Đề thi chọnHSGcấp tỉnh toán 9 có đáp án(đề 3)

Phòng GD-ĐT Triệu Sơn kỳ thi chọn học sinh giỏi toán 9 (đề số 3)
năm học : 2008 - 2009
Môn : Toán
(Thời gian làm bài: 150 phút: Vòng 2)
Bài 1 ( 3,0 điểm)
Cho các số dơng: a; b và x =
1
2
2
+
b
ab
. Xét biểu thức P =
b
xaxa
xaxa
3
1
+
+
++
1. Chứng minh P xác định. Rút gọn P.
2. Khi a và b thay đổi, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Bài 2 (3,0 điểm)
Tìm x; y; z thoả mãn hệ sau:





=

=
=
xzz
zyy
yxx
3623
2423
223
3
3
3
Bài 3 ( 3,0 điểm)
Với mỗi số nguyên dơng n 2008, đặt S
n
= a
n
+b
n
, với a =
2
53
+
; b =
2
53

.
1. Chứng minh rằng với n 1, ta có S
n + 2
= (a + b)( a

n + 1
+ b
n + 1
) ab(a
n
+ b
n
)
2. Chứng minh rằng với mọi n thoả mãn điều kiện đề bài, S
n
là số nguyên.
3. Chứng minh S
n
2 =
2
2
15
2
15

+
nn
. Tìm tất cả các số n để S
n
2 là số
chính phơng.
Bài 4 (5,0 điểm)
Cho đoạn thẳng AB và điểm E nằm giữa điểm A và điểm B sao cho AE < BE. Vẽ đ-
ờng tròn (O
1
) đờng kính AE và đờng tròn (O
2
) đờng kính BE. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài MN
của hai đờng tròn trên, với M là tiếp điểm thuộc (O
1

) và N là tiếp điểm thuộc (O
2
).
1. Gọi F là giao điểm của các đờng thẳng AM và BN. Chứng minh rằng đờng thẳng
EF vuông góc với đờng thẳng AB.
2. Với AB = 18 cm và AE = 6 cm, vẽ đờng tròn (O) đờng kính AB. Đờng thẳng MN cắt
đờng tròn (O) ở C và D, sao cho điểm C thuộc cung nhỏ AD. Tính độ dài đoạn thẳng CD.
Bài 5: (4đ): Cho ABC đờng thẳng d cắt AB và AC và trung tuyến AM theo thứ tự . Là E , F , N .
a) Chứng minh :
AN
AM
AF
AC
AE
AB 2
=+
b) Giả sử đờng thẳng d // BC. Trên tia đối của tia FB lấy điểm K, đờng thẳng KN cắt AB tại P đờng
thẳng KM cắt AC tại Q.
Chứng minh PQ//BC.
Bài 6: (2 điểm)
Cho 0 < a, b,c <1 .Chứng minh rằng :

accbbacba
222333
3222 +++<++
------------- Hết-------------
hớng dẫn chấm: Đề số 3
Câu 1. (3,0 điểm)
Tóm tắt lời giải Điểm
1. (2.0 điểm)

Ta có: a; b; x > 0

a + x > 0 (1)
0,25
0,25
1
Xét a x =
0
1
)1(
2
2

+

b
ba
(2)
Ta có a + x > a x 0


0
+
xaxa
(3)
Từ (1); (2); (3)

P xác định
Rút gọn:
Ta có: a + x =

1
)1(
1
2
2
2
2
+
+
=
+
+
b
ba
b
ab
a


1
)1(
2
+
+=+
b
a
bxa
a - x =
1
)1(

1
2
2
2
2
+

=
+

b
ba
b
ab
a


1
1
2
+
=
b
a
bxa

P =
bbb
bb
b

b
a
b
b
a
b
b
a
b
b
a
b
3
1
11
11
3
1
11
1
)1(
1
1
1
)1(
22
22
+
+
++

=+
+
+
+
+
+
+
+
Nếu 0 < b < 1

P =
bbb 3
4
3
1
2
2
=+
Nếu b
1



P =
b
b
b
b
3
13

3
1
2
+
=+
2. (1.0 điểm)
Xét 2 trờng hợp:
Nếu 0 < b < 1, a dơng tuỳ ý thì P =

b3
4
P
4
3
>
Nếu b
1

, a dơng tuỳ ý thì P =
3
2
3
1
33
1 b
b
b
b
b
+

+=+

Ta có:
3
2
3
1
3
+
b
b
, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 1
Mặt khác:
3
2
3
2

b
, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 1
Vậy P
3
4
3

2
3
2
=+
, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 1
KL: Giá trị nhỏ nhất của P =
3
4
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 2 (3,0 điểm)
Tóm tắt lời giải Điểm
Biến đổi tơng đơng hệ ta có





=+
=+
=+
)2(3)1)(2(

)2(2)1)(2(
2)1)(2(
2
2
2
xzz
zyy
yxx
Nhân các vế của 3 phơng trình với nhau ta đợc:
(x - 2)(y - 2) (z - 2)(x+1)
2
(y+1)
2
(z+1)
2
= - 6(x - 2)(y - 2) (z - 2)

(x - 2)(y - 2) (z - 2)
[ ]
6)1()1()1(
222
++++
zyx
= 0

(x - 2)(y - 2) (z - 2) = 0

x = 2 hoặc y = 2 hoặc z = 2
Với x = 2 hoặc y = 2 hoặc z = 2 thay vào hệ ta đều có x = y = z = 2
Vậy với x = y = z = 2 thoả mãn hệ đã cho

