 1)( 1 8 1 16 1) 8 2 (4 1) (4 1) (2)
x x x x x x x x x⇔ − ≥ + − − + − + − ⇔ − ≥ + − − + −

- Xét hàm s
ố
3 2
( ) ; '( ) 3 1 0 1
f t t t f t t t
= − = − > ∀ ≥ ⇒
f(t)
đồ

ng bi
ế
n trên [1;+
∞
) mà (2) có
(2 ) (4 1)
f x f x
≥ + −
và
2 ,4 1 [1; )
x x
+ − ∈ +∞
nên
(2) 2 4 1
x x
⇔ ≥ + −

2
2 4 0
2 4 1 (2 4) 1
1 0
x
x x x x
x
− ≥


⇔ − ≥ − ⇔ − ≥ −



− ≥


2
2
2
17 17
17 17 17 17
8
4x 17 x 17 0
;
8 8
x
x
x
x x
≥

≥

+

⇔ ⇔ ⇔ ≥
 
− +
− + ≥
≤ ≥




Bài 20:
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình:
(
)
2
( 2) 2 3 2 1 2 5 3 1
x x x x x
+ + − + + + + ≥

Hướng dẫn:

Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
1
x
≥ −

Đặ
t

2 2
2
2 2
2
2 3
1 2 5 3
, 0
1 2
x a b
x a
x b x x ab
a b
a b




+ = −
+ =








+ = ⇒ + + =
 
 

 
≥
 
= −
 
 


.
B
ấ
t ph
ươ
ng trình tr
ở
thành:
2 2 2 2
( )( 2 ) 2
a b a b ab a b
− − + ≥ −

2 2 2 2
( )( 2 ) ( ) ( ) 0
( )( 2 ) ( 2 ) 0 ( 0)
( 2 )( 1) 0
a b a b b a b a b
a b a b a b do a b
a b a b
⇔ − − + + − − ≥
⇔ − − − − ≥ + >

⇔ − − − ≥



T
UY
ỂN CHỌN 50 B
ÀI TOÁN GI
ẢI BẤT PH
ƯƠNG TR
ÌNH
-
ÔN THI THPT QU
ỐC GIA

Trang
8

NGUYỄN HỮU BIỂN -
/>
TH1:
1
1
1 1
2 3 2 1 0 3
2 2
2 3 1 1 0
1 3
x
x

x x x x
x x
x


≥ −



≥ −






 
+ − + ≤ ⇔ ≥ − ⇔ − ≤ ≤
 
 
 
 
+ − + − ≤
− ≤ ≤
 






TH2:
1
1
1
2 3 2 1 0 1
2
2 3 1 1 0
1; 3
x
x
x x x x
x x
x x


≥ −



≥ −






 
+ − + ≥ ⇔ ≤ − ⇔ = −
 

 
 
 
+ − + − ≥
≤ − ≥
 






V
ậ
y b
ấ
t ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m
1
{ 1} ;3
2
S
 
 
= − ∪ −
 
 

Bài 21:
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình
5325235010
22
−−+−≥−− xxxxx

Hướng dẫn:

Đ
i
ề
u ki
ệ
n
10
74525
5
0252
035010
2
2
+
≥⇔






≥
≥+−
≥−−
x
x
xx
xx

- Nh
ậ
n xét
0
53252
47142
53252
2
2
2
>
−++−
+−
=−−+−
xxx
xx
xxx

- B
ấ
t ph
ươ
ng trình
đ
ã cho t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i
02.51123)2(5)5112(2
02.)5)(12(320274
)5)(2)(12(645925235010
22
2
22
≥−+−+−−+−⇔
≥−−−++−⇔
−−−−−++−≥−−
xxxxxx
xxxxx
xxxxxxxx

-
Đặ
t

)0;0(,2;5112
2
>>=−=+− babxaxx
ta thu
đượ
c
2
226
;
2
226
0712225112
0)52)((0352
22
22
−
≤
+
≥⇔≥+−⇔−≥+−⇔
≥⇔≥+−⇔≥+−
xxxxxxx
bababaabba

K
ế
t h
ợ
p
đ
i

ề
u ki
ệ
n ta có t
ậ
p nghi
ệ
m







+∞+= ;
2
22
3S

Bài 22:
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình
xxxxx 215123
232

−+−≤+−

Hướng dẫn:

Đ
i
ề
u ki
ệ
n
2
0)2(
1
05123
2
≥⇔





≥−
≥
≥+−
x
xx
x
xx

B

ấ
t ph
ươ
ng trình
đ
ã cho t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i
)1()1)(1(2125123
2232
−++−+−−+≤+−
xxxxxxxxxx

0.232)23(3)(
0)1(.2)(1(26102
232223
223
≥+++−++−−++⇔
≥++−−+−+−⇔
xxxxxxxxxx
xxxxxxxx



T
UY

ỂN CHỌN 50 B
ÀI TOÁN GI
ẢI BẤT PH
ƯƠNG TR
ÌNH
-
ÔN THI THPT QU
ỐC GIA

Trang
9

NGUYỄN HỮU BIỂN -
/>
)1(0
23
2
23
.31
23
2
23
2
≥
++
+−
+
++
+−
−⇔

xxx
xx
xxx
xx

Đặ
t
)0(
23
23
2
≥=
++
+−
tt
xxx
xx
thì (1)

