Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 12 năm học 2012- 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT
NĂM 2013
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Môn : TOÁN
Thời gian : 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi thứ hai : 12/01/2013


Bài 5 (7,0 điểm). Tìm tất cả các hàm số
:f
→
R R
th
ỏ
a mãn :
(0) 0
f
=
,
(1) 2013
f
=
và

2 2 2 2
( )( ( ( )) ( ( ))) ( ( ) ( ))( ( ) ( ))
x y f f x f f y f x f y f x f y
− − = − −

đ

úng v
ớ
i m
ọ
i ,x y
∈
R
, trong
đ
ó
2 2
( ) ( ( ))
f x f x
=
.


Bài 6
(7,0
đ
i
ể
m). Cho tam giác nh
ọ
n ABC n
ộ
i ti
ế
p
đườ

ng tròn (O) và
đ
i
ể
m D thu
ộ
c cung

BC
không ch
ứ
a
đ
i
ể
m A.
Đườ
ng th
ẳ
ng

thay
đổ
i
đ
i qua tr
ự
c tâm H c
ủ
a tam giác ABC c

ắ
t
các
đườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p tam giác ABH và tam giác ACH l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i M và N
( , )
M H N H
≠ ≠
.
a)

Xác
đị
nh v
ị
trí c
ủ
a
đườ
ng th

ẳ
ng


để
di
ệ
n tích tam giác AMN l
ớ
n nh
ấ
t.
b)

Ký hi
ệ
u
1
d
là
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua M và vuông góc v
ớ
i DB,
2
d

là
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua
N và vuông góc v
ớ
i DC. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng giao
đ
i
ể
m P c
ủ
a
1
d
và
2
d
luôn thu
ộ
c m
ộ
t

đườ
ng tròn c
ố

đị
nh.


Bài 7
(6,0
đ
i
ể
m). Tìm s
ố
các b
ộ
s
ắ
p th
ứ
t
ự

( , , , ', ', ')
a b c a b c
th
ỏ
a mãn:

' ' 1(mod15)
' ' 1(mod15)
' ' 1(mod15)
ab a b
ac a c
bc b c

+ ≡




+ ≡



+ ≡




v
ớ
i
{
}
, , , ', ', ' 0,1, ,14
a b c a b c
∈
.

H
Ế
T
•
Thí sinh không
đượ
c s
ử
d
ụ
ng tài li
ệ
u và máy tính c
ầ
m tay.
•
Giám th
ị
không gi
ả
i thích gì thêm.