1,00
0,50
0,25
0,25
0,25
0,50
0,25
Câu 3 (3,0 điểm)
Tóm tắt lời giải Điểm
2
1. (1,0 điểm)
Với n 1 thì S
n + 2
= a
n+2
+ b
n+2
(1)
Mặt khác: (a + b)( a
n + 1
+b
n + 1
) ab(a
n
+b
n
) = a
n+2
+ b
n+2

(2)
Từ (1); (2) ta có điều phải chứng minh
2. (1.0 điểm)
Ta có: S
1
= 3; S
2
= 7
Do a + b =3; ab =1 nên theo 1 ta có: với n 1 thì S
n+2
= 3S
n+1
- S
n
Do S
1
, S
2


Z nên S
3

Z; do S
2
, S
3


Z nên S

4

Z
Tiếp tục quá trình trên ta đợc S
5
; S
6
;...; S
2008


Z
3. (1.0 điểm)
Ta có S
n
2 =
2
2
1
2
5
2
1
2
5
22

+

+
nn
=
n
nn

+


















+

+
2
15
2
15
2
2
15
2
15
22
=
2
2
15
2
15

+
nn
đpcm
Đặt a
1
=
2
15
+
; b
1

=
2
15



a
1
+ b
1
=
5
; a
1
b
1
= 1
Xét U
n
=
1 1
n n
a b
Với n 1 thì U
n+2
= (a
1
+ b
1
)(a

1
n+1
- b
1
n + 1
) a
1
b
1
(a
1
n
- b
1
n
)

U
n+2
=
5
U
n+1
U
n
Ta có U
1
= 1

Z; U

2
=
5

Z; U
3
= 4

Z; U
4
= 3
5

Z;...
Tiếp tục quá trình trên ta đợc U
n
nguyên

n lẻ
Vậy S
n
2 là số chính phơng

n = 2k+1 với k

Z và 0

k
1003
0,25

0,50
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 4 (5,0 điểm)
Tóm tắt lời giải Điểm
1. (2,5 điểm) O
1
M; O
2
N

MN

O
1
M/ / O
2
N
Do O
1
; E; O
2
thẳng hàng nên

MO
1
E =

NO
2
B
Các tam giác O
1
ME; O
2
NB lần lợt cân tại O
1
và O
2
nên ta có:

MEO
1
=

NBO
2
(1)
Mặt khác ta có:

AME = 90
0

MAE +

MEO
1
= 90
0
(2)



MAE +

NBO
2
= 90
0




AFB = 90
0


Tứ giác FMEN có 3 góc vuông

Tứ giác FMEN là hình chữ nhật

NME =

FEM (3)
Do MN

MO
1




MNE +

EMO
1
= 90
0
(4)
0,25
0.25
0,25
0,25
0,50
0,25
0,25
3
F

O
1
O
2
O
E
A
B
C
M
I
N
D
S
Do tam giác O
1
ME cân tại O
1



MEO
1
=

EMO
1
(5)
Từ (3); (4); (5) ta có:

FEM +

MEO
1
= 90
0
hay

FEO
1
= 90
0
(đpcm)
2. (2,5 điểm)
Ta có EB = 12 cm

O
1
M = 3 cm < O
2
N = 6 cm

MN cắt AB tại S với A nằm giữa S và B.
Gọi I là trung điểm CD

CD

OI

OI// O

1
M //O
2
N
2
1
2
1
SO
SO
NO
MO
=

SO
2
= 2SO
1


SO
1
+O
1
O
2
= 2SO
1

SO

1
= O
1
O
2
Do O
1
O
2
= 3 + 6 = 9 cm

SO
1
= O
1
O
2
= 9 cm

SO =SO
1
+ O
1
O = 15cm
Mặt khác:
11
SO
SO
MO
OI

=


OI = 5 cm
Xét tam giác COI vuông tại I ta có: CI
2
+ OI
2
= CO
2


CI
2
+ 25 = CO
2
Ta có: CO = 9 cm

CI
2
+ 25 = 81

CI =
56


CD = 4
14
cm
0,25

0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
Câu 5 (2,0 điểm)
Điểm
a)
Kẻ
EFCSBI //,

),( AMSI

Ta có:
AN
AS
AF
AC
AN
AI
AE
AB
==
,
)(
+=+

AN
AS
AN
AI
AF
AC
AE
AB

Ta có:
CSMBIM
=
(cgc)

MSIM
=
Vậy:
AMMSIMAIAIASAI 2
=+++=+
Thay vào (*) ta đợc (đpcm)
1,0
0,5
Khi
NBCEFBCd

////
là trung điểm của EF

+Từ F kẻ đờng thẳng song song với AB cắt KP tại L
Ta có:

LFEPcgcNFLNFP
==
)(

Do đó :

)1(
KB
KF
PB
LF
PB
EP
==

+Từ B kẻ đờng thẳng song song với AC cắt
KM tại H
0,5
0,5
0,5
4
E
E
I
S
M
N
C
B
A

K
P
Q
F
L
E
N
M
CB
A
Ta có
)(cgcCMQBMH
=

QCBH
=
Do đó:
)2(
KB
KF
BH
FQ
QC
FQ
==
Từ
(1) (2) //
FP FQ
va PQ BC
PB QC

=
(đpcm)
0,5
0,5
Bài 6: 2 điểm)
Do a <1


2
a
<1 và b <1
Nên
( )
( )
2 2 2
1 . 1 0 1 0a b a b a b > + >
Hay
baba
+>+
22
1
(1)
Mặt khác 0 <a,b <1


32
aa
>
;
3

bb
>



332
1 baa +>+
Vậy
baba
233
1
+<+
Tơng tự ta có

acca
cbcb
233
233
1
1
+<+
+<+



accbbacba
222333
3222 +++<++
0,5
0,5

0,25
0,25
0,5
5