)2(024231
3
1
0231
32322
≥++⇔++≤+−
⇒
≤≤−⇔≥+−⇔
xxxxxxxttt

Nh

ậ
n th
ấ
y (2) nghi
ệ
m
đ
úng v
ớ
i
2
≥
x
. K
ế
t lu
ậ
n nghi
ệ
m
[
)
+∞= ;2S

Bài 23:
Gi
ả
i b
ấ
t ph

ươ
ng trình:
2
3 4
2 2 3
1
1
x x x
x
x
+ + +
+ ≥ +
+
+

Hướng dẫn:

Đ
K: x > -1
- Theo câu a ta có:
2
4
3, 1
1
+ +
≥ ∀ > −
+
x x
x
x

. (1)
- L
ạ
i có
3 2
1
1 1
+
= + +
+ +
x
x
x x

- Áp d
ụ
ng b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c Cô – si cho hai s
ố

2
1,
1
+
+

x
x
ta
đượ
c:
2
1 2 2, 1
1
+ + ≥ ∀ > −
+
x x
x
(2)
T
ừ
(1) và (2), c
ộ
ng v
ế
v
ớ
i v
ế
ta có:
2
3 4
2 2 3
1
1
x x x

x
x
+ + +
+ ≥ +
+
+
,
1
x
∀ > −

Suy ra m
ọ
i giá tr
ị
x > -1
đề
u th
ỏ
a mãn b
ấ
t ph
ươ
ng trình.
V
ậ
y k
ế
t h
ợ

p v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n, bât ph
ươ
ng trình có t
ậ
p nghi
ệ
m là
(
)
1;S
= − +∞

Bài 24:
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau:
2
2

1 2 2 3 1
1
1 2 1
x x x
x x
+ − + +
>
− − +

Hướng dẫn:

Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
2
2
0
3 1 0 0
1 2 1 0
x
x x x
x x

≥

+ + ≥ ⇔ ≥



− − + ≠


- Ta có
2
2
1 3
2 1 2 3 1 ( 0)
2 4
x x x x
 
− + = − + ≥ > ∀ ≥
 
 

⇒

2
1 2 1 0
x x
− − + <

- BPT
2 2
1 3 1
⇔ + − + < + +
x x x x x

1 1

1 1 3
x x
x x
⇔ + + − < + +
(Vì x = 0 không th
ỏ
a mãn b
ấ
t ph
ươ
ng trình)
-
Đặ
t
1
2
x t t
x
+ =
⇒
≥
vì
0
x
>
.
- Ta có
13
1 1 3 2 1 3
4

t t t t
+ − < + ⇔ − < ⇔ <



T
UY
ỂN CHỌN 50 B
ÀI TOÁN GI
ẢI BẤT PH
ƯƠNG TR
ÌNH
-
ÔN THI THPT QU
ỐC GIA

Trang
10

NGUYỄN HỮU BIỂN -
/>
- Suy ra
13 1 13
2 2
4 4
t x
x
≤ <
⇒
≤ + <

( )
2
2
1
2
1 0
13 105 13 105
1 13
8 8
4 13 4 0
4
x
x
x
x
x x
x
x

+ ≥


− ≥
− +
 
⇔ ⇔ ⇔ < <
 
− + <




+ <



Bài 25:
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình:
10121123
22
−+<−++ xxxxx

Hướng dẫn:

Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
1
≥
x

B
ấ
t ph
ươ
ng trình
đ
ã cho t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i
)2(22.3
4)2)((3822)2)((6
101211)2)(1(6)2(9
22
2222
22
++−<+−⇔
++<+−⇔++<+−⇔
−+<−−+−++
xxxxxx
xxxxxxxxxx
xxxxxxxx

Đặ
t
)0,(
2

2
≥





+=
−=
ba
xb
xxa
ta
đượ
c BPT
0)2)((23
22
>−−⇔+<
bababaab

- TH1:
2
575
2
575
2
575
085
022
84

2
2
2
2
2
2
+
>⇔






−
<
+
>
⇔





>−−
>−−
⇔






+>−
+>−
⇔



>
>
x
x
x
xx
xx
xxx
xxx
ba
ba
(do
)1
≥
x

- TH2:
3113131
085
022
84
2

2
2
2
2
2
+<≤⇔+<<−⇔





<−−
<−−
⇔





+<−
+<−
⇔



<
<
xx
xx
xx

xxx
xxx
ba
ba
(do
1
≥
x
)
V
ậ
y b
ấ
t ph
ươ
ng trình có t
ậ
p nghi
ệ
m
[
)
31;1;
2
575
+∪









+∞
+
=S

Bài 26:
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình
(
)
(
)
1
1 1 2
2 2
log 4 4 log 2 3 log 2
x x x
+
+ ≥ − −
.
Hướng dẫn:

(
)
(
)
1
1 1 2
2 2
log 4 4 log 2 3 log 2
x x x
+
+ ≥ − −


(
)
(
)
( ) ( )
1
1 1 1
2 2 2
2 1
1 1
2 2
log 4 4 log 2 3 log 2
log 4 4 log 2 3.2
x x x
x x x
+
+

