Sử dụng phương pháp liên hợp để giải phương trình vô tỷ

www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam
GV: Nguy
ễn Văn Cường www.DeThiThuDaiHoc.com
1


MỘT SỐ KỸ NĂNG SỬ DỤNG LƯỢNG LIÊN HỢP ĐỂ GIẢI PT-BPT VÔ TỶ


Nguyễn Văn Cường Gv THPT Mỹ Đức A-Hà Nôi. Đt 01272334598
( Gửi tặng các em học sinh 12A4-THPT Mỹ Đức A –HN năm 2014- 2015)
NỘI DUNG BÀI VIẾT ĐƯỢC ĐĂNG TRÊN ĐẶC SAN THTT THÁNG 10 2014
Khi giải các bài toán về phương trình,bất phương trình vô tỷ trong các kỳ thi đại học hay học sinh
giỏi các tỉnh ,thành phố ,một trong các phương pháp hay được sử dụng là đưa phương trình về phương
trình,bất phương trình tích .Để giúp học sinh vận dụng tốt phương pháp này ,tôi xin giới thiệu một số
kỹ năng thường dùng khi vận dụng lượng liên hợp vào giải phương trình ,bất phương trình vô tỷ .

Dạng 1: Biểu thức liên hợp xuất hịên ngay trong phương trình ,bất phương trình.
Lưu ý:
a b
a b
a b
−
± =
∓
(a,b>0 a
≠
b);
3 3
3 3
2 2

3
a b
a b
a ab b
±
± =
+
∓

Ví dụ 1: Giải bất phương trình
10x 1 3x 5 9x 4 2x 2
+ + − ≥ + + −
(Đề dự bị khôi B năm 2008)
Phân tích:
10x 1 (9x 4) 3x 5 (2x 2)
− − + = − − −
nên ta có lời giải sau:
Lời giải : Điều kiện:
x 5/ 3
≥
Bpt
(
)
(
)
( )
x 3 x 3
10x 1 9x 4 3x 5 2x 2 0 0
10x 1 9x 4 3x 5 2x 2
1 1

x 3 0 x 3 0 x 3
10x 1 9x 4 3x 5 2x 2
− −
⇔ + − + + − − − ≥ ⇔ + ≥
+ + + − + −
 
− + ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≥
 
+ + + − + −
 

So với điều kiện,bất phương trình có nghiệm
x 3
≥
.

Ví dụ 2: Giải phương trình :
(
)
9 4 1 3 2 3
+ − − = +
x x x
(HSG K12 Hà Nội -2010)
Lời giải: Đk
2 / 3
≥
x

3
9 3 9 4 1 3 2

4 1 3 2
+
 
⇔ = + ⇔ = + + −
 
+ + −
 
x
pt x x x
x x
,Bình phương 2 vế ta có nghiệm x=6
Ví dụ 3 Giải phương
2
6x 4
2x 4 2 2 x
x 4
−
+ = + −
+

Phân tích: Quan sát phương trình ta thấy 2x +4 –4(2-x)=6x-4.Đây là cơ sở tốt để ta nhóm
Lời giải:Đk
2 2
6x 4 6x 4 6x 4
2 x 2,Bpt 2x 4 2 2 x
2x 4 2 2 x
x 4 x 4
− − −
− ≤ ≤ ⇔ + − − = ⇔ =
+ + −

+ +

2
x 3/ 2
2x 4 2 2 x x 4(*)

=

+ + − = +


Bình phương hai vế phương trình (*) và chuyển vế ta có
(
)
(
)
2
4 2x 4 2 x x 2x 8
+ − = + −
Do
2
x 2x 8 0 x 4;x 2
+ − ≥ ⇔ ≤ − ≥
Kết hợp điều kiện ta có x=2
Ví d
ụ 4: Giải phương trình sau :
2
3 2 1 2 3
x x x x
− − + = − −

Phân tích :Khi ghép các biểu thức trong căn ta thấy
(
)
(
)
3 2 1 2 3
x x x
 
− − + = −
 
và phân tích bi
ể
u th
ứ
c còn
www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam
GV: Nguy
ễn Văn Cường www.DeThiThuDaiHoc.com
2

lại
(
)
(
)
2
2 3 2 3 1
x x x x
− − = − +

xuất hiện nhân tử chung.
Lời giải : Đk
2 /3
x
≥
.Pt
( )( ) ( ) ( )
2 3 1
2 3 1 2 3 1 0
3 2 1 3 2 1
x
x x x x
x x x x
−
 
⇔ = − + ⇔ − − + =
 
− + + − + +
 

3/ 2
x
⇔ =
ho
ặ
c
( )
1
1
3 2 1

x
x x
= +
− + +
(Vô nghi
ệ
m vì VT<1,VP>1)
Dạng 2: Tìm được 1 nghiệm ,thêm ,bớt để làm xuất hiện biểu thức liên hợp
.
Ví dụ 5
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
2
3 1 6 3 14 8 0
x x x x
+ − − + − − =
(1) (
Đ
HKB-2010)
Phân tích:
Dùng ch
ứ
c n
ă
ng CALC c
ủ
a máy tính b

