Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán 2015 số 45

Sở GD &ĐT Kiên Giang KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2014 - 2015
Trường THPT chuyên
Huỳnh Mẫn Đạt Môn: Toán
Thời gian 180 phút ( Không kể giao đề )

ĐỀ THI THỬ
BÀI 1 ( 2,0đ )
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số :
2 1
2
x
y
x
+
=
+

b. Tìm m để đồ thị hàm số y =
3 2
3x mx m- + +
có đường thẳng nối các điểm cực trị cắt đường tròn
( C ) : x
2
+ y
2
+2x +2y – 1 = 0 theo một dây có độ dài lớn nhất
BÀI 2 ( 1 .0 đ )
a. Giải phương trình lượng giác sau:
2 2
2cos 2 3 cos 4 4cos 1
4

x x x
π
 
− + = −
 ÷
 
.
b.Tìm số phức z thỏa điều kiện : z

- ( 1 - 3 i ).
z
- 6 + 9i = 0

BAÌ 3 ( 0,5.0đ ) Giải phương trình :
2
25 ( 1)
4log ( 1) 2log 5 3
x
x
−
− + =

BÀI 4 ( 1.0đ ) Giải hệ phương trình :





=−−+
=−−+−−−

0134
01488
22
2233
yyx
yxyxyx
BÀI 5 ( 1 .0 đ ) Tính tích phân sau

( )
2
4 4
0
cos2 sin cosI x x x dx
π
= +
∫
BÀI 6 ( 1 .0 đ ) Cho một hình trụ tròn xoay và hình vuông ABCD cạnh a có hai đỉnh liên tiếp A, B nằm trên
đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ. Mặt
phẳng (ABCD) tạo với đáy hình trụ góc 45
0
. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ.
BÀI 7 ( 1 .0 đ ) Cho tam giác ABC biết các cạnh AB, BC lần lượt là 4x + 3y – 4 = 0; x – y – 1 = 0. Phân
giác trong của góc A nằm trên đ.thẳng x + 2y – 6 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
BÀI 8 ( 1 .0 đ ) Cho đường thẳng (d ) :





+=

=
+=
tz
ty
tx
22
21
và điểm A ( 2 ; 5 ; 3 )
a.Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của A trên đường thẳng (d )
b.Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ A đến (P) đạt giá trị lớn
nhất.
BÀI 9 ( 0,5 đ ) Tìm số hạng không chứa
x
trong khai triển nhị thức P =
2
3
2
n
x
x
 
−
 ÷
 
với (
0,x n≠ ∈¥
)
biết :
1 2 2 24
2 2 2 3 1

n n
n n n
C C C+ + + = −
BÀI 10 ( 1 .0 đ ) Cho 3 số thực dương a; b ; c thỏa mãn điều kiện :
1
111
=++
cba

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
222
b
ac
a
cb
c
ba
P
+
+
+
+
+
=
HẾT.
ÑAÙP AÙN CHẤM BÀI THI THỬ QUỐC GIA
NĂM HỌC 2014 - 2015
BÀI NỘI DUNG ĐIỂM
Baøi 1a
( 1.0đ )

+ Tập xác định
\{ 2}.D = −¡
Ta có:
2
3
' 0, .
( 2)
y x D
x
= > ∀ ∈
+
+ Giới hạn; tiệm cận:
2 2
lim lim 2; lim , lim .
x x
x x
y y y y
− +
→−∞ →+∞
→− →−−
= = = +∞ = −∞

Tiệm cận: TCĐ:
2,x = −
TCN:
2.y =
+ Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng
( ; 2),( 2; ).−∞ − − +∞

Hàm số không có cực trị.
+ Đồ thị :
0.25
0.25
0.25
0.25
Bài 1b
( 1.0đ )
+ Ta có y
' 2
0
3 6 0
2
x
x mx
x m
é
=
ê
= - + = Û
ê
=
ë
Hàm số có cực đại , cực tiểu
0mÛ ¹
Với m
¹
0, các điểm cực trị là A(0;m); B( 2; 4m
3
+m)

+ Đường thẳng ( d) qua các điểm cực trị A, B là : y = 2m
2
x + m
+ Đường thẳng qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số cắt đường tròn (C )
có tâm I (
1, 1)- -
theo một dây cung có độ dài lớn nhất
I dÛ Î

+
1
1
2
m
m
é
=
ê
Û ê
ê
= -
ê
ë
thỏa m
0¹
0.25
0.25
0.25
0.25
Baøi 2a

(0,5ñ)
Phương trình ban đầu tương đương:
2
1 cos 4 3cos 4 4cos 1
2
x x x
π
 
+ − + = −
 ÷
 
2
2
sin 4 3 cos 4 4cos 2
1 3
sin 4 cos4 2cos 1
2 2
cos 4 cos2
6
x x x
x x x
x x
π
⇔ + = −
⇔ + = −
 
⇔ − =
 ÷
 
12

36 3
x k
k
x
π
π
π π

= +

⇔


= +


0,25
0,25
Baøi 2b
(0,5ñ)
+ Gọi z = x + y.i
⇒

z
= x - y.i
Thay vào x + yi – ( 1 - 3i ).( x - yi ) - 6 + 9i = 0

⇔
3y - 6 + ( 2y + 3x + 9 )i = 0
0.25

025
x
y' + +
y
+∞
2
2
−∞
+
⇔

3 6 0
2 3 9 0
y
y x
− =


+ + =


⇔

2
13
3
y
x
=



−

=


Vậy z = -
13
2
3
i+
Baøi 3
(0.5ñ)
+ Điều kiện : x > 1 ; x
≠
2
P.T
⇔

2
5
5
2
log ( 1) 3 0
log ( 1)
x
x
− + − =
−
Đặt t =

5
log ( 1)x
−

3
3 2 0t t
− + =

1
t
= 1 ;
2
t
= - 2
+ Với
1
t
= 1 
5
log ( 1)x
−
= 1 
1
x
= 6
Với
2
t
= - 2 
5

log ( 1)x
−
= - 2 
2
x
=
26
25
Vậy nghiệm của P.T là :
1
x
= 6 ;
2
x
=
26
25
0.25
0,25
Baøi 4
(1.0ñ)
+ Biến đổi phương trình thứ 1:
8x
3
- y
3
- 8x
2
- y
2

+ 4x - y - 1 = 0

⇔
8x
3
- 8x
2
+ 4x = y
3
+ y
2
+ y + 1
⇔
(2x )
3
- 2(2x)
2
+ 2(2x) + 1 = ( y + 1 )
3
- 2(y + 1)
2
+ 2(y+1) + 1 ( *)
+ Xét hàm f(t) = t
3
- 2t
2
+ 2t + 1
⇒
f'(t) = 3t
2

- 4t + 2 > 0 với
Rt ∈∀

⇒
hàm f(t) luôn luôn đồng biến trên R
Mà từ ( *) ta có f( 2x ) = f( y + 1 )
⇔
2x = y + 1
⇔
y = 2x - 1
+ Thay vào phương trình thứ 2 : x
2
+ 4(2x -1 )
2
- 3( 2x - 1 ) - 1 = 0
⇔
17x
2
- 22x + 6 = 0






+
=
−
=
⇒

17
1911
17
1911
2
1
x
x
+ Với
17
1911
1
−
=x

⇒

17
1925
1
−
=y
+ Với
17
1911
2
+
=x

⇒

17
1925
2
+
=y
Vậy hệ có 2 nghiệm : (
17
1911−
;
17
1925 −
) ; (
17
1911+
;
17
1925 +
)
0.25
0,25
0.25
0,25
Baøi 5
(1.0ñ)
( )
2 2
2 2
0 0
1 1 1

cos2 1 sin 2 1 sin 2 sin 2
2 2 2
I x x dx x d x
π π
   
= − = −
 ÷  ÷
   
∫ ∫
( ) ( )
2 2
2 3
2 2
0 0
0 0
1 1 1 1
sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 0
2 4 2 12
| |
d x xd x x x
π π
π π
= − = − =
∫ ∫
0,5
0,5
Baøi 6
(1.0ñ)
Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB và CD.
Khi đó

OM AB
⊥
và
' DO N C
⊥
.
Giả sử I là giao điểm của MN và OO’.
Đặt R = OA và h = OO’. Khi đó:
OMI
∆
vuông cân tại O nên:
2 2 2
.
2 2 2 2 2
h a
OM OI IM h a= = ⇒ = ⇒ =
025
Ta có:
2
2
2 2 2
2 2 2 2
2 3a
2 4 4 8 8
a a a a
R OA AM MO
 
 
= = + = + = + =
 ÷

 ÷
 ÷
 
 
2 3
2
3a 2 3 2
R . . ,
8 2 16
a a
V h
π
π π
⇒ = = =

2
a 3 2 3
2 Rh=2 . . .
2 2
2 2
xq
a a
S
π
π π
= =
0.25
0.5
Baøi 7
(1.0ñ)

Tọa độ của A nghiệm đúng hệ phương trình:
( )
4 3 4 0 2
2;4
2 6 0 4
x y x
A
x y y
+ − = = −
 
⇔ ⇒ −
 
+ − = =
 
Tọa độ của B nghiệm đúng hệ phương trình
( )
4 3 4 0 1
1;0
1 0 0
x y x
B
x y y
+ − = =
 
⇔ ⇒
 
− − = =
 
Đường thẳng AC đi qua điểm A(-2;4) nên phương trình có dạng:
( ) ( )

2 4 0 2 4 0a x b y ax by a b+ + − = ⇔ + + − =
Gọi
1 2 3
: 4 3 4 0; : 2 6 0; : 2 4 0x y x y ax by a b∆ + − = ∆ + − = ∆ + + − =
Từ giả thiết suy ra
( )
·
( )
·
2 3 1 2
; ;∆ ∆ = ∆ ∆
. Do đó
( )
·
( )
·
( )
2 3 1 2
2 2
2 2
|1. 2. | | 4.1 2.3|
cos ; cos ;
25. 5
5.
0
| 2 | 2 3 4 0
3 4 0
a b
a b
a

a b a b a a b
a b
+ +
∆ ∆ = ∆ ∆ ⇔ =
+
=

⇔ + = + ⇔ − = ⇔

− =

+ a = 0
0b
⇒ ≠
. Do đó
3
: 4 0y∆ − =
+ 3a – 4b = 0: Có thể cho a = 4 thì b = 3. Suy ra
3
: 4 3 4 0x y∆ + − =
(trùng với
1
∆
).
Do vậy, phương trình của đường thẳng AC là y - 4 = 0.
Tọa độ của C nghiệm đúng hệ phương trình:
( )
4 0 5
5;4
1 0 4

y x
C
x y y
− = =
 
⇔ ⇒
 
− − = =
 
0,25
0,25
0,25
0.25
Baøi 8
(1.0ñ)
a. + Véc tơ chỉ phương của d là
u
= ( 2; 1; 2 ). H
∈
(d)
⇒
H ( 1 + 2t ; t ; 2 + 2t )
+ AH
⊥
d
0. =⇒ uAH
⇔
2(2t-1) + t -5 + 2 ( 2t -1 ) = 0
⇔
t = 1

⇔
H ( 3 ; 1 ; 4 )
b.+ Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên (P). Ta có d( A; (P)) = AK
≤
AH

⇒
Maxd( A ; (P)) = AH
⇔
K = H
⇒
K ( 3 ; 1 ; 4 )
+ Mặt phẳng (P) đi qua K ( 3 ; 1 ; 4 ) có véc tơ pháp tuyến là :
AK
= ( 1 ; -4 ; 1 )
Vậy phương trình của (P) là : x - 4y + z - 3 = 0
025
0,25
0.25
0,25
Baøi 9
(0.5ñ)
1 2 2 24
0 1 2 2 24
24
2 2 2 3 1
2 2 2 3
(1 2) 3
24
n n

n n n
n n
n n n n
n
C C C
C C C C
n
+ + + = −
⇔ + + + + =
⇔ + =
⇔ =
24
24
24
24
24
2 2
0
3
2 .2 .( 3)
k
k k k
k
k
x
x C
x x
−
−
=

 
− = −
 ÷
 
∑
Số hạng không chứa
x
tương ứng với:
24 2 0 8k k k− − = ⇔ =
.
Vậy số hạng không chứa
x
là
8 16 8
24
.2 .3C
.
0,25
0,25
Baøi 10
(1.0ñ)
+ Đặt :
a
x
1
=
; y =
b
1
; z =

c
1

0;; >⇒ zyx
; x + y + z = 1

)
11
()
11
()
11
(
222
xz
y
zy
x
yx
zP +++++=⇒
+ Áp dụng BĐT Bunhiacopxky :1 = ( x + y + z )
2
=
0,25
0,25
( )
zyx
yx
z
xz

y
zy
x
yx
yx
z
xz
xz
y
zy
zy
x
++








+
+
+
+
+
≤









+
+
++
+
++
+
2
222
2








+
+
+
+
+
≤
yx
z

xz
y
zy
x
222
2
2
1
2
1
≥⇔≤⇔ P
P

+ Dấu "='' xảy ra
3===⇔==⇔ cbazyx
Vậy P
min
= 2
⇔
a = b = c = 3
0,25
0,25