⇔ + ≥ − +
⇔ + ≥ −

( )
2 1
4 4 2 3.2
4 3.2 4 0
2 1
2
2 4
x x x
x x
x
x
L
x
+
⇔ + ≤ −
⇔ − − ≥

≤ −
⇔ ⇔ ≥

≥



V
ậ
y BPT có t

ậ
p nghi
ệ
m: S =
[
)
2;
+∞



T
UY
ỂN CHỌN 50 B
ÀI TOÁN GI
ẢI BẤT PH
ƯƠNG TR
ÌNH
-
ÔN THI THPT QU
ỐC GIA

Trang
11

NGUYỄN HỮU BIỂN -
/>
Bài 27:
Gi
ả

i b
ấ
t ph
ươ
ng trình
2.14 3.49 4 0
x x x
+ − ≥

Hướng dẫn:
Chia c
ả
hai v
ế
c
ủ
a bpt cho 4
x

đượ
c bpt
2
7 7
2 3 1 0
2 2
x x
   
⇔ + − ≥
   
   

Đặ
t
7
2
x
t
 
=
 
 
(v
ớ
i t > 0). BPT tr
ở
thành 3t
2
+ 2t – 1 ≥ 0
1
1
1
3
3
t
t
t
≤ −


⇔ ⇒ ≥


≥


7 1
2 3
x
 
⇔ ≥
 
 
7
2
log 3
x⇔ ≥ −
. KL: BPT có t
ậ
p nghi
ệ
m







∞+−= ;3log
2
7

S

Bài 28:
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình
)(4307545124
23
Rxxxxxx ∈<+−+−

Hướng dẫn:

Đ
i
ề
u ki
ệ
n
2
1
≥x
. B
ấ
t ph
ươ
ng trình

đ
ã cho t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i
[ ]
)1(01)13(5
112
4
)1(
01)13(5)1(
112
)22(4
0)43045)(1()112(4
043475454124
2
2
2
23
<






−−+

+−
−⇔
<−−−+
+−
−
⇔
<+−−+−−⇔
<−+−+−−
x
x
x
x
xx
x
xx
xxxxx
xxxxxx

- Nh
ậ
n xét
2
1
,01)1
2
1
.3(51)13(5
112
4
22

≥∀>−−>−−+
+−
xx
x
x
nên (1)
101
<
⇔
<
−
⇔
xx

- K
ế
t h
ợ
p v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n ta có t
ậ
p nghi
ệ

m S =






1;
2
1

Bài 29:
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình:
2 0,5
log ( 2) log 1
x x
− + <
.
Hướng dẫn:

Đ
i
ề
u ki

ệ
n:
2
x
>
.
( )
2 2 2
2 2
log 2 log 1 log 1 2
x x
x x
x x
− −
⇔ − − < ⇔ < ⇔ <

2 2 2
x x x
⇔ − < ⇔ > −
.
K
ế
t h
ợ
p
đ
i
ề
u ki
ệ

n ta
đượ
c nghi
ệ
m c
ủ
a bpt là
2
> −
x
.
Bài 30:
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình:
3 2 3 2
2 4 5 3 4
x x x x x x x
− − > − + − − +
.

Hướng dẫn:

Cách 1:
BPT
( ) ( )

2 2
2 2 1 2 ( 1)
x x x x x x
 
⇔ − − > − + − − +
 

(
)
0
x
≥
.
( )
2
( 2) | 2 | 1 1 2 1
x x x x x
 
⇔ − + − + > + − +
 
 
. (1)
*
2 :
x
=
(1) 0 2 2
⇔ >
(lo
ạ

i).
*
0 : (1) 2 2
= ⇔ − > −
x
(lo
ạ
i).


T
UY
ỂN CHỌN 50 B
ÀI TOÁN GI
ẢI BẤT PH
ƯƠNG TR
ÌNH
-
ÔN THI THPT QU
ỐC GIA

Trang
12

NGUYỄN HỮU BIỂN -
/>
*
2 :
x
>

(
)
( )
2
(1) ( 2) 1 1 1 2 1
x x x x
 
⇔ − + + > + − +
 
 

- Chia 2 v
ế
cho
.( 2) 0
x x
− >
ta
đượ
c:
( )
2
1 1 1 1
(1) 1 1
2
2
x x
x
x
⇔ + + > + +

−
−
.
- Xét hàm
2
2
( ) 1 , 0 '( ) 1 0 0
1
t
f t t t t f t t
t
= + + > ⇒ = + > ∀ >
+
( )
f t
⇒

đồ
ng bi
ế
n
0
t
∀ >
,
1 1
(1)
2
x
x

⇔ >
−
2
2 5 4 0 4; 1
x x x x x x
⇔ − > ⇔ − + > ⇔ > <
.
- K
ế
t h
ợ
p
2 4
x x
> ⇒ >
.
*
0 2 :
x
< <

(
)
( )
2
(1) ( 2) 1 1 1 2 1
x x x x
 
⇔ − − + > + − +
 

 
.
- Chia 2 v
ế
cho
.( 2) 0
x x
− <
ta
đượ
c:
( )
2
1 1 1 1
(1) 1 1
2
2
x x
x
x
⇔ − + < − +
−
−
.
- Xét hàm
2
2
2 2
1
( ) 1 , '( ) 1 0

1 1
t t t
f t t t t f t t
t t
+ −
= − + ∈ ⇒ = − = > ∀
+ +
R
( )
f t
⇒

đồ
ng
bi
ế
n
t
∀
. T
ừ

đ
ó
1 1
(1)
2
x
x
⇔ <

−
. Tr
ườ
ng h
ợ
p này vô nghi
ệ
m vì
1
0
2
x
<
−
.
Đ
áp s
ố
:
4
x
>
.
Cách 2:

Đ
K

0
x

≥

+
0
x
=
không là nghi
ệ
m. Xét
0 :
x
>

+
( )( )
2
3 2 3 2
5 4
(1) 2 1
4 5 3 4
x x
x x
x x x x x
− +
⇔ − + >
− + + − +


( )
3 2 3 2

1 1
( ) 4 0
2
4 5 3 4
x x
f x x
x
x x x x x
 
+ −
⇔ = − + >
 
+
− + + − +
 
.
+ Xét
3 2 3 2
1 1
( )
2
4 5 3 4
x x
g x
x
x x x x x
+ −
= +
+
− + + − +

N
ế
u
1
x
≥
thì
( ) 0
g x
>
.
+ N
ế
u
0 1:
x
< <

1 1 1 1
x x
+ > ⇒ + >
. Ta có:
1 1 1
(1)
2
2 2 2
x x
x x
+ +

> =
+ +


( )( )
2
3 2
3 4 1 2 2 1 2 2
x x x x x x x x
− + = + − = − + > − = −


3 2 3 2
4 5 3 4 2
x x x x x x
⇒ − + + − + > −


3 2 3 2
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
4 5 3 4
x x x x
x x x x
x x x x x
− − − −
⇒ < = < =
− − + −
− + + − +

3 2 3 2
1 1
(2)
2
4 5 3 4
x
x x x x x
−
⇒ > −
− + + − +
.


T
UY
ỂN CHỌN 50 B
ÀI TOÁN GI
ẢI BẤT PH
ƯƠNG TR
ÌNH
-
ÔN THI THPT QU
ỐC GIA

Trang
13

NGUYỄN HỮU BIỂN -
/>

T
ừ

(1)
và
(2)
suy ra
( ) 0 0
g x x
> ∀ >
.
+
( ) 0 4 0 4
f x x x
> ⇔ − > ⇔ >
. K
ế
t h
ợ
p
Đ
K suy ra
đ
áp s
ố
:
4
x
>
.

Bài 31:
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình
)(1928
233
Rxxxxx ∈++−−≤−

Hướng dẫn:

Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
3
0)3)(3(
2
01
092
08
2
23
3
≥⇔




≥++−
≥
⇔





≥+
≥−−
≥−
x
xxx
x
x
xx
x

B
ấ
t ph
ươ
ng trình
đ
ã cho t
ươ
ng

đươ
ng v
ớ
i
2
3
3
2
3320)332(
033.32232
3.)1)(3(22
)1)(3)(3(21928
22
22222
2222
22
2233
−
=
⇔
+
+
=
−
−
⇔
++=−−⇔≤++−−−⇔
≤+++++−−−−−⇔
+++−≤−⇔
+++−+−+−−≤−

x
x
x
x
x
xxxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxx
xxxxxxxx

Đố
i chi
ế
u
đ
i
ề
u ki
ệ
n, k
ế
t lu
ậ
n b
ấ
t ph
ươ
ng trình
đ
ã cho vô nghi

ệ
m.
Bài 32:
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình :
2
1
2
2
log log (2 ) 0 ( )
x x R
 
− > ∈
 
.
Hướng dẫn:

-
Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
2 2

2
log (2 ) 0 2 1 1 1
x x x
− > ⇔ − > ⇔ − < <

- Khi
đ
ó ⇔
2
2
2 2
1 1 1 1
1 1
log (2 ) 1
0
2 2 0
x x
x
x
x
x x
− < < − < <
 
− < <

− < ⇔ ⇔ ⇔
  
≠
− < >


 

V
ậ
y t
ậ
p nghi
ệ
m bpt là
( 1;0) (0;1)
S
= − ∪

Bài 33:
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình:
(
)
2 2
5 4 1 ( 2 4)
x x x x x+ < + + −
(x
∈
R).
Hướng dẫn:

Đ
K: x(x
2
+ 2x − 4)
≥
0 ⇔
1 5 0
1 5
x
x

− − ≤ ≤

≥ − +



⇔
2 2
4 ( 2 4) 5 4
x x x x x
+ − > + −
⇔
2 2
4 ( 2 4) ( 2 4) 3
x x x x x x
+ − > + − +
(**)
+ TH 1:

1 5
x ≥ − +
, chia hai v
ế
cho x > 0, ta có:
(**) ⇒
2 2
2 4 2 4
4 3
x x x x
x x
+ − + −
> +

-
Đặ
t
2
2 4
, 0
x x
t t
x
+ −
= ≥
, ta có bpt:
2
4 3 0
t t
− + <

1 3
t
⇔ < <

2
2
2
7 4 0
2 4
1 3
4 0
x x
x x
x
x x

− − <
+ −

< < ⇔

+ − >


⇔
1 17 7 65
2 2
x
− + +
< <

+ TH 2:
1 5 0
x
− − ≤ ≤
,
2
5 4 0
x x
+ − <
, (**) luôn th
ỏ
a


T
UY
ỂN CHỌN 50 B
ÀI TOÁN GI
ẢI BẤT PH
ƯƠNG TR
ÌNH
-
ÔN THI THPT QU
ỐC GIA

Trang
14

NGUYỄN HỮU BIỂN -

/>
V
ậ
y t
ậ
p nghi
ệ
m bpt (*) là
1 17 7 65
1 5;0 ;
2 2
S
 
− + +
 
= − − ∪
 
 
 

Bài 34:
Tìm m
để
b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau có nghi
ệ
m

 
∈ +
 
x
0;1 3
:
(
)
2
2 2 1 2 0
m x x x( x )
− + + + − ≤

Hướng dẫn:

Đặ
t
2
t x 2x 2
= − +

∈ +
dox [0;1 3]
nên
[
]
1;2
t
∈

- B
ấ
t ph
ươ
ng trình tr
ở
thành:
−
≤
+
2
t 2
m
t 1

- Kh
ả
o sát hàm s
ố

t
g(t)
t
−
=
+
2
2
1
v

ớ
i
[
]
1;2
t
∈

- Ta có:
+ +
= >
+
2
2
2 2
0
1
t t
g'(t)
(t )
. V
ậ
y
t
g(t)
t
−
=
+
2

2
1
đồ
ng bi
ế
n trên
[
]
1 2
;

⇒
2
( ) (2)
3
Maxg t g
= =

- T
ừ

đ
ó:
2
t 2
m
t 1
−
≤
+

có nghi
ệ
m t ∈ [1,2]
⇔

[ ]
t
m g t g
1;2
2
max ( ) (2)
3
∈
≤ = =
. K
ế
t lu
ậ
n:
2
3
m
≤

Bài 35:
Gi
ả
i b
ấ
t ph

ươ
ng trình
)(94117652
2
Rxxxxx ∈+<++++

Hướng dẫn:

Đ
i
ề
u ki
ệ
n
5
6
−≥x

+ B
ấ
t ph
ươ
ng trình
đ
ã cho t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ

i
)1(0)2
3117
1
265
1
)(2(
0
3117
2
265
2
)2(2
0)3(117)2(65422
2
22
2
2
>−
+++
+
+++
−−⇔
<
+++
++−
+
+++
++−
+−−⇔

<+−+++−++−−
xxxx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xxxxxx

+ Nh
ậ
n xét
5
6
,2
5
13
5
6
3
1
5
6
2
1
3117
1
265
1

−≥∀<
+−
+
−
<
+++
+
+++
x
xxxx

+ Do
đ
ó (1)
210)2)(1(02
2
<<−⇔<−+⇔<−−⇔ xxxxx
. K
ế
t lu
ậ
n nghi
ệ
m -1<x<2
Bài 36:
Gi
ả
i b
ấ
t ph

ươ
ng trình
)(63)1(22
2232
Rxxxxxxxx ∈++≥+++++

Hướng dẫn:

Đ
i
ề
u ki
ệ
n
2
−
≥
x

+ Nh
ậ
n xét x = -2 th
ỏ
a mãn b
ấ
t ph
ươ
ng trình
đ
ã cho

+ Xét tr
ườ
ng h
ợ
p x >-2 thì b
ấ
t ph
ươ
ng trình
đ
ã cho t
ươ
ng
đươ
ng
063)1(2222
2232
≥++−++++−++ xxxxxxx



T
UY
ỂN CHỌN 50 B
ÀI TOÁN GI
ẢI BẤT PH
ƯƠNG TR
ÌNH
-
ÔN THI THPT QU

ỐC GIA

Trang
15

NGUYỄN HỮU BIỂN -
/>
)1(0
632
1
22
1
)2)(1(
0
632
)2)(1(
22
2
632)(1(22
2
2
22
2
2
22
≥







+++
+
+
+++
+−⇔
≥
+++
−++
+
+++
−+
⇔
+−+++−++⇔
xx
x
xx
xx
xx
xxx
xx
xx
xxxxx

Ta có
1012,0
632
1
22

1
)2(
2
2
≥⇔≥−⇔−>∀>






+++
+
+
+++
+ xxx
xx
x
xx
x
.
K
ế
t lu
ậ
n
1
≥
x

Bài 37:
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau
2 5 3 2 4 1 5 6
x x x x
+ + − > + + −

Hướng dẫn:

2 5 4 1 3 2 5 6 0
1 1
( 2 4)[ ] 0
2 5 4 1 3 2 5 6
2
⇔ + − + + − − − >
⇔ − + + >
+ + + − + −
⇔ <
x x x x
x
x x x x
x

Bài 38:
Gi

ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình
2
2
3 1
1
1
1
x
x
x
− <
−
−
.
Hướng dẫn:

Đ
i
ề
u ki
ệ
n
1
x
<

. B
ấ
t ph
ươ
ng trình
đ
ã cho t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i:
2 2 2
2 2
2 2
1 3 3
1 2 0 (1)
1 1
1 1
x x x x x
x x
x x
− +
> − ⇔ − + >
− −
− −

+
Đặ

t
2
1
x
t
x
=
−
, khi
đ
ó b
ấ
t ph
ươ
ng trình (1) tr
ở
thành:
2
1
3 2 0
2
t
t t
t
<

− + > ⇔

>


+ V
ớ
i t < 1 thì
2
2
1 1 (2)
1
x
x x
x
< ⇔ < −
−

*
1 0:
x
− < ≤
b
ấ
t ph
ươ
ng trình (2)
đ
úng
*
0 1:
x
< <
b

ấ
t ph
ươ
ng trình
2 2
2
(2) 1 0
2
x x x⇔ < − ⇔ < <

T
ậ
p nghi
ệ
m c
ủ
a b
ấ
t ph
ươ
ng trình (2) là
1
2
1;
2
S
 
= −
 
 

 

+ V
ớ
i t > 2 thì
2
2
2 2 1 (3)
1
x
x x
x
> ⇔ > −
−

* B
ấ
t ph
ươ
ng trình (3)
2 2
0
2 5
5
4(1 )
x
x
x x
>


⇔ ⇔ >

> −


T
ậ
p nghi
ệ
m c
ủ
a b
ấ
t ph
ươ
ng trình (3) là
2
2 5
;1
5
S
 
=
 
 
 



T

UY
ỂN CHỌN 50 B
ÀI TOÁN GI
ẢI BẤT PH
ƯƠNG TR
ÌNH
-
ÔN THI THPT QU
ỐC GIA

Trang
16

NGUYỄN HỮU BIỂN -
/>
V
ậ
y t
ậ
p nghi
ệ
m c
ủ
a b
ấ
t ph
ươ
ng trình là
1 2
2 2 5

1; ;1
2 5
S S S
   
= ∪ = − ∪
   
   
   

Bài 39:
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình:
)(152)13(
23
Rxxxx ∈++>+

Hướng dẫn:

Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
3

1
−≥x

+ B
ấ
t ph
ươ
ng trình
đ
ã cho t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i
)1(0)113)(213(
)213)(213()213)(13(
134)213)(13(
)13(2152)213)(13(
2
2
<−−+−+⇔
++−+>−++⇔
++−>−++⇔
+−++>−++
xxxx
xxxxxxx
xxxxx
xxxxxxx

+ Ta có
3
1
,0113 −≥∀>+++ xxx
nên
(1)
)2(0)1()213(0
113
)1()213(
>−−+⇔>
+++
−−+
⇔ xxxx
xx
xxxx

Xét hai tr
ườ
ng h
ợ
p x
ả
y ra
+) V
ớ
i




<
>
⇔>−
0
1
0)1(
x
x
xx
thì (2)
1
10
0
0134
0
0
213
2
<⇔



<≤
<
⇔









<−−
≥
<
⇔>+⇔ x
x
x
xx
x
x
xx

+) V
ớ
i
100)1(
<
<
⇔
<
−
xxx
thì (2)
φ
∈⇔




>−−
<<
⇔<+⇔ x
xx
x
xx
0134
10
213
2

K
ế
t lu
ậ
n nghi
ệ
m






−= 1;
3
1
S

Bài 40:

Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình
)(,92515
392
)3453(2
Rxx
x
xxx
∈+<+
++
−+−

Hướng dẫn:

Đ
i
ề
u ki
ệ
n
3
5
≥x
. Lúc này b
ấ

t ph
ươ
ng trình
đ
ã cho t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i
3
3
5
3343
7
33
3
5
01029346
7
33
3
5
)733()152912(4
7
33
3
5
733152912225152912287

534532.5)3453(2
)392)(392(5)3453(2
222
22
<≤⇔




<∪>
<≤
⇔





>+−
<≤
⇔





−<+−
≤≤
⇔
−<+−⇔<+−+−⇔
<−+−⇔<−+−⇔

−+++<−+−
x
xx
x
xx
x
xxx
x
xxxxxx
xxxxxx
xxxxx

V
ậ
y b
ấ
t ph
ươ
ng trình ban
đầ
u có nghi
ệ
m là
3
3
5
<≤ x

Bài 41:
Gi

ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình :
( )
2 2
x 1 x 5 x x 1
− + + > +

Hướng dẫn:

x 1
+ ≤
: lo
ạ
i


T
UY
ỂN CHỌN 50 B
ÀI TOÁN GI
ẢI BẤT PH
ƯƠNG TR
ÌNH
-
ÔN THI THPT QU
ỐC GIA

Trang
17

NGUYỄN HỮU BIỂN -
/>
( )
2
2 2 2
2 2
2
2
x x 1 1 1
x 1: x 5 x 5 x x 5 x
x 1 x 1 x 1
5 1
5 x 1 x 5 x 4x 5 x 5
x 1
x 5 x
5
x
x 2
4
15x 40x 20 0
− +
+ > + > ⇔ + > + ⇔ + − >
− − −
⇔ > ⇔ − > + + ⇔ − > +
−
+ +


>

⇔ ⇔ >


− + >


V
ậ
y : x > 2
Bài 42:
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình :
(
)
2 3
. 2 1 2 1
x x x x x
− + ≤ − −

Hướng dẫn:

Đ

K:
1
x
2
≥ −

(
)
(
)
( )
)
2
2
2 1 2 1 0
2 1 0 2 1 0
1 2;
⇔ + − + + ≤
⇔ + − ≤ + + ≥

⇔ ∈ + +∞

BPT x x x x
x x vi x x
x

Bài 43:
Gi
ả
i b

ấ
t ph
ươ
ng trình:
+ + < +
0,2 0,2 0,2
log x log (x 1) log (x 2)
.
Hướng dẫn:

Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
>
x 0
(*).
+ + < +
0,2 0,2 0,2
log x log (x 1) log (x 2)
⇔ + < +
2
0,2 0,2
log (x x) log (x 2)

⇔ + > +
2
x x x 2

⇔ >
x 2
(vì x > 0).
V
ậ
y b
ấ
t ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m
>
x 2
.
Bài 44:
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình:
2
20 4 2 4
x x x x
+ + + ≤ +

Hướng dẫn:

Đ
i
ề
u ki
ệ
n: x

0 (*)
+ x = 0 là nghi
ệ
m bpt (1)
+ x > 0 chia 2 v
ế
BPT cho
x
ta
đượ
c:
4 2
x 20 1 2 x
x
x
 
+ + + ≤ +
 
 

-
Đặ
t

2
2 4
t x x t 4
x
x
= +
⇒
+ = −

B
ấ
t ph
ươ
ng trình thành:
2
t 16 2t 1
+ ≤ −
2 2
1
t
t 3
2
t 16 4t 4t 1

≥

⇔ ⇔ ≥


+ ≤ − +



V
ớ
i
t 3
≥
ta có:
2
x 3 x 4;0 x 1
x
+ ≥ ⇔ ≥ < ≤

K
ế
t h
ợ
p v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n (*) và nghi
ệ
m x = 0 ta
đượ
c t

ậ
p nghi
ệ
m bpt là
[
]
0; [ ; ]
S 1 4
= ∪ +∞

Bài 45:
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình:
2
300 40 2 10 1 3 10
0
1 1 2
x x x x
x x
− − − − − −
≤
+ + − −

T
UY
ỂN CHỌN 50 B
ÀI TOÁN GI
ẢI BẤT PH
ƯƠNG TR
ÌNH
-
ÔN THI THPT QU
ỐC GIA

Trang
18

NGUYỄN HỮU BIỂN -
/>
K
ế
t h
ợ
p v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n ta có nghi
ệ

m b
ấ
t ph
ươ
ng trình là:
1 3
5 10
x
≤ ≤

Bài 46:
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình:
(
)
2
( 2) 2 3 2 1 2 5 3 1
x x x x x
+ + − + + + + ≥

Hướng dẫn:

Đ
i
ề

u ki
ệ
n:
1
x
≥ −

Đặ
t
2 2
2
2 2
2
2 3
1 2 5 3
, 0
1 2
x a b
x a
x b x x ab
a b
a b




+ = −
+ =









+ = ⇒ + + =
 
 
 
≥
 
= −
 
 


.
B
ấ
t ph
ươ
ng trình tr
ở
thành:
2 2 2 2
( )( 2 ) 2
a b a b ab a b
− − + ≥ −

2 2 2 2
( )( 2 ) ( ) ( ) 0
( )( 2 ) ( 2 ) 0 ( 0)
( 2 )( 1) 0
a b a b b a b a b
a b a b a b do a b
a b a b
⇔ − − + + − − ≥
⇔ − − − − ≥ + >
⇔ − − − ≥

TH1:
1
1
1 1
2 3 2 1 0 3
2 2
2 3 1 1 0
1 3
x
x
x x x x
x x
x


≥ −




≥ −






 
+ − + ≤ ⇔ ≥ − ⇔ − ≤ ≤
 
 
 
 
+ − + − ≤
− ≤ ≤
 






Hướng dẫn:

Đ
i
ề
u ki
ệ
n:

1 3
10 10
x≤ ≤

- Ta có:
1 3
1 1 2, ;
10 10
x x x
 
+ + − < ∀ ∈
 
 
(Theo B
Đ
T Bunhia)
2
2
Bpt 300 40 2 10 1 3 10 0
( 10 1 1) ( 3 10 1) 300 40 4
10 2 2 10
(10 2)(30 2)
10 1 1 3 10 1
x x x x
x x x x
x x
x x
x x
⇔ − − − − − − ≥
⇔ − − + − − ≤ − −

− −
⇔ + ≤ − +
− + − +

1 1
(10 2) 30 2 0
10 1 1 3 10 1
x x
x x
 
⇔ − − − − ≤
 
− + − +
 
(*)
2 2
1 1
( ) 30 2
10 1 1 3 10 1
5 5 1 3
'( ) 30 0, ( ; )
10 10
10 1( 10 1 1) 3 10 ( 3 10 1)
f x x
x x
f x x
x x x x
= − − −
− + − +
= − − − < ∀ ∈

− − + − − +

- M
ặ
t khác
( )
f x
liên t
ụ
c trên
1 3
[ ; ]
10 10
nên
( )
f x
ngh
ị
ch bi
ế
n trên
1 3
[ ; ]
10 10

3 1
( ) ( ) ( ) 0
10 10
f f x f
⇒

≤ ≤ <
( Hs có th
ể

đ
ánh giá)
- Do
đ
ó b
ấ
t ph
ươ
ng trình (*)
1
10 2 0
5
x x
⇔ − ≥ ⇔ ≥



T
UY
ỂN CHỌN 50 B
ÀI TOÁN GI
ẢI BẤT PH
ƯƠNG TR
ÌNH
-
ÔN THI THPT QU

ỐC GIA

Trang
19

NGUYỄN HỮU BIỂN -
/>
TH2:
1
1
1
2 3 2 1 0 1
2
2 3 1 1 0
1; 3
x
x
x x x x
x x
x x


≥ −



≥ −







 
+ − + ≥ ⇔ ≤ − ⇔ = −
 
 
 
 
+ − + − ≥
≤ − ≥
 






V
ậ
y b
ấ
t ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m
1
{ 1} ;3
2

S
 
 
= − ∪ −
 
 

Bài 47:
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình
2 2
1 2 3 4 .
x x x x
+ − ≥ − −

Hướng dẫn:

Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
2
2

0
0 1
3 41
1 0 0 .
3 41 3 41
8
2 3 4 0
8 8
x
x
x x
x
x x
≥

≤ ≤

− +


− ≥ ⇔ ⇔ ≤ ≤
 
− − − +
≤ ≤
 
− − ≥


(*)
B

ấ
t ph
ươ
ng trình
đ
ã cho t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i