ỏ
túi ta tìm
đượ
c nghi
ệ
m x=5 ho
ặ
c
Ta tìm một số x (
1
6
3
x
− ≤ ≤
) sao cho 3x+1 và 6-x là một số chính phương thỏa mãn phương trình trên
Dễ thấy x=5 thỏa (1).Vì vậy ta đưa phương trình trên về dạng (x-5)f(x)=0, ,vì vậy ta cần làm xuất nhân tử
chung x-5 từ vế trái của phương trình bằng phương pháp liên hợp. Muốn vậy tìm hai số a , b > 0 sao cho
hệ phương trình sau có nghiệm x=5.
3 1 0 4
6 0 1
x a a
b x b
 
+ − = =
 
⇒
 
− − = =
 
 

Lời giải
: Tx
đ

1
6
3
x
− ≤ ≤

(1)
⇔

2
3 5 5
( 3 1 4) (1 6 ) 3 14 5 0 ( 5)(3 1) 0
3 1 4 1 6
x x
x x x x x x
x x
− −
+ − + − − + − − = ⇔ + + − + =
+ + + −


⇔
5 0 5
1 1
(3 1) 0(*)

3 1 4 1 6
x x
x
x x
− = ⇔ =



+ + + =

+ + + −


Ta th
ấ
y ph
ươ
ng trình (*) vô nghi
ệ
m v
ớ
i
1
6
3
x
− ≤ ≤
.V
ậ
y x=5 là nghi

ệ
m duy nh
ấ
t .
Ví dụ 6:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình

23
5x 1 9 x 2x 3x 1
− + − = + −
(HSG K12 Hà Nội -2012)
Phân tích :
T
ươ
ng t
ự
ta th
ấ
y x=1 là nghi
ệ
m ,ngoài cách làm nh
ư
trên chúng ta có th
ể
làm nhanh
nh

ư
sau:Thay x =1 vào
5 1
x
−
ta
đượ
c 2, vào
3
9
x
−
ta
đượ
c 2 vì th
ế
ta tách nh
ư
sau.
Lời giải :Đ
k

x 1/ 5
≥

Bi
ế
n
đổ
i ph

ươ
ng trình

( ) ( )
(
)
2
3
2 3
3
5 x 1
1 x
5x 1 2 9 x 2 2x 3x 5 (x 1)(2x 5)
5x 1 2
(9 x) 2 9 x 4
−
−
⇔ − − + − − = + − ⇔ + = − +
− +
− + − +

2
3
3
1
5 1
(2 5)(*)
5 1 2
(9 ) 2 9 4
x

x
x
x x
=



= + +

− +
− + − +


Pt (*) vô nghi
ệ
m vì VP
≥
5,VT < 5/2

Ví dụ 7:
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trinh
(
)
2

4 x 1 2 2x 3 x 1 (x 2)
+ + + ≤ − −

Lời giải
:
Đ
k
x 1
≥ −
.x=-1 là m
ộ
t nghi
ệ
m. xét x khác 1.B
ấ
t ph
ươ
ng trình t
ươ
ng
đươ
ng
www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam
GV: Nguy
ễn Văn Cường www.DeThiThuDaiHoc.com
3

( )
( )
3 2 2

2
4(x 3) 4(x 3)
4( x 1 2) 2( 2x 3 3) x x 2x 12 (x 3) x 2x 4
x 1 2 2x 3 3
4 4
(x 3) x 1 3 0 x 3
x 1 2 2x 3 3
− −
⇔ + − + + − ≤ − − − ⇔ + ≤ − + +
+ + + +
 
⇔ − + − + − ≤ ⇔ ≥
 
+ + + +
 

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm là
x 1;x 3
= − ≥

Ví du 8: Giải phương trình
(
)
(
)
(
)
2 2
x 2 x 4x 7 1 x x 3 1 0
+ + + + + + + =

Phân tích :Từ phương trình ta thấy phương trình có nghiệm khi
(
)
x x 2 0 2 x 0
+ ≤ ⇔ − ≤ ≤
,x=-1 thoả
Lời giải :Phương trình
(
)
2 2
x 2 ( x 4x 7 2) 3 x ( x 3 2) 3 0
   
⇔ + + + − + + + − + =
   
   

( ) ( ) ( )
(
)
(
)
( )
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
(x 2) x 3 x x 1
x 4x 3 x 1
x 2 x 6 x 1 0 x 1 6 0

x 4x 7 2 x 3 2 x 4x 7 2 x 3 2
x 5x 8 x 4x 7 x x 2 x 3
x 1 4 0 x 1
x 4x 7 2 x 3 2
 
+ + −
− + −
⇔ + + + + = ⇔ + + + =
 
 
+ + + + + + + + + +
 
 
+ + + + + − + + +
+  + +  = ⇔ = −
 
+ + + + +
 

Cách khác:

( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)

(
)
(
)
( )
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
pt x 1 1 x 4x 7 1 x 1 1 x 3 1 0
x 1 x 4x 7 1 x 3 1 x 4x 7 x 3 0
4
x 1 x 4x 7 x 3 2 0 x 1
x 4x 7 x 3
   
⇔ + + + + + + + − + + =
   
 
⇔ + + + + + + + + + + − + =
 
 
 
⇔ + + + + + + + = ⇔ = −
 
 
+ + + +
 

Bình Luận:Ta có thể giải bài toán này bằng phương pