đề thi HSG tỉnh toán 9 nghệ an năm 2009

Sở Gd&Đt Nghệ an
kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 9 thcs
năm học 2008 - 2009

Môn thi: Toán - Bảng B
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Cõu 1 (4,5 im).
a) Cho A = k
4
+ 2k
3


16k
2


2k + 15 vi k Z. Tỡm iu kin ca k A chia
ht cho 16.
b) Tỡm giỏ tr ln nht ca phõn s m t s l mt s cú ba ch s, cũn mu s l
tng cỏc ch s ca t s.
Cõu 2 (5,5 im).
a) Gii phng trỡnh:
2
x x 2 1 16x 2 + =
b) Giải hệ phơng trình:
2 2
x y xy 9
x y xy 3

+ + =

+ + =

Cõu 3 (3,0 im).
Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
= + + +
+ +
2 2 2
1 1 1 1
P
xy yz xz
x y z

Cõu 4 (5,5 im).
Cho ng trũn (O; R), hai ng kớnh AB v CD vuụng gúc vi nhau. E l
mt im trờn cung nh AD (E khụng trựng vi A v D). Ni EC ct OA ti M;
ni EB ct OD ti N.
a) Chng minh rng: AM.ED =
2
OM.EA
b) Xỏc nh v trớ im E tng
OM ON
AM DN
+
t giỏ tr nh nht.
Cõu 5 (1,5 im).
Cho tam giỏc ABC, ly im C
1
thuc cnh AB, A

1
thuc cnh BC, B
1
thuc
cnh CA. Bit rng di cỏc on thng AA
1
, BB
1
, CC
1
khụng ln hn 1.
Chng minh rng:
ABC
1
S
3

(S
ABC
l din tớch tam giỏc ABC).
- - - - - Hết - - - - -
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Đề thi chính thức
Sở Gd&Đt Nghệ an
Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 9 THCS
Năm học 2008 - 2009
hớng dẫn và biểu điểm Chấm đề chính thức
(Hớng dẫn và biểu điểm chấm gồm 04 trang)
Môn: toán - bảng B

CâuNội dungĐiểm14,5a/
2,5Cho A = k
4
+ 2k
3
- 16k
2
- 2k +15 với k Z
Vì k Z ta xét các trờng hợp:
TH1: k chẵn A = k
4
+ 2k
3
- 16k
2
- 2k +15 là một số lẻ
A không chia hết cho 2
A không chia hết cho 16 (loại) (1)
1,0
TH2: k lẻ, ta có:
A = k
4
+ 2k
3
- 16k
2
- 2k +15 = (k
2
- 1)(k
2

+ 2k - 15)
= (k - 1)(k + 1)(k - 3)(k + 5)
Do k lẻ k - 1; k + 1; k - 3; k + 5 đều chẵn
A = (k - 1)(k + 1)(k - 3)(k + 5)
M
2.2.2.2 = 16 (thoả mãn) (2)
Từ (1) và (2) với k Z mà k lẻ thì A luôn chia hết cho 161,0
0,5b/
Gọi tử số của phân số là
abc
(0 < a 9, 0 b 9, 0 c 9, a, b, c N)
nên phân số đó có dạng P =
abc 90a 9c 90a
10 10 100
a b c a b c a

= + + =
+ + + +
suy ra P
max
= 100 khi b = c = 0, 0 < a 9, a N
2,025,5a/
3,0Giải phơng trình x
2
- x -
2 1 16x 2+ =
. ĐKXĐ:
1
x
16

Khi đó phơng trình x
2
- x =
2( 1 16x 1)+ +
Đặt:
1 16x 1 2y+ + =
(
1
y
2

)
1 + 16x = 4y
2
-4y + 1 4y
2
- 4y = 16x y
2
- y = 4x (*)
Ta có:
2
2
y y 4x
(x y)(x y 3) 0
x x 4y

=

+ + =

=


x y
1 1
x y 3 0 (loại vì x - và y )
16 2
=




+ + =

Với x = y thay vào (*) x
2
- x = 4x
x
2
- 5x = 0 x(x - 5) = 0

=


=

x 5 (thoả mãn)
x 0 (loại)
Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất là: x = 5

0,25
2,25
0,5
b/
2,5Ta có :
2 2 2
9 ( ) 9
3 ( ) 3
x y xy x y xy
x y xy x y xy

+ + = + =


+ + = + + =

(x + y)
2
+ (x + y) 12 = 0
3
4
+ =


+ =

x y
x y
Nếu x + y = 3
x 0

y 3
x + y = 3 x y 3
Hệ đã cho
x + y + xy = 3 xy 0
x 3
y 0

=



=
+ =






=
=




=



Nếu x + y = -4

Hệ đã cho
+ =



=

x y 4
xy 7
(hệ vô nghiệm)
Vậy hệ phơng trình đã cho có 2 nghiệm (x; y) = (0; 3), (3; 0)
1,0
1,0
0,5
33,0 áp dụng bất đẳng thức:
+ +
+ +
1 1 1 9
A B C A B C
(với A, B, C > 0)
với x, y, z > 0 ta có:
+ +
+ +
1 1 1 9
xy yz zx xy yz zx

+
+ + + +
2 2 2
1 9

P
x y z xy yz zx

+ + +
+ + + + + + + + +
2 2 2
1 1 1 7
P ( )
x y z xy yz zx xy yz zx xy yz zx

+
+ + + + + + +
2 2 2
9 7
x y z 2xy 2yz 2zx xy yz zx
=
2 2 2
9 7 9 21
30
xy yz zx
(x y z) (x y z) (x y z)
+ +
+ +
+ + + + + +
(Do 3(xy + yz + zx) (x + y + z)
2
và x + y + z = 1)
Du "=" xy ra khi v ch khi và
= = =
1

x y z
3
Vy P
min
= 30
= = =
1
x y z
3
1,0
1,0
1,0
45,5a/
3,0XÐt ∆COM vµ ∆CED cã:

= =




0
ˆ ˆ
O E 90
ˆ
C chung
⇒ ∆COM ∆CED (g-g)
⇒
=
CO OM
CE ED

(1)
Do AB, CD lµ 2 ®êng kÝnh vu«ng
gãc víi nhau ⇒
= =
0
1 1
ˆ ˆ
E A 45
XÐt ∆AMC vµ ∆EAC cã:

= =




0
1 1
ˆ ˆ
E A 45
ˆ
C chung
⇒ ∆AMC ∆EAC (g-g) ⇒
=
AC AM
CE AE
mµ
AC 2 CO=
(do ∆ACO vu«ng c©n t¹i O)
⇒
= =

AM 2 CO 2 OM
AE CE ED
(do (1))
⇒ AM.ED =
2
OM.AE (§PCM)
1,0
S
S
N
M
D
C
O
B
A
E
1
1
1,0
1,0b/
2,5Tơng tự câu a ta có:
BON BEA
=
BO ON
BE EA
BND BDE
= =
DN BD 2BO
DE BE BE

DN 2 ON
DE EA
=
ON DN ON EA
EA DN
2 DE 2 DE
= =
Từ câu a ta có: AM.ED =
2
.OM.AE
=
OM ED
AM
2 EA

=
OM ON 1
.
AM DN 2
mà
+ = =
OM ON OM ON 1
2 . 2 2
AM DN AM DN 2
Dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi:
= = =
OM ON ED EA
ED EA
AM DN

2EA 2ED
E là điểm chính giữa cung nhỏ AD
Vậy giá trị nhỏ nhất của
+ =
OM ON
2
AM DN
E là điểm chính giữa của cung nhỏ AD
1,0
S
S
0,5
1,051,5Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, gi¶ sö
≥ ≥ ⇒ ≥
0
ˆ ˆ ˆ ˆ
A B C A 60
TH1:
≤ <
0 0
ˆ
60 A 90
kÎ CH
⊥
AB; BK
⊥
AC
ABC
1
S CH.AB

2
⇒ =
mµ CH ≤ CC
1
≤ 1 ta cã:
1
0
BB
BK 1 1 2
AB
SinA SinA SinA
Sin60
3
= ≤ ≤ ≤ =
ABC
1 2 1
S .1.
2
3 3
⇒ ≤ =
(1)
TH2:
0
ˆ
A 90≥
⇒ AB ≤ BB
1
≤ 1, CH ≤ CC
1
≤ 1

ABC
1 1 1
S .1.1
2 2
3
⇒ ≤ = <
(2)
Tõ (1) vµ (2)
ABC
1
S
3
⇒ ≤
0,5
0,5
K
H
A
B
C
A
1
B
1
C
1
0,5
Chó ý: ThÝ sinh lµm c¸ch kh¸c ®óng cho ®iÓm tèi ®a.