2 2 2
1 2 (1 ) 2 3 4
x x x x x x
+ − + − ≥ − −
2 2
3( ) (1 ) 2 ( )(1 ) 0
x x x x x x
⇔ + − − + + − ≥

2 2 2
2
5 34
1
9
3 2 1 0 9 10 1 0
1 1 1 3
5 34

.
9
x
x x x x x x
x x
x x x
x

− +
≥

+ + +

⇔ + − ≥ ⇔ ≥ ⇔ + − ≥ ⇔
− − − 
− −
≤



K
ế
t h
ợ
p
đ
i
ề
u ki
ệ

n (*), ta suy ra nghi
ệ
m c
ủ
a b
ấ
t ph
ươ
ng trình là
5 34 3 41
.
9 8
x
− + − +
≤ ≤

Bài 48:
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình

(
)
(
)
2 3 2

5 5 10 7 2 6 2 13 6 32
x x x x x x x x
− + + + + + ≥ + − +
.
Hướng dẫn:

Đ
i
ề
u ki
ệ
n
2
x
≥ −
. B
ấ
t ph
ươ
ng trình
đ
ã cho t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i b
ấ
t ph

ươ
ng trình
(
)
(
)
2 2 3 2
(5 5 10) 7 3 (2 6) 2 2 3(5 5 10) 2(2 6) 13 6 32
x x x x x x x x x x x
− + + − + + + − + − + + + ≥ + − +

(
)
(
)
2 3 2
(5 5 10) 7 3 (2 6) 2 2 2 5 10 0
x x x x x x x x
⇔ − + + − + + + − − + − + ≥

( )
2
2
5 5 10 2 6
2 5 0
7 3 2 2
x x x
x x
x x
 

− + +
⇔ − + − − ≥
 
+ + + +
 

(*)

+ Do
1 1
2 2 2 2
2
2 2
x x
x
≥ −
⇒
+ + ≥
⇒
≤
+ +
và vì
2 6 0
x
+ >

2 6 2 6
3
2
2 2

x x
x
x
+ +
⇒
≤ = +
+ +
(1)
+ Do
2
x
≥ −
⇒

1 1
7 3 5 3 5
5
7 3
x
x
+ + ≥ + >
⇒
<
+ +
và vì
2
5 5 10 0x x x
− + > ∀ ∈
ℝ

2 2 2
2 2
5 5 10 5 5 10 5 5 10
2 5 3
5
7 3 7 3
x x x x x x
x x x x
x x
− + − + − +
⇒
< = − +
⇒
− − < − −
+ + + +
(2)
T
ừ
(1) và (2)
2
2
5 5 10 2 6
5 0
7 3 2 2
x x x
x
x x
− + +
⇒ + − − <
+ + + +

. Do
đ
ó (*)
2 0 2
x x
⇔ − ≤ ⇔ ≤

K
ế
t h
ợ
p
đ
i
ề
u ki
ệ
n
2 2 2
x x
≥ −
⇒
− ≤ ≤
.


T
UY
ỂN CHỌN 50 B
ÀI TOÁN GI

ẢI BẤT PH
ƯƠNG TR
ÌNH
-
ÔN THI THPT QU
ỐC GIA

Trang
20

NGUYỄN HỮU BIỂN -
/>
Bài 49:
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau
1 2
3 1
3
log (2 8) log (24 2 ) 0
+ +
− + − ≤
x x

Hướng dẫn:

Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
x 1
x 2
2 8 0
24 2 0
+
+

− >


− >



(1)
(
)
(
)
x 1 x 2
3 3
log 2 8 log 24 2
+ +
⇔ − ≤ −

x 1 x x
x 1 x 2 x x x
2 8 0 2 4 2 4
2 8 24 2 2.2 8 24 4.2 6.2 32
+
+ +
  
− > > >
  
⇔ ⇔ ⇔
  
− ≤ − − ≤ − ≤
  
  


x
2
16 16
4 2 2 x log
3 3
 
⇔ < ≤ ⇔ < ≤
 
 

Bài 50:
Gi
ả

i b
ấ
t ph
ươ
ng trình
2
2( 3 3 2 ) 2 3 7 0
+ − − + + − ≥
x x x x

Hướng dẫn:

Đ
i
ề
u kiên :
3
3 x
2
− ≤ ≤

(
)
( )
( )( )
( )
2
2 x 3 2 1 3 2x 2x 3x 5 0
1 3 2x
x 3 4

2 x 1 2x 5 0
x 3 2 1 3 2x
2 4
x 1 2x 5 0
x 3 2 1 3 2x
(*)
⇔ + − + − − + + − ≥
 
− −
+ −
⇔ + + − + ≥
 
+ + + −
 
 
⇔ − + + + ≥
 
+ + + −
 


Do
3 4
3 x 3 2x 9 1
2
3 2x 1
− ≤ ≤
⇒
− ≤
⇒

≥
− +
và
2x 5 1
+ ≥ −
nên
2 4 3
2x 5 0, x 3;
2
x 3 2 1 3 2x
 
+ + + > ∀ ∈ −
 
+ + + −
 

- T
ừ
(*)
x 1 0 x 1
⇔ − ≥ ⇔ ≥
. K
ế
t h
ợ
p v
ớ
i
đ
i

ề
u ki
ệ
n
⇒
t
ậ
p nghi
ệ
m c
ủ
a b
ấ
t ph
ươ
ng
trình là
3
;
2
T 1
 
=
 
 

NGUYỄN HỮU BIỂN -
/>