đề toán thi thử năm 2015 của bắc bình

TRƯỜNG THPT BẮC BÌNH KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015
ĐỀ THI THỬ Môn: TOÁN
Thời gian làm bài : 180 phút
Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
−
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng -1
Câu 2.(1,0 điểm)
a) Giải phương trình:
5 5
log ( 1) 1 log ( 3)x x+ = − −
b) Cho số phức
z
thỏa mãn hệ thức:
(3 ) (1 2 ) 3 4i z i z i+ + + = −
. Tính môđun của
z
.
Câu 3.(0,5 điểm) Cho góc
α
thỏa mãn:
3
2
2

π
α π
< <
và
2
cos
3
α
=
. Tính
2
cot
1 cot
A
α
α
=
+
Câu 4.(1,0 điểm) Tính tích phân:
2
0
(2cos sin )I x x x dx
π
= +
∫
Câu 5.(1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(0;-3;0) và N(-1;4;3). Viết
phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng MN và phương trình mặt cầu tâm O, tiếp xúc
với (P).
Câu 6.(1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên SA vuông
góc với mặt đáy (ABC), cạnh bên SB hợp với mặt đáy một góc 60

0
. Gọi O là trọng tâm tam giác
ABC. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC).
Câu 7.(0,5 điểm)Một hộp đựng 7 quả cầu xanh, 5 quả cầu đỏ và 4 quả cầu vàng. Lấy ngẫu nhiên
đồng thời 3 quả cầu. Tính xác suất để cả 3 quả cầu lấy ra cùng màu.
Câu 8.(1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2;-1); B(1;-2) trọng
tâm G của tam giác thuộc đường thẳng x+y-2=0. Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC
bằng 13,5.
Câu 9.(1,0 điểm) Giải hệ phương trình :
3 3 2
2 2 2
3 3 2 0
1 3 2 2 0
x y y x
x x y y

− + − − =


+ − − − + =


Câu 10.(1,0 điểm) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn
1a b c+ + =
.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
sau:

2 2 2
1 1 1 1
P

a b c ab bc ca
= + + +
+ +
Hết
ĐÁP ÁN- THANG ĐIỂM
ĐỀ THI THỬ- KÝ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015
CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM
Câu 1
(2,0
điểm)
a) (1,0 điểm)
Tập xác định: D=R\{1}
Giới hạn và tiệm cận:

1 1
lim , lim ; lim lim 2
x x
x x
y y y y
− +
→−∞ →+∞
→ →
= −∞ = +∞ = =
Suy ra đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là đường thẳng x=1 và một tiệm cận
ngang là đường thẳng y=2
0,25
Sự biến thiên:
-Chiều biến thiên:
2
3

' 0, x D
( 1)
y
x
−
= < ∀ ∈
−
Suy ra, hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (-
∞
;1) và (1;+
∞
)
-Cực trị: Hàm số đã cho không có cực trị
0,25
-Bảng biến thiên:

x -
∞
1 +
∞

y’ - -
y
2 +
∞
-
∞
2
0,25
Đồ thị (C):

0,25
b) (1,0 điểm)
Tung độ y
0
của tiếp điểm là:
0
1
2
y = −
0,25
Suy ra hệ số góc k của tiếp tuyến là:
3
'( 1)
4
k y= − = −
0,25
Do đó, phương trình của tiếp tuyến là:
3 1
( 1)
4 2
y x= − + −
0,25
hay
3 5
4 4
y x= − −
0,25
Câu 2 a) (0,5 điểm)

Điều kiện xác định: x>3 (1)
Với điều kiện (1), ký hiệu (2) là phương trình đã cho, ta có:
5 5
(2) log ( 1) log ( 3) 1x x⇔ + + − =
⇔
5 5
log [( 1)( 3)] log 5x x+ − =
0,25

⇔
2
2 8 0x x− − =
⇔
x=4 ( do (1))
0,25
b) (0,5 điểm)
Đặt
z a bi
= +
(a,b
∈
R); khi đó
z a bi= −
. Do đó, ký hiệu (*) là hệ thức cho trong
đề bài, ta có:
(*)
⇔
(3 )( ) (1 2i)(a bi) 3 4ii a bi+ − + + + = −

⇔

(4 ) (3 2 ) 3 4a b a b i i− + − = −
0,25

⇔
4 3
3 2 4
a b
a b
− =


− = −


⇔
2
5
a
b
=


=

Do đó:
2 2
2 5 29z = + =
0,25
Câu 3
(0,5

điểm)
Ta có:
2
2
cot 2
cot .sin cos .sin sin
1 cot 3
A
α
α α α α α
α
= = = =
+
(1)
0,25
2
2 2
2 5
sin 1 cos 1
3 9
α α
 
= − = − =
 ÷
 
(2)
Vì
3
;2
2

π
α π
 
∈
 ÷
 
nên
sin 0
α
<
. Do đó, từ (2) suy ra
5
sin
3
α
= −
(3)
Thế (3) vào (1), ta được
2 5
9
A = −
0,25
Câu 4
(1,0
điểm)
Ta có:
2 2
1 2
0 0
2cos sinI xdx x xdx I I

π π
= + = +
∫ ∫
(1)
0,25
2
2
1
0
0
2cos 2sin 2I xdx x
π
π
= = =
∫
0,25
2 2
2 2
2
0 0
0 0
sin cos cos sin 1I x xdx x x xdx x
π π
π π
= = − + = =
∫ ∫
0,25
Vậy:
1 2
3I I I= + =

0,25
Câu 5
(1,0
điểm)
Gọi I là trung điểm của MN, ta có
1 1 3
; ;
2 2 2
I
 
= −
 ÷
 
.
Vì (P) là mp trung trực của MN nên (P) đi qua I và
( 1;7;3)MN = −
uuuur
là một vectơ
pháp tuyến của (P).
0,25
Suy ra, phương trình của (P) là:
1 1 3
( 1) 7 3 0
2 2 2
x y z
     
− + + − + − =
 ÷  ÷  ÷
     
hay:

2 14 6 17 0x y z− − + =

0,25
Ta có
2 2 2
17
17
(O,(P))
236
2 ( 14) ( 6)
d = =
+ − + −
0,25
Do đó, phương trình mặt cầu tâm O, tiếp xúc với (P) là:
2 2 2
289
236
x y z+ + =
0,25
Câu 6
(1,0
điểm)

Tam giác ABC đều cạnh a , suy ra
2
3
4
ABC
a
S =

0,25
SA
⊥
mp(ABC), suy ra AB là hình chiếu vuông góc của SB trên mp(ABC)
Suy ra: góc giữa SB và mp(ABC) là góc SBA bằng 60
0
Xét
∆
v.SAB, ta có:
0
.tan 60 3SA AB a= =
Vậy:
3
.
1
.
3 4
S ABC ABC
a
V S SA= =
0,25
Gọi M là trung điểm của BC, ta có:
( )
BC SA
BC SAM
BC AM
⊥

⇒ ⊥


⊥

Suy ra mp(SAM)
⊥
mp(SBC) theo giao tuyến SM
Kẻ AH
⊥
SM thì AH
⊥
(SBC).Suy ra d(A,(SBC))=AH
Vì O là trọng tâm
∆
ABC nên
1
3
OM AM=
.
Suy ra
1 1
( ,( )) ( ,( ))
3 3
d O SBC d A SBC AH= =
0,25
Xét
∆
v.SAM, ta có:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 4 5
3 3 3AH SA AM a a a
= + = + =

Suy ra
15
5
a
AH =
Vậy:
15
( ,( ))
15
a
d O SBC =
0,25
Câu 7
(0,5
Số phần tử của không gian mẫu:
3
16
( ) 560n CΩ = =

0,25
Kí hiệu X là biến cố “ cả 3 quả cầu lấy ra cùng màu”
Ta có:
3 3 3
7 5 4
( ) 49n X C C C= + + =
Vậy:
( ) 49 7
( )
( ) 560 80
n X

P X
n
= = =
Ω
0,25
Câu 8
(1,0
điểm)
Vì G thuộc đường thẳng
2 0x y+ − =
nên
( ;2 x)G x −
( 1; 1)AB = − −
uuur
, phương trình đường thẳng AB:
3 0x y− − =
0,25
Ta có :
2 5
1 1 9
. . ( , )
2 2 3 2
GAB ABC
x
S AB d G AB S
−
= = = =
⇒
2 5 9x − =
0,25

Suy ra: x=7 hoặc x=-2. Suy ra G(7;-5) hoặc G(-2;4) 0,25
Suy ra: C(18;-12) hoặc C(-9;15) 0,25
Câu 9
(1,0
điểm)
Điều kiện:
1 1
0 2
x
y
− ≤ ≤


≤ ≤

Phương trình (1) của hệ tương đương với:
3 3
3 2 ( 1) 3( 1) 2x x y y− − = − − − −
(*)
0,25
Xét hàm số
3
( ) 3 2f t t t= − −
,
[ 1;1]t∀ ∈ −
Ta có:
2
'( ) 3 3 0f t t= − ≤
,
[ 1;1]t∀ ∈ −

Suy ra: f nghịch biến trên đoạn [-1;1]
Do đó: (*)
⇒
f(x)=f(y-1)
⇔
1x y= −
0,25
Thế vào pt (2) của hệ ta có:

2 2
(2 ) 2 2 3 0y y y y− − − − + =
⇔
2
2 1y y− =
⇔
1y =
0,25
Vậy: hệ phương trình có nghiệm (x=0;y=1) 0,25
Câu 10
(1,0
điểm)
Ta có:
1 1 1
( ) 9ab bc ca
ab bc ca
 
+ + + + ≥
 ÷
 
⇒

1 1 1 9
ab bc ca ab bc ca
+ + ≥
+ +
0,25
2 2 2 2 2 2
1 9 1 1 1 7
P
a b c ab bc ca a b c ab bc ca ab bc ca ab bc ca
≥ + = + + +
+ + + + + + + + + + + +

2 2 2
3
3 21
3( )
( )( )( )
ab bc ca
a b c ab bc ca ab bc ca
≥ +
+ +
+ + + + + +
0,25

2 2 2
2
3 21
( ) ( ) ( )
( )
3

a b c ab bc ca ab bc ca
a b c
≥ +
+ + + + + + + +
+ +
=
2 2
9 21
30
( ) ( )a b c a b c
+ =
+ + + +
0,25
Vậy: minP=30 khi
1
3
a b c= = =
0,25