đề toán thi thử năm 2015

SỞ GD&ĐT THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT NHƯ XUÂN
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (2,0 điểm).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
= − − +
4 2
y x x 2
.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường
thẳng
+ + =x 6y 3 0
.
Câu 2 (1,0 điểm).
a) Giải phương trình:
=
4 4
cos x - sin x + cosx 2
.
b) Giải phương trình:
+
+ =
x x x 1
24 12 6
.
Câu 3 (1,0 điểm). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol
= −
2
y x 2x

,
đường thẳng
= −y x 2
và trục tung.
Câu 4 (1,0 điểm).
a) Cho số phức
= +w 3 4i
. Tìm số phức z biết
=zw+w w
.
b) Cho khai triển
= + + + +
n 2 n
0 1 2 n
(3x - 4) a a x a x a x

∈ ≥(n N, n 5)
.
Tìm hệ số
5
a
biết
+ + + + =
2 n
0 1 2 n
a 2a 2 a 2 a 1024
.
Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng
− +
∆ = =

−
x 1 y 1 z
:
1 2 1
. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng
∆
,
vuông góc với mặt phẳng (Oxy) và viết phương trình đường thẳng
∆'
là hình chiếu
vuông góc của
∆
lên mặt phẳng (Oxy).
Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
SA = SB = a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính theo a thể
tích hình chóp S.ABCD và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD có
tâm I(1;1), hai đường thẳng AB và CD lần lượt đi qua các điểm M(-2;2) và N(2;-2).
Tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết C có tung độ âm.
Câu 8 (1,0 điểm). Giải phương trình:
3
1 1 3x 2x (x R).
2
+ + = ∈
Câu 9 (1,0 điểm). Tìm m để hệ phương trình
3 3 2
2 2 2
3 3 2 0
1 3 2 0
x y y x

x x y y m

− + − − =


+ − − − + =


có nghiệm thực.
Hết
S GD&T THANH HO
TRNG THPT NH XUN
P N THI TH THPT QUC GIA NM 2015
Mụn: TON
Thi gian lm bi: 180 phỳt, khụng k thi gian phỏt
Cõu Ni dung im
1a
(1,0)
a)
= +
4 2
y x x 2
.
* Tập xác định: D = R
* Sự biến thiên:
- Giới hạn:
lim ; lim
x x
y y
+

= =
.
0,25
- Bng biến thiên:
3
' 4 2y x x=
.

' 0 0y x= =
.
0,25
- Hàm số đồng biến trên khoảng
( ;0)
; nghịch biến trên khoảng
(0; ).+
- Hàm số đạt cực đại tại
0x
=
và
(0) 2
CD
y y= =
.
0,25
* Đồ thị:
- Đồ thị cắt trục tung tại điểm
(0; 2)
,
cắt trục hoành tại (-1 ;0) và (1;0).
- th nhn tục tung làm trục đi

xng.
-3 -2 -1 1 2 3
-4
-2
2
x
y
O
0,25
1b
(1,0)
Ta cú:
+ + = =
1 1
x 6y 3 0 y x
6 2
Suy ra tip tuyn cú h s gúc
=k 6
.
0,25
Gi tip im l M(x
0
;y
0
)

thỡ y(x
0
) = 6
= =

3
0 0 0
4x 2x 6 x 1
.
0,25
Suy ra M(-1;0).
0,25
Vy phng trỡnh tip tuyn l y = 6(x+1) hay y = 6x + 6.
0,25
x
y
y
2

0
0
+

+


2a
(0,5)
Ta có:
=
4 4
cos x - sin x + cosx 2
⇔ +
2 2 2 2
(cos x sin x)(cos x -sin x) + cosx = 2

⇔ cos2x+cosx = 2
⇔
2
2cos x+cosx - 3 = 0
0,25


⇔

= −


cosx = 1
3
cosx
2

π
⇔ =x k2

∈(k Z).
0,25
2b
(0,5)
+
+ =
x x x 1
24 12 6
⇔ + =

x x
4 2 6
(Chia hai vế cho
x
6
)
( )
⇔ + − =
2
x x
2 2 6 0
0,25

=
⇔

= −


x
x
2 2
2 3
⇔ =x 1
Vậy phương trình có nghiệm
=x 1
.
0,25
3
(1,0)

Ta có:
− ⇔ −
2 2
x 2x = x - 2 x 3x + 2 = 0


=
⇔

=


x 1
x 2
Diện tích cần tìm là:
= − +
∫
2
2
0
S x 3x 2 dx
.
0,25
= − + + − +
∫ ∫
1 2
2 2
0 1
x 3x 2 dx x 3x 2 dx
= − + + − +

∫ ∫
1 2
2 2
0 1
(x 3x 2)dx (x 3x 2)dx
0,25
   
= − + + − +
 ÷  ÷
   
1 2
3 2 3 2
0 1
1 3 1 3
x x 2x x x 2x
3 2 3 2
0,25
= + =
5 1
1
6 6
(đvdt). 0,25
4a
(0,5)
= ⇔ + + − = +zw+w w (3 4i)z 3 4i 9 16
+
⇔ + = + ⇔ =
+
2 4i
(3 4i)z 2 4i z

3 4i
0,25
+ −
⇔ =
+
(2 4i)(3 4i)
z
9 16
+
⇔ = ⇔ = +
22 4i 22 4
z z i
25 25 25
.
0,25
4b
(0,5)
= + + + +
n 2 n
0 1 2 n
(3x - 4) a a x a x a x
(*)
Thay x = 2 vào (*) ta có:

= + + + +
n 2 n
0 1 2 n
2 a 2a 2 a 2 a
⇔ = ⇔ =
n

2 1024 n 10
.
0,25
Khi đó:
−
=
= −
∑
10
10 k k 10 k
10
k 0
(3x - 4) C (3x) ( 4)
−
=
= −
∑
10
k k 10 k k
10
k 0
C 3 ( 4) x
.
Suy ra
= −
5 5 5
5 10
a C 3 ( 4)
= - 62 705 664.
0,25

5
(1,0)
Đường thẳng
∆
có vectơ chỉ phương
( )
1;2; 1u = −
ur
, đi qua M(1;-1;0); mặt phẳng
(Oxy) có vectơ pháp tuyến
( )
0;0;1k =
ur
.
Suy ra (P) có vectơ pháp tuyến
( )
[ , ] 2; 1;0n u k= = −
r ur r
và đi qua M.
0,25
Vậy (P) có phương trình
2( 1) ( 1) 0x y− − + =
hay 2x – y – 3 = 0. 0,25
(Oxy) có phương trình z = 0.
'∆
là giao tuyến của (P) và (Oxy).
Xét hệ
2x 3 0
0
y

z
− − =


=

.
0,25
Đặt x = t thì hệ trên trở thành
3 2
0
x t
y t
z
=


= − +


=

.
Vậy
'∆
có phương trình
3 2
0
x t
y t

z
=


= − +


=

.
0,25
6
(1,0)
Ta có tam giác SAB đều cạnh a.
Gọi H là trung điểm AB thì SH
⊥
AB
mà (SAB)
⊥
(ABCD) nên SH
⊥
(ABCD).
Suy ra SH là chiều cao của hình chóp
S.ABCD và SH =
3
2
a
.
0,25
Diện tích hình vuông ABCD là

2
D
S
ABC
a=
.
Vậy thể tích hình chóp S.ABCD là
V =
3
D
1 3
.
3 6
ABC
a
SH S =
(đvtt).
0,25
Gọi I là tâm của hình vuông ABCD, G là trọng tâm tam giác ABC.
Qua I vẽ đường thẳng d song với SH thì d
⊥
(ABCD) nên d là trục của đường tròn
ngoại tiếp hình vuông ABCD.
Qua G vẽ đường thẳng d’ song song với HI thì d’
⊥
(SAB) (vì dễ thấy HI
⊥
(SAB)).
Suy ra d’ là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB.
0,25

Gọi O là giao điểm của d và d’ thì O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Bán kính R của mặt cầu là
R = OA =
2
2
2 2
2 2
2 1 2 1 3
4 3 4 3 2
a a a
AI OI SH
 
 
+ = + = +
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
=
21
6
a
.
0,25
A
B
C
D
H

G
O
I
S
7
(1,0) 0,25
0,25
0,25
0,25
8
(1,0)
Giải phương trình:
3
1 1 3x 2x (1).
2
+ + =
Điều kiện:
1
3
x ≥ −
(*).
Đặt
1
1 3x
2
y = +
1 3x 2y⇔ + =
(2)
(1) trở thành
1 3 2y x+ =

(3)
0,25
Từ (2) và (3) ta có hệ
1 3x 2
1 3 2x
y
y

+ =


+ =


2
2
0, 0
1 3x 4 (4)
1 3 4x (5)
x y
y
y
≥ ≥


⇔ + =


+ =


. 0,25
Trừ vế với vế (4) và (5) ta có
2 2
3( ) 4( )x y x y− = − −
( )(3 4 4 ) 0x y x y y x⇔ − + + = ⇔ =
(vì
0, 0x y≥ ≥
).
0,25
Thế y = x vào (5) ta có
2
1
4x 3x 1 0
1
4
x
x
=


− − = ⇔

= −

.
Kết hợp với
0x
≥
, suy ra phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 1.
0,25

9
(1,0)
Điều kiện:
2
2
1 0 1 1
0 2
2 0
x x
y
y y

− ≥ − ≤ ≤


⇔
 
≤ ≤
− ≥



(*).
Đặt t = x + 1, khi đó t ∈ [0; 2] và (1) trở thành t
3
− 3t
2
= y
3
− 3y

2
.
Hàm số f(u) = u
3
− 3u
2
nghịch biến trên đoạn [0; 2] nên:
(1) ⇔ f(t) = f(y)
⇔
t = y ⇔ y = x + 1
0,25
Thay y = x + 1 vào (2) ta có
2 2
2 1 0x x m− − + =
(3).
Đặt
2
1v x= −
, khi đó v∈[0; 1] và (3) trở thành v
2
+ 2v − 1 = m (4).
0,25
Hàm số g(v) = v
2
+ 2v − 1 liên tục trên [0;1] và có
0;1 0;1
min ( ) 1; m ( ) 2
[ ] [ ]
axg v g v= − =
.

Hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (4) có nghiệm trên [0;1]
0,25
⇔
−1 ≤ m≤ 2.
Vậy m cần tìm là −1 ≤ m≤ 2.
0,25
Hết