Đề thi học sinh giỏi toán 6 có đáp án

KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6
NĂM HỌC 2013-2014
Môn: Toán - Lớp 6
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: ( 3 điểm)
a. Cho
ababab

là số có sáu chữ số. Chứng tỏ số
ababab
là bội của 3.
b. Cho S = 5 + 5
2
+ 5
3
+ 5
4
+ 5
5
+ 5
6
…+ 5
2004
. Chứng minh S chia hết cho 126 và
chia hết cho 65.
Bài 2 : (3,0 điểm)
Tìm số tự nhiên x biết :
a.
2029099 2010) (x 2)(x 1)(x x =++…+++++

b.

210 2x 8 6 4 2 =+…++++
Bài 3: (6,0 điểm)
Thực hiện so sánh:
a. A =
12009
12009
2009
2008
+
+
với B =
12009
12009
2010
2009
+
+

b. C = 1. 3. 5. 7 … 99 với D =
2
100

2
53
.
2
52
.
2
51

c. Chứng minh rằng
2011
10 8+
chia hết cho 72.
Bài 4: ( 4 điểm)
Ở lớp 6A, số học sinh giỏi học kỳ I bằng
7
3
số còn lại. Cuối năm có thêm 4
học sinh đạt loại giỏi nên số học sinh giỏi bằng
3
2
số còn lại. Tính số học sinh của
lớp 6A.
Bài 5: (4,0 điểm)
Cho đoạn thẳng AB và trung điểm M của nó.
a. Chứng tỏ rằng nếu C là điểm thuộc tia đối của tia BA thì
2
CBCA
CM
+
=
b. Chứng tỏ rằng nếu C là điểm nằm giữa M và B thì
2
CBCA
CM
−
=
.
HƯỚNG DẪN CHẤM

Bài 1: ( 3 điểm)
a)-
ababab
=
ab
.10000 +
ab
.100 +
ab
= 10101
ab
.
0,75
- Do 10101 chia hết cho 3 nên
ababab
chia hết cho 3 hay
ababab
là bội
của 3.
0,75
Có: 5 + 5
2
+ 5
3
+ 5
4
+ 5
5
+ 5
6

= 5(1 + 5
3
) + 5
2
(1 + 5
3
) + 5
3
(1 + 5
3
)
= 5. 126 + 5
2
.126

+ 5
3
.126
⇒ 5 + 5
2
+ 5
3
+ 5
4
+ 5
5
+ 5
6
chia hết cho 126.
0,50

S = (5 + 5
2
+ 5
3
+ 5
4
+ 5
5
+ 5
6
) + 5
6
(5 + 5
2
+ 5
3
+ 5
4
+ 5
5
+ 5
6
) + … + 5
1998
(5 + 5
2
+
5
3
+ 5

4
+ 5
5
+ 5
6
).
Tổng trên có (2004: 6 =) 334 số hạng chia hết cho 126 nên nó chia hết cho 126.
0, 25
Có: 5 + 5
2
+ 5
3
+ 5
4
= 5+ 5
3
+ 5(5 + 5
3
) = 130 + 5. 130.
⇒ 5 + 5
2
+ 5
3
+ 5
4
chia hết cho 130 .
0,25
S = 5 + 5
2
+ 5

3
+ 5
4
+ 5
4
(5 + 5
2
+ 5
3
+ 5
4
) + … + 5
2000
(5 + 5
2
+ 5
3
+ 5
4
)
Tổng trên có (2004: 4 =) 501 số hạng chia hết cho 130 nên nó chia hết cho 130.
0,25
Có S chia hết cho 130 nên chia hết cho 65. 0,25
Bài 2 : (3,0 điểm)
a)- ⇒
2029099 2010 21 2011x =+…+++
0,25
- ⇒
2029099
2

2011.2010
2011 =+x
0, 50
- ⇒
2
2011.2010
- 20290992011 =x
0,25
- ⇒
=






= 2011:
2
2011.2010
- 2029099x
4
0,50
b) ⇒
210 x) 3 2 2(1 =+…+++
0,50
- ⇒
210
2
)1(
2 =

+xx
0,25
- ⇒
210)1( =+xx
0,25
- Giải được x = 14 (Do 210 = 2.3.5.7 = 14.15) 0,50
Bài 3: (6,0 điểm)
a) Thực hiện qui đồng mẫu số:
A =
)12009)(12009(
1200920092009
)12009)(12009(
)12009)(12009(
20102009
200820104018
20102009
20102008
++
+++
=
++
++

0,50
B =
)12009)(12009(
1200920092009
)12009)(12009(
)12009)(12009(
20092010

200920094018
20092010
20092009
++
+++
=
++
++
0,50
)12009(200920092009
2200820082010
+=+
0,50
)20092009(200920092009
200820092009
+=+
Do
)12009(
2
+
>
)20092009( +
nên A > B
(Có thể chứng tỏ A - B > 0 để kết luận A > B).
0,50
Cách khác: Có thể so sánh 2009 A với 2009 B trước.
b)
1. 3. 5. 7 99 .2.4.6 100
C 1. 3. 5. 7 99
2.4.6 100

…
= … =
0,50
)2.50) (2.3).(2.2).(2.1(
00.2.4.6 1 99 7 5. 3. 1. …
=
0,50
2 2.2.2.50 3.2.1
100 53.52.51.50 3.2.1
=
0,50
2
100

2
53
.
2
52
.
2
51
=
= D Vậy C = D 0,50
c) Vì
2011
10 8+
có tổng các chữ số chia hết cho 9 nên tổng chia hết cho 9 0,75
Lại có
2011

10 8+
có 3 chữ số tận cùng là 008 nên chia hết cho 8 0,75
Vậy
2011
10 8+
chia hết cho 72
0,50
Bài 4: ( 1,5 điểm)
- Số học sinh giỏi kỳ I bằng
10
3
số học sinh cả lớp. 0,50
- Số học sinh giỏi cuối bằng
5
2
số học sinh cả lớp. 0,25
- 4 học sinh là
5
2
-
10
3
số học sinh cả lớp. 0,50
-
10
1
số học sinh cả lớp là 4 nên số học sinh cả lớp là 4 :
10
1
= 40. 0,25

Bài 5: (4,0 điểm)
0,50
CA = MA + CM 0,50
CB = MB - CM 0,25
Trừ được CA - CB = 2CM (Do MA = MB) 0,50
⇒
2
CBCA
CM
−
=
0,25
0,50
CA = CM + MA 0,50
CB = CM - MB 0,25
Cộng được CA + CB = 2CM (Do MA = MB) 0,50
⇒
2
CBCA
CM
+
=
0,25
A BM C
A BM
C