bộ đề ôn tập học kì 1 môn toán 11

**********

BỘ ĐỀ ƠN TẬP
HỌC KÌ I

LỚP 11
NĂM HỌC 2015-2016



TP. HỒ CHÍ MINH NĂM 2015


Đề 1
I. PHẦN CHUNG CHO THÍ SINH CẢ HAI BAN
Câu I:
1). Tìm tập xác định các hàm số sau:
a). y =
c). y =

1 + cosx
2sinx-3

b). y = tan( x + 3)

t an 2 x
cosx+1

d). y =

1

− sin x + 3s inx-2
2

2). Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:


π

a). y = sinx + sin  x − 3 ÷



b).

y = 2 2 − 2s in2x + 5

3). Giải các phương trình sau:
a)

cot

x
+ tan 650 = 0
2

b) cos2x – 3sinx = 2

c) sin3x – cos3x = 1

d) cosx + cos2x = sinx – sin2x

Câu II:
1). Cho hai đường thẳng song song d1 và d2. Trên d1 lấy 15 điểm phân
biệt, trên d2 lấy 25 điểm phân biệt. Tính số tam giác có các đỉnh là 3
trong số 40 điểm đã cho trên d1 và d2.
10

2). Trong khai triển

 3 2
 2x + 2 ÷
x 


. Tìm hệ số của số hạng chứa x15

3). Một đa giác lồi có các 10 đỉnh là A,B,C,D,E,F,G,H,I,J .Các đỉnh
đó được ghi vào mỗi thẻ Chọn ngẫu nhiên 2 thẻ . Tính xác suất để
lấy ra 2 thẻ mà tên 2 thẻ đó được tạo ra khơng trùng tên với các cạnh
của đa giác.
Câu III: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi C’ là
trung điểm của SC và M là điểm di động trên cạnh SA. (P) là mặt
phẳng qua C’M và song song song với BC cắt SB, SD tại B’ và N
1. Tìm giao tuyến của (SAB) và (SCD). Tìm giao điểm của
AC’ với mp(SBD)
2. CMR: Tứ giác MB’C’N là hình thang.
3. Xác định vị trí của M để MB’C’N là hình bình hành.
II. PHẦN DÀNH CHO THÍ SINH TỪNG BAN:
A. Thí sinh theo chương trình chuẩn chọn Câu IV.a và Câu V.a

Câu IV.a
1). Cho 1; x +1 ; y-2 ; 19 là các số hạng liên tiếp của một cấp số cộng
. Tìm x ; y
u1 + u5 = 51
 2 + u6 = 102

2). Cho cấp số nhân(un) có u

a). Tìm số hạng đầu và cơng bội CSN.
b). Số 12288 là số hạng thứ mấy.
Câu V.a Trong mặt phẳng cho đường d : x + 2y – 4 = 0 , điểm
A(2;1) .
1). Hãy tìm ảnh của A và d bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối
r
xứng tâm 0 và phép tịnh tiến theo véctơ v =(1;-1).
2). Tìm ảnh của (C): (x – 2 )2 + y2 = 4 qua phép quay tâm O góc
quay 450.
Đề 2
I. PHẦN CHUNG CHO THÍ SINH CẢ HAI BAN
Câu I:
1). Tìm tập xác định của hàm số sau: y = cos x + 1
2). Tìm GTLN, GTNN của hàm số sau:

π
y = cos x + cos( x − )
3

3). Giải các phương trình sau:
x

−1 = 0
4
c). 5sinx- 2 6cosx =7
a). 4sin 2

b).sin 2 x + 2cosx+3=0
d).cos 2 x + 2sin 2 x − sin 2 x = 1

Câu II:
1). Cho nhị thức

1
(2 x − )16
x

a). Tính tổng các hệ số của nhị thức trên.
b). Tìm hệ số của số hạng thứ10.
c). Tìm số hạng không chứa x của nhị thức.
2). Gieo 2 con súc sắc cân đối và đồng chất
a). Xác định không gian mẫu
b). Tính xác suất để tổng số chấm hai lần gieo lớn hơn hoặc bằng 8.


Câu III: Cho hình chóp S.ABCD ,đáy ABCD là hình thoi , cạnh a,
góc A có số đo 600. M,N là hai điểm thuộc các cạnh SA,SB sao cho
SM SN 1
=
= .
SA SB 3

a). Tìm giao tuyến của mp(SAB) và mp(SCD); mp(SAC) và
mp(SBD).
b). Chứng minh: MN // mp(SCD).
c). Gọi (P) là mặt phẳng qua MN và song BC. Tìm thiết tạo bởi
mp(P) và hình chóp. Thiết diện là hình gì. Tính diện tích của thiết
diện.
II. PHẦN DÀNH CHO THÍ SINH TỪNG BAN:
A. Thí sinh theo chương trình chuẩn chọn Câu IV.a và Câu V.a
Câu IV.a
1). a). Dùng qui nạp chứng minh n(n 2 − 1)M6 ∀n ∈ N *
b). Xét tính tăng , giảm và bị chặn của dãy số (un) biết:
2). a). Tìm số hạng đầu và cơng sai cấp số cộng

un =

n
n +1

u3 + u9 = 15

u2 − 2u 4 + u7 = 2

b). Tìm tổng của 15 số hạng đầu của một cấp số cộng biết u1 = 2; u9
= ─14
Câu V.a Trong mp 0xy cho A(1;2); và đường thẳng d: x-2y+3=0.
hãy tìm ảnh của A và d qua các phép biến hình sau:
u
r
a). Phép tịnh tiến u = (1; 4) ;
b). Phép đối xứng tâm 0

0
c). Phép quay tâm 0 góc quay 90
d). Phép vị tự tâm 0, tỉ số k=2
Đề 3
I. PHẦN CHUNG CHO THÍ SINH CẢ HAI BAN
Câu I:
1). Tìm tập xác định của hàm số:

2s inx+1
2sinx-1
y = 3cos 2 x - 2 cos x + 1
y=

2). Xét tính chẵn lẻ của hàm số:
3). Giải các phương trình lượng giác sau:
a). cos3x + sin3x = 1
b). 3tanx +

3 cot x − 3 − 3 = 0


c). 4cos2x + 3sinxcosx – sin2x = 3
3

d). Sin6 x + cos6 x +sin4 x + cos4x+ cos4x + 2 = 0
Câu II:
1). Một hộp đựng 7 cây bút xanh và 3 cây bút đỏ, lấy ngẩu nhiên 3
cây bút. Tính xác suất để lấy 2 cây bút xanh trong 3 cây bút đã lấy ra.
2). Tìm hạng tử khơng chứa x trong khai triển:

(2 x −

1 8
)
x2

Câu III: Cho hình chóp SABCD, ABCD là hình bình hành. Gọi M,
N, P là trung điểm của BC, AD, SD.
a) Xác định giao tuyến của (SAB) và (SCD), (SAM) và (SBC)
b) Cmr: MN // (SAB)
c) Tìm giao điểm của AM và (SBD)
Xác định thiết diện (MNP) và hình chóp, thiết diện là hình gì?
II. PHẦN DÀNH CHO THÍ SINH TỪNG BAN:
A. Thí sinh theo chương trình chuẩn chọn Câu IV.a và Câu V.a
Câu IV.a
1
2
3
1). Cho cấp số cộng Cx ; C x ; Cx . Tìm x .
2). Cho dãy số (un) với un = 3.2n
a). Chứng minh dãy số trên là một cấp số nhân.
b). Số hạng thứ mấy của dãy số trên có giá trị 3072
c). Tính tổng 10 số hạng đầu của dãy số.
Câu V.a Trong mp Oxy cho đường thẳng d : 3x – 2y + 5 = 0 và
đường trịn có phương trình (C): (x + 1)2 + (y – 1)2 = 9.
a) Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo vectơ
r
v = (3; −2) .
b) Tìm ảnh của đường trịn (C) qua phép quay tâm O góc 900 .
c) Tìm ảnh của đường thẳng d khi thực hiện liên tiếp hai phép

biến hình: phép đối xứng tâm O và phép vị tự tâm O tỷ số bằng
3.
Tìm ảnh của đường trịn (C) khi thực hiện liên tiếp hai phép biến
hình: phép đối xứng trục Oy và phép quay tâm O góc quay 450 .
Đề 4
I. PHẦN CHUNG CHO THÍ SINH CẢ HAI BAN
Câu I:


1). Tìm tập xác định của y =

cos x
cos 2 x + cos x + sin 2 x

2). Tìm GTLN –GTNN của y =

3cos 2 x + 1

3). Giải các phương trình sau :
a). cos x ( 3 + sin 2 x ) = cos 2 x ( sin x + 2 ) b). cos3x –cos5x = sin 2x
c). 6cos2x + 5sinx – 7 = 0 .
d). sin 2 x − 3.cos 2 x = − 2
Câu II:
1). Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam, 15 nữ. Có bao nhiêu
cách chọn 4 học sinh sao cho:
a). Có hai nam, hai nữ.
b). Phải có ít nhất một nữ.
2). Từ cỗ bài tú lơ khơ 52 con, chọn ngẫu nhiên cùng một lúc bốn
con.
a). Có bao nhiêu cách chọn nếu có đúng một con K và hai con át.

b). Tính xác suất để trong các con bài được chọn có ít nhất một con
K hoặc có ít nhất một con át
3). Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển (x 2 +

1
x

) 12

Câu III: Cho hình chóp S.ABCD. Đáy là hình bình hành tâm O ;
AB = 2a BC = a Tam giác SAB vuông tại A ; B = 300
1). Tìm giao tuyến của mp(SAC) và mp(SBD); mp(SAD) và
mp(SBC)
2). Điểm N thuộc cạnh SA . Tìm giao điểm của CN và mp(SBD)
3). Gọi G1 , G2 lần lượt là trọng tâm của tam giác SBC và SBD.
Chứng minh G1G2 song song mp(ABCD)
4). Điểm M thuộc đoạn AD với AM = x ( 0 < x < a ) . Mp( P) qua M
song song SA và CD .Xác định thiết diện của mp( P) với hình chóp
S.ABCD .Tính diện tích của thiết diện đó. Định x để diện tích này lớn
nhất.
II. PHẦN DÀNH CHO THÍ SINH TỪNG BAN:
A. Thí sinh theo chương trình chuẩn chọn Câu IV.a và Câu V.a
Câu IV.a 1) Cho cấp số cộng, biết rằng:

u1 + u2 + u3 = 6

u3 .u2 = 6

a). Tìm số hạng đầu và cơng sai của cấp số cộng.

b). Tính tổng của 27 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.Xác định ấp
số cộng , biết: a5 = 19, a9 = 35.
2). Xác định cấp số nhân gồm 6 số hạng, biết tổng 3 số hạng đầu
bằng 168, tổng 3 số hạng sau bằng 21
Câu V.a Trong mp Oxy, cho d: 3x – 4y – 1 = 0, (C): x2 + y2 +12x +
16y + 51 = 0. Tìm ảnh của d, (C) qua phép đối xứng tâm I(3;-2)
Đề 5
I. PHẦN CHUNG CHO THÍ SINH CẢ HAI BAN
Câu I:
1). Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y = 1 + 3 + sin x
2). Tìm tập xác định của hàm số:
3). Giải phương trình:
b).

π
π
cot( − x) = − tan( − 2 x)
6
6

a)
c).

y=

1 + s inx
1 − s inx

π

sin(2 x + ) − 3 sin(π − 2 x) = 2
2
sin 2 x − 3 sin x cos x + 2 cos 2 x = 1

Câu II:
1). Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng, 6 viên bi vàng, người
ta chọn ra 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong
số bi lấy ra không đủ 3 màu?
2). Biết hệ số của x2 trong khai triển (1+3x)n là 90. Tìm số hạng đứng
giữa trong khai triển.
Câu III: Cho hình chóp S.ABCD, mặt đáy ABCD là hình thang đáy
lớn AB, M là trung điểm của CD. Mặt phẳng (P) qua M song song
với SA và BC.
a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng (SAD) và (SBC);
(SAC) và (SBD)
b) Thiết diện của mặt phẳng (P) và hình chóp S.ABCD là
hình gì?
c) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (SAD).
II. PHẦN DÀNH CHO THÍ SINH TỪNG BAN:
A. Thí sinh theo chương trình chuẩn chọn Câu IV.a và Câu V.a
Câu IV.a 1) Một cấp số cộng có số hạng thứ nhất là 5, số hạng cuối
là un = 45 và tổng các số hạng là 400. Tìm cơng sai d và n


2) Cho 2; x ; y; 20 là các số hạng liên tiếp của một cấp số cộng.Tìm
x;y
3) Cho 1; cosx ; sin 2x là các số hạng liên tiếp của cấp số nhân .
Tìm x
Câu V.a Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn (I , R) với I(1 ; 3), bán kính R = 2. Hãy viết phương trình ảnh của đường trịn (I ,
R) qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai

phép Tv với v = (1;−4) và V( O ,−3) .
Đề 6
I. PHẦN CHUNG CHO THÍ SINH CẢ HAI BAN
Câu I:
1). Tìm tập xác định của hàm số:

y=

cotx
cosx-1

2). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
3). Giải các phương trình:
a ). 2sin 2 x − ( 3 + 2) sin x + 3 = 0

c). 1 + cos 2 x + cos 4 x = 0; x ∈ [ 0; π ]

y = 2 − cosx + 3

b). 3sin 2 x − sin x cos x − 4 cos 2 x = 2

Câu II:
1). Một tổ trực có 9 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Giáo viên chọn ra
3 học sinh.
Tính xác suất để:
a). Cả 3 học sinh cùng giới tính.
b). Có ít nhất 1 học sinh nữ.
2). Tìm số hạng thứ năm trong khai triển

2

( x + )10 ,mà
x

trong khai triển

đó số mũ của x giảm dần.
Câu III:
II. PHẦN DÀNH CHO THÍ SINH TỪNG BAN:
A. Thí sinh theo chương trình chuẩn chọn Câu IV.a và Câu V.a
Câu IV.a 1). Tìm x trong cấp số cộng biết: (x+1)+(x+4)+……..
+(x+28) = 155.
2). Tìm tất cả các giá trị của x để 1+sinx, sin2x, 1+ sin 3x là 3 số
hạng liên tiếp của cấp số cộng


u1 + u5 = 51
 2 + u6 = 102

3). Cho cấp số nhân (un) có u

a) Tìm số hạng đầu tiên u1 và công bội q
b) Tổng của bao nhiêu số hạng đầu tiên bằng 3069?
c) Số 12288 là số hạng thứ mấy của cấp số nhân?
Câu V.a Trong mặt phẳng oxy cho đường thẳng d: 3x-5y+3=0, M(r
1;0), v =(2;3)
a) Tìm ảnh của điểm M và đường thẳng d qua phép đồng
r
dạng có được từ việc thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo v và
phép đối xứng trục Ox.
b) Viết phương trình đường trịn ảnh của đường trịn (C) có

r
tâm M, bán kính bằng 3 qua phép tịnh tiến theo v
Đề 7
I. PHẦN CHUNG CHO THÍ SINH CẢ HAI BAN
Câu I:
1). Xét tính chẵn lẻ của hàm số:

2). Tìm GTLN và GTNN của hàm
3). Giải các phương trình:
π
 1
a ) cos  − x ÷ =
3
 2

x + s inx
cosx
số: y = 3sin 2 x + cos 2 2 x

y=

b) 6sin 2 x + 5sin x - 2 = 0

Câu II:
1). Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số trong đó chữ số đứng sau
phải lớn hơn chữ số đứng trước.
12

2). Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển

2 

 3x − 2 ÷
x 


.

Câu III: Cho hình chóp SABCD,ABCD là hình thang,I là giao
điểmn hai đường chéo ,hai cạnh bên AD và BC cắt nhau tại K
1) Tìm giao tuyến (SAD) và (SBC) ; (SAB) và (SDC)
2) M là trung điểm SB.Tìm giao điểm MD và (SAC)
3) Gọi là mp qua I và song song SA,CD cắt AD,CB,SC,SD lần lượt
tại M’,N,P,Q.Chứng minh rằng M’NPQ là hình thang và giao điểm
hai cạnh bên thuộc SK.
II. PHẦN DÀNH CHO THÍ SINH TỪNG BAN:
A. Thí sinh theo chương trình chuẩn chọn Câu IV.a và Câu V.a


Câu IV.a 1) Chứng minh: 4n − 1 chia hết cho 3 với mọi n ∈ N *
2) Cho dãy số (un ) : un = 3n − 2 .
a) Tính số hạng thứ 100.
b) Số 292 là số hạng thứ mấy của dãy.
c) Tính tổng của 50 số hạng đầu của dãy.
Câu V.a Trong mp Oxy cho đường thẳng d : 3x – 2y + 5 = 0 và
đường trịn có phương trình (C): (x + 3)2 + (y – 1)2 = 9.
a). Tìm ảnh của đường thẳng d khi thực hiện liên tiếp hai phép biến
hình: phép đối xứng tâm O và phép vị tự tâm O tỷ số k= 3 .
b). Tìm ảnh của đường trịn (C) khi thực hiện liên tiếp hai phép biến
hình: phép đối xứng trục Oy và phép quay tâm O góc quay 900 .

Đề 8
I. PHẦN CHUNG CHO THÍ SINH CẢ HAI BAN
Câu I:
1). Tìm tập xác định của hàm số :

y=

2010
1- 2cosx

2). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :
y = (s inx-2cosx)(2sinx+cosx)-1

3). Giải các phương trình:
a) 2sin 2 x + s inx.cosx - 3cos 2 x = 0

b) sin x + cos x = 1

Câu II:
1). Cho các số 1,2,3,4,5. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác
nhau sao cho:
a) Số đó là số chẵn.
b) Số đó chia hết cho 3.
0
1
2
10
A = C10 + 2C10 + 22 C10 + ... + 210 C10
2) Tính
3). Tìm hệ số của số hạng khơng chứa x trong khai triển nhị thức

(x +

8 n
) ,
x3

biết

C0 + C1 + C2 + ... + Cn = 256
n
n
n
n

Câu III: Cho hình chóp S.ABCD có AB và CD khơng song song, M
là trung điểm SC.
a) Tìm giao điểm N của SD và (MAB).
b) Gọi O là giao điểm AC và BD. CM: SO, AM, BN đồng quy.
II. PHẦN DÀNH CHO THÍ SINH TỪNG BAN:
A. Thí sinh theo chương trình chuẩn chọn Câu IV.a và Câu V.a


Câu IV.a 1) Tìm số hạng đầu và cơng sai của cấp số cộng biết:
u1 + u3 + u5 = 8

 2
2
2
u2 + u4 + u6 = 56


2) Cho dãy số (un): un = 2.3n − 1 .
a) Xét tính tăng giảm của dãy số.
b) Tính tổng 50 số hạng đầu của dãy.
3). Chứng minh rằng: với mọi số nguyên dương n ta có:
13 + 23 + 33 + .... + n3 =

n 2 (n + 1)2
4

r

Câu V.a Trong mặt phẳng Oxy, cho d : x + 2 y − 1 = 0 và v = (2; −3)
a) Tìm ảnh d’ của đường thẳng d qua Tvr .
b) Tính khoảng cách giữa d và d’.
c) Gọi M’(x’;y’) là ảnh của M(x;y) qua Tvr . Tính MM’.
Đề 9
I. PHẦN CHUNG CHO THÍ SINH CẢ HAI BAN
Câu I:
1). Tìm TXĐ của các hàm số sau:
a. y =

cos x + 2
sin 2 x + 1

x

π

b. y = tan ( 2 + 4 )

2). Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau:
a. y =

3
4 cos 2 x + 1

b. y = 3sin4x – 4cos4x + 2

3). Giải các phương trình:
a ) cos x + cos 2 x = sin x - sin 2 x

b) sin 2 x + sin 2 3 x + sin 2 5 x =

3
2

Câu II:
1). Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên
có 5 chữ số phân biệt mà không bắt đầu bởi 12 ?
10

2). Cho khai triển:

3

 2x − 3 ÷
x 


a) Tìm số hạng chứa x2.
b) Tính tổng tất cả các hệ số của khai triển.
Câu III: Cho hình chóp S.ABCD, gọi M là một điểm thuộc miền
trong của ∆SCD .
a) Tìm giao tuyến của (SBM) và (SAC).


b) Tìm giao điểm của BM và (SAC).
c) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi (ABM).
II. PHẦN DÀNH CHO THÍ SINH TỪNG BAN:
A. Thí sinh theo chương trình chuẩn chọn Câu IV.a và Câu V.a
Câu IV.a 1) Tìm 5 số lẻ liên tiếp biết tổng của chúng bằng 75.
2) Cho dãy số (un): un = 7 − 5n
a) Xét tính bị chặn của dãy số.
b) Tính S = u3 + u6 + u9 + ... + u99
c) Tính S = u101 + u102 + ... + u200
3). Giải phương trình :
( 502 – 492 + 482 – 472 + 462 – 452 + …….+ 22 – 12 ) .x = 51
Câu V.a Trong mặt phẳng Oxy, cho I(3;-4) và đường tròn
(C ) : x 2 + y 2 − 2 x + 4 y + 1 = 0 , d : 2 x + y − 5 = 0
a) Tìm ảnh (C’) của đường trịn (C) qua phép đối xứng tâm I.
b) Tìm ảnh (d’) của đường thẳng (d) qua phép đối xứng tâm I.
c) Xét vị trí tương đối của (C) và d. Từ đó suy ra vị trí tương
đối giữa (C’) và d’.
Đề 10
I. PHẦN CHUNG CHO THÍ SINH CẢ HAI BAN
Câu I:
1). Tìm TXĐ của các hàm số sau:
a) y =

2
2cosx + 1

π

b) y = cot (3x − 2 )

2). Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) y = 2 + 3Sinx b) y = 3 - 2Cos2x + 2Sin2x
3). Giải các phương trình:
 π
a ) s inx + cos  x+ ÷ = 0
3


b) 2sin 2 x + 2sin 2 x + 4 cos 2 x = 1

Câu II:
n

1) Cho biết hệ số của số hạng 3 của khai triển

3
 2
x
x x +
÷

x ÷




bằng 36.

Hãy tìm số hạng chính giữa của khai triển.
2) Gieo lần lượt một con súc sắc 3 lần.
a) Tính số phần tử của khơng gian mẫu.
b) Tính xác suất sao cho tổng số chấm của ba lần gieo là 5.


Câu III: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.
Gọi H, K lần lượt là trung điểm của SA, SB.
a) Chứng minh: HK // (SCD).
b) Cho M thuộc đoạn SC. Tìm giao tuyến của (HKM) và (SCD).
c) Tìm giao điểm I của DK với (SAC). Chứng minh: I là trọng tâm
của tam giác SAC
II. PHẦN DÀNH CHO THÍ SINH TỪNG BAN:
A. Thí sinh theo chương trình chuẩn chọn Câu IV.a và Câu V.a
Câu IV.a 1) Chứng minh: Nếu a,b,c lập thành cấp số cộng thì 3a ,3b ,3c
lập thành cấp số nhân.
2) Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân biết:

u2 + u5 − u4 = 10

u3 + u6 − u5 = 20

Câu V.a Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ : 3x + 4 y − 5 = 0 và
(C ) : ( x − 1) 2 + ( y + 2) 2 = 9 .
a) Viết phương trình đường trịn (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua
phép đối xứng trục ∆ .

b) Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng
d : 2 x + 3 y − 5 = 0 qua phép đối xứng trục ∆ .
c) Tính góc giữa d và ∆ , từ đó suy ra góc giữa d và d’.
Đề 11
I. PHẦN CHUNG CHO THÍ SINH CẢ HAI BAN
Câu I:
3

1). Tìm tập xác định của hàm số: a). y = 2.sin 2 x + 1

b). y =

2Cosx + 3
2 Sinx + 1

2). Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) y = 2 + 3Sinx
b) y = 5 − 2Cos 2 2 xSin 2 2 x
3). Giải các phương trình:
a) 3 cos x + sin x = 2 cos 2 x

b) cos x - sin x + 6sin x.cos x = 1

Câu II:
1). Trên giá sách có 4 quyển sách Toán học, 5 quyển sách Vật lý và 3
quyển sách Hóa học.
Lấy ngẫu nhiên 4 quyển. Tính xác suất sao cho:
1) 4 quyển lấy ra có ít nhất một quyển sách Vật lý?
4 quyển lấy ra có đúng hai quyển sách Toán học?

6

2). Khai triển nhị thức:

1

 − x÷
x


n

.Trong khai triển của nhị thức

 2 2
x + ÷
x


biết hệ số của số hạng thứ ba (theo chiều giảm dần số mũ của x) là
112. Tìm n và hệ số của số hạng chứa x4.
Câu III: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành
với AB = a, AD = 2a. Mặt bên (SAB) là tâm giác vuông cân tại A.
Trên cạnh AD lấy điểm M với AM = x (0 ≤ x < 2a) . Mặt phẳng ( α ) qua
M và song song SA, AB cắt BC, SC, SD tại N,P,Q.
a) Tứ giác MNPQ là hình gì?
b) Tìm diện tích MNPQ theo a và x.
II. PHẦN DÀNH CHO THÍ SINH TỪNG BAN:
A. Thí sinh theo chương trình chuẩn chọn Câu IV.a và Câu V.a

Câu IV.a 1) Chứng minh: 5n − 1 ≥ 4n ∀n ∈ N* .
2) Cho dãy số

(un ) : un =

n−2
n +1

a) Xét tính tăng giảm của dãy số.
b) Xét tính bị chặn của dãy số.
c) Tìm các số hạng nguyên của dãy số.
3). Chứng minh rằng: Nếu a, b, c lập thành CSC thì x = a 2 – bc , y =
b2 – ac ,
z = c2 – ab cũng tạo thành CSC.
Câu V.a Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d : 2 x − 3 y + 2 = 0 và
đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 4 x − 4 y − 1 = 0 .
a) Viết phương trình d’ là ảnh của d qua phép Q(O;90 ) .
b) Viết phương trình (C’) là ảnh của (C) qua phép Q(O;90 ) .
c) Tính khoảng cách từ O đến d và d’.
Đề 12
I. PHẦN CHUNG CHO THÍ SINH CẢ HAI BAN
Câu I:
y = cos x + 1
1). Tìm TXĐ của hs sau:
2). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:
0

0

π


y = sin  x + ÷+ sin x
3



3). Giải các phương trình:
a) cos(2 x + 100 ) + sin(800 − 2 x) + 1 = 0

b) (1 + sin x)(cos x - sin x) = cos 2 x

Câu II:
1) Tìm x biết:

a) C1 + C 2 + C3 =
x
x
x

7
x
2

2
b) 2A 2 + 50 = A 2x
x

2) Một bình chứa 8 viên bi chỉ khác nhau về màu, trong đó có 5 viên
bi xanh, 3 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ bình. Tính xác xuất
để được:

a) 2 viên bi xanh.
b) 2 viên bi đỏ.
Câu III: Cho tứ diện ABCD, gọi I, J lần lượt là trung điểm AC và
BC. Trên BD lấy điểm K sao cho BK=2KD.
a) Tìm giao điểm E của CD và (IJK). Chứng minh: DE=DC.
b) Tìm giao điểm F của AD và (IJK). Chứng minh: FA=2FD.
c) Chứng minh: FK//IJ.
II. PHẦN DÀNH CHO THÍ SINH TỪNG BAN:
A. Thí sinh theo chương trình chuẩn chọn Câu IV.a và Câu V.a
Câu IV.a 1) Tìm các số hạng của cấp số nhân gồm 5 số hạng thỏa:
u4 − u2 = 72

u5 − u3 = 144

2) Cho dãy số (un ) : un = n 2 − 3n + 4
a) Xét tính tăng giảm của dãy số.
b) Tìm số hạng nhỏ nhất của dãy số.
c) Tính tổng 30 số hạng đầu của dãy số.
Câu V.a Trong mặt phẳng Oxy, cho I(1;2) đường thẳng
d : 4 x − 3 y + 7 = 0 (C ) : ( x − 3) 2 + ( y + 2) 2 = 25 .
a) Viết phương trình d’ là ảnh của d qua phép V( I ;2) .
b) Viết phương trình (C’) là ảnh của (C) qua phép V( I ;2) .
c) Tính khoảng cách từ I đến d, suy ra khoảng cách từ I đến d’.
Đề 13
I. PHẦN CHUNG CHO THÍ SINH CẢ HAI BAN
Câu I:
1). Tìm tập xác định của hàm số

y=

2sin x
.
2 cos x − 1


2).Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:

y = cos ( 2 x ) + sin x − 1

3). Giải các phương trình sau:
a) sin 2 x + (1 + 3) sin x cos x + 3 cos 2 x = 0 .
b) 3 cos 2 x − sin 2 x = 2 .
c) cos2x + cos4x + cos6x = 0.
4). Cho phương trình : cosx - sin 2 x + m – 1 = 0.
a) Giải phương trình khi m = 0 .
b) Xác định m để phương trình có nghiệm.
Câu II:
1) Trong khai triển

(2 x 3 +

2 10
) .
x2

Hãy tìm hệ số của

x10 .

2)Gieo hai con súc sắc cân đối đồng chất. Tính xác suất để:

a) Tổng hai mặt xuất hiện bằng 8.
b) Tích hai mặt xuất hiện là số lẻ.
Câu III: Cho tứ diện ABCD . Gọi G1 và G2 lần lượt là trọng tâm của
tam giác ACD và BCD.
1) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (C G1 G2 ) và (ABD).
2) Chứng minh rằng G1 G2 song song mặt phẳng (ABC).
II. PHẦN DÀNH CHO THÍ SINH TỪNG BAN:
A. Thí sinh theo chương trình chuẩn chọn Câu IV.a và Câu V.a
Câu IV.a
1) Viết thêm 9 số hạng xen giữa hai số -3 và 37 để được một csc có
11 số hạng .Tính tổng của csc đó.
2) Cho csn (

un )

biết

9
153
u2 = − , u5 =
5
725

.Tính tổng của 8 số hạng đầu.

Câu V.a Trong mặt phẳng cho đường d : x + 2y – 3 = 0 , điểm
A(1,1) và đường tròn (C) : ( x − 1)2 + ( y + 1) 2 = 4 .
1) Hãy tìm ảnh của d qua việc thực hiện liên tiếp phép đối xứng
r
tâm o và phép tịnh tiến theo véctơ v =(2;3).

2) Hãy tìm ảnh của ( C ) qua phép vị tự tâm A.
Đề 14
I. PHẦN CHUNG CHO THÍ SINH CẢ HAI BAN
Câu I:


1). Tìm tập xác định của hàm số y = tan x + cot 2 x
2). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a ) y = cos 3x + 4

b) y = cos 3 x − 3 sin 3 x − 1

3 ). Giải các phương trình sau :
1π
+ 3tanx - 5 = 0; x ≠ + kπ, k ∈ Z
b). cos2x - 3sinx=2
cos 2 x
2
π
π
phương trình 3 sin( x + 6 ) − cos( x + 6 ) = m 2 (1)

a).

4). Cho

a. Giải phương trình (1) khi m=0
b. Định m để phương trình (1) có nghiệm .
Câu II:
7

1. Giải phương trình : C1 + Cx2 + Cx3 = 2 x
x
 1





5

2. Khai triển nhị thức sau :  2 x − x 2 ÷
3. Có 7 người nam và 3 người nữ, chọn ngẫu nhiên 2 người . Tìm
xác suất sao cho có ít nhất 1 người nữ.
Câu III: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành
SM 2 SN 1
= ,
= .
SB 3 SC 2
( SBD) , từ đó suy ra

tâm O. Gọi M, N lần lượt thuộc cạnh SB, SC sao cho

1). Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ( AMN ) và
giao điểm P của SD và mặt phẳng ( AMN ) .
2). Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng ( AMN ) và
chứng minh BD song song với thiết diện đó.
II. PHẦN DÀNH CHO THÍ SINH TỪNG BAN:
A. Thí sinh theo chương trình chuẩn chọn Câu IV.a và Câu V.a
1. Câu IV.a Tìm số hạng đầu và cơng sai của một CSC biết :

u1 + u3 + u4 = 3

u3 + u6 = 13
u4 − u2 = 72
 5 − u3 = 144

2. Tìm số hạng đầu và cơng bội của một CSN biết : u

3. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có :
13 + 23 + 33 + ... + n3 =

Câu V.a

n 2 (n + 1) 2
4


a. Cho (C ) : ( x − 1)2 + ( y − 2)2 = 4 , tìm ảnh của ( C ) qua phép vị tự tâm O tỉ
số k = ─2.
b. Cho d :3x ─ 5y +3 = 0 , tìm ảnh của d qua phép tịnh tiến theo
r  1 
v =  − ;1÷
 2 

c. Tìm ảnh của A(─1;1) qua phép đối xứng tâm O và phép đối xứng
trục Oy.
Đề 15
I. PHẦN CHUNG CHO THÍ SINH CẢ HAI BAN
Câu I:
1). Tìm tập xác định của hàm số

y=

tan x
cos x − 1

2). Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số sau:
y = sin 2 x − 3 cos 2 x − 1

3). Giải các phương trình:
a). sin x − 3 cos x = 0
b). cos2 2 x + sin 2 x − 2 = 0
c). −2 cos 2 x + sin x − 1 = 0
d). 2sin 2 x − 3 sin x cos x + cos 2 x = 1
e). 1 − cos 2 x + cos x ( 1 − 2 cos x ) = 3 sin x
Câu II:
1. Một hộp có 20 viên bi, gồm 12 viên bi đỏ và 8 viên bi xanh. Lấy
ngẫu nhiên 3 viên bi.
a) Tính số phần tử của khơng gian mẫu?
b) Tính xác suất của các biến cố sau:
A: “Cả ba bi đều đỏ”.
B: “Có ít nhất một bi xanh”.
2. Tìm hệ số của số hạng chứa x 23 trong khai triển nhị thức Newton
11

sau:

 1
5
 3 +x ÷

x


.

Câu III: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành,
O là tâm của hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh SB, N là
điểm trên cạnh BC sao cho BN = 2CN.
a) Chứng minh OM song song với mặt phẳng (SCD).
b) Xác định giao tuyến của (SCD) và (AMN).
II. PHẦN DÀNH CHO THÍ SINH TỪNG BAN:


A. Thí sinh theo chương trình chuẩn chọn Câu IV.a và Câu V.a
Câu IV.a 1). Cho cấp số cộng ( un ) với cơng sai d, có u3 = −14 , u50 = 80 .
Tìm u1 và d. Từ đó tìm số hạng tổng quát của ( un ) .
Câu V.a Trong mặt phẳng tọa độ Oxy :
1). Viết phương trình d' là ảnh của d: 2 x − y + 3 = 0 qua phép đối xứng
tâm I(1;-2).
2). Viết phương trình (C') là ảnh của (C): ( x + 3)2 + ( y − 4) 2 = 16 qua phép
vị tự tâm O tỉ số

−

1
.
2

Đề 16
I. PHẦN CHUNG CHO THÍ SINH CẢ HAI BAN

Câu I:
1). Tìm tập xác định của hàm số

y = cos

2x −1
3+ x

2). Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số sau:
y = 4 cos 2 x − 4 cos x + 2

3). Giải các phương trình sau:
a). 2sin 2 x + 3sin x + 1 = 0
b) sin 2 x + sin 2 2 x = sin 2 3x
Câu II:
1). Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ một hộp chứa 18 viên bi được đánh
số từ 1 đến 18. Tìm xác suất để bi lấy được ghi số
a/ Chẵn
b/ Lẻ và chia hết cho 3
2). Tìm n biết : 4C 3n = 5C 2n +1 .
Câu III: Cho hình chóp S.ABCD có AD và BC không song song.
Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh SB và SC.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
b) Chứng minh MN song song với mp(ABCD).
c) Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN).
II. PHẦN DÀNH CHO THÍ SINH TỪNG BAN:
A. Thí sinh theo chương trình chuẩn chọn Câu IV.a và Câu V.a
Câu IV.a
1). Tìm cấp số cộng ( un ) có 5 số hạng thỏa mãn hệ thức sau:

u2 + u3 − u5 = 4

.
 u1 + u5 = −10

Câu V.a Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng
Δ : x + 2y + 1 = 0 và đường tròn (C ) : ( x + 2)2 + ( y - 4)2 = 9 .
1) Viết phương trình đường thẳng d sao cho ∆ là ảnh của d qua
phép đối xứng trục Ox .
2) Viết phương trình đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép vị
tự tâm A(1; − 2) tỉ số
k=–2.
Đề 17
I. PHẦN CHUNG CHO THÍ SINH CẢ HAI BAN
Câu I:
1). Tìm tập xác định của hàm số:

y=

3 + sin 2 x
1 − cos 2 x

2). Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y = 4 – 3cosx
3). Giải phương trình: a). cos2 x + sin2x + 5sin 2 x = 2

b).

2cos x − 3s inx+3=0
2

Câu II:
1). Từ một hộp chứa năm quả cầu trắng và bốn quả cầu đỏ, lấy ngẫu
nhiên đồng thời 4 quả. Tính xác suất sao cho:
a). Bốn quả lấy ra cùng màu;
b). Có ít nhất một quả cầu đỏ.
n

2). Trong khai triển của biểu thức

 2 2
x + x ÷



với

x ≠ 0, n ∈ ¥

, hãy tìm hệ

số của x 6 biết rằng tổng tất cả các hệ số trong khai triển này bằng
19683
Câu III: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi. Gọi E
là một điểm thuộc miền trong của tam giác SCD.
1) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBE), suy ra giao
điểm của BE và mặt phẳng (SAC).
2) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng
(ABE).
II. PHẦN DÀNH CHO THÍ SINH TỪNG BAN:

A. Thí sinh theo chương trình chuẩn chọn Câu IV.a và Câu V.a


Câu IV.a
1). Cho dãy số ( un) với un = 3n – 2 .
a) Chứng minh ( un ) là cấp số cộng, cho biết số hạng đầu và công
sai.
b) Tính u50 và S50 .
2). Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân (un ) , biết:
u2 − u4 + u5 = 5

u3 − u5 + u6 = 10

Câu V.a Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường trịn tâm I ( 1; 2 ) ,
bán kính 2. Viết phương trình ảnh của đường trịn ( I ; 2 ) qua phép đồng
dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số 3
và phép đối xứng qua trục Ox.
Đề 18
I. PHẦN CHUNG CHO THÍ SINH CẢ HAI BAN
Câu I:
1). Tìm tập xác định của hàm số

y=

1 − sin 5 x
1 + cos 2 x

2). Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số sau:
y = 4 - 4sin2xcos2x

3). Giải các phương trình sau:
a) 2sin x − 2 = 0
b) 3cot 2 x − 4cotx + 1 = 0
Câu II:
1). Có bốn chiếc thẻ được đánh số 1, 2, 3, 4 lấy ngẫu nhiên hai chiếc
thẻ .
a) Mô tả không gian mẫu.
b) Tính xác suất của các biến cố:
A “ Tích số chấm trên hai chiếc thẻ là số chẵn”
B “ Tổng số chấm trên hai chiếc thẻ không bé hơn 6”
9

2). Tìm hệ số của hạng tử chứa

x 3 trong

khai triển

1 

 2x + 2 ÷
x 


Câu III: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với hai
đáy AB, CD (AB > CD) . Gọi M là trung điểm của CD, (α) là mặt
phẳng qua M, song song với SA và BC.


1) Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (α) .

Thiết diện đó là hình gì?
2) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (α) và mặt phẳng (SAD).
II. PHẦN DÀNH CHO THÍ SINH TỪNG BAN:
A. Thí sinh theo chương trình chuẩn chọn Câu IV.a và Câu V.a
Câu IV.a
1). Cho cấp số cộng ( u n ) : 1; 6; 11; 16; 21; . . . Hãy tìm số hạng u n của cấp
số cộng đó, biết rằng tổng của n số hạng đầu tiên bằng 970.
Câu V.a Trong Oxy cho M ( - 4 ; 3), d :

 x = 1 + 2t

 y = −2 + t

(C) : x2 + y2 +

2x – 4y – 4 = 0
a) Tìm ảnh của M, d, qua phép đối xứng trục d : 2x + y – 1 = 0
b) Tìm ảnh (C) qua phép vị tự tâm M tỉ số k = - 2
Đề 19
I. PHẦN CHUNG CHO THÍ SINH CẢ HAI BAN
Câu I:
1). Tìm tập xác định của hàm số

y =

4
1
+
5sinx cos x

2). Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

x
x
y = sin cos + 5
2
2

3). Giải các phương trình sau:
a). cos 2 x + 5sin x − 3 = 0
b). cos x + 3 sin x = −1 .
Câu II:
1). Viết các chữ số: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 lên 9 tấm phiếu, sau đó sắp
thứ tự ngẫu nhiên 9 tấm phiếu đó thành một hàng ngang, ta được một
số. Tính xác suất để số nhận được là:
a/ Một số chẵn.
b/ Một số lẻ.
12

2). Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của:

 x 5
 − ÷
5 x

. Tìm hệ số của số

hạng chứa x 4 .
Câu III: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.
Gọi G là trọng tâm của

tam giác SAB và I là trung điểm của AB. Lấy điểm M trên đoạn AD
sao cho: AD = 3AM.
1/ Đường thẳng qua M song song với AB cắt CI tại J. Chứng
minh: Đường thẳng JG
song song mặt phẳng (SCD).
2/ Thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng
(MGJ) là hình gì? Giải thích.
II. PHẦN DÀNH CHO THÍ SINH TỪNG BAN:
A. Thí sinh theo chương trình chuẩn chọn Câu IV.a và Câu V.a
Câu IV.
a). Cho cấp số cộng ( un ) với un = 1 − 5n . Xác định năm số hạng đầu tiên
của cấp số cộng trên.
b). Xác định số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng sau:
u7 − u3 = 8

 u2 .u7 = 75

Câu V.a Cho đường trịn (C) có phương trình: x2+ y2 -2x + 6y - 4 =
0. Ảnh của (C) qua liên tiếp phép vị tự V(O, − 12 ) ) và phép quay (O, 900)
là đường tròn (C’), tìm phương trình của ( C’).
Đề 20
I. PHẦN CHUNG CHO THÍ SINH CẢ HAI BAN
Câu I:
1). Tìm tập xác định của hàm số

y=

1 − cos x

2 + sin x

2). Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:
a)

π

y = 2sin  x − ÷− 1
3


b) y =

3 sin x − cos x + 1

3). Giải các phương trình sau:
a). cos x − 3 s inx = 2
b. 5sin 2 x + sin x cos x − 6 cos 2 x = 0
Câu II:
1). Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Hỏi có bao nhiêu số chẵn có
năm chữ số đơi một khác nhau lấy từ các chữ số trên ?
2). Một bình chứa 16 viên bi với 7 viên bi trắng, 6 viên bi đen và 3
viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Tính xác suất để lấy đúng 1 viên
bi trắng


3). Chứng minh rằng:
0
2
4

2010
1
3
2009
C2010 + C2010 + C2010 + ... + C2010 = C2010 + C2010 + ... + C2010

Câu III: Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình thang, AD là đáy lớn.
Gọi I là trung điểm CD, M là điểm tùy ý trên cạnh SI.
a). Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng ( SAD ) và ( SBC ) ;
b). Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng ( ABM ) .
II. PHẦN DÀNH CHO THÍ SINH TỪNG BAN:
A. Thí sinh theo chương trình chuẩn chọn Câu IV.a và Câu V.a
Câu IV.a Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng ( un ) biết:
5u1 + u10 = −12

 u3 − 2u7 = −15

Câu V.a Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn(C): x2 + y2 –
2x + 4y – 4 = 0.
r
a)Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ v = (3; −1) .
b)Tìm ảnh của (C) qua phép dời hình được thực hiện liên tiếp bởi
r
phép tịnh tiến theo vectơ v = (3; −1) và phép đối xứng qua trục Ox.
Đề 21
I. PHẦN CHUNG CHO THÍ SINH CẢ HAI BAN
Câu I:
1). Tìm tập xác định của hàm số

y=

2cotx
cosx + 1

2). Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số sau: y = 2 cos x + 1
3). Giải các phương trình sau:
a). 2 cos x + 1 = 0
b). cos 2 x − 7 sin x + 8 = 0
2
2
2
c). sin 3x − cos 4 x = sin 5 x − cos 2 6 x
Câu II:
1). Trong một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 8viên bi trắng và 7viên bi vàng.
Chọn ngẫu nhiên đồng thời 5 viên bi .
1.Tính số phần tử của khơng gian mẫu
2.Tính xác suất để:
a/ Cả 5 viên bi lấy ra đều có màu vàng ?
b/ 5 viên bi lấy ra có ít nhất một viên màu trắng?
5

2). Tìm hệ số chứa

x10

trong khai triển nhị thức Niutơn

 3 2 
 3x − 2 ÷
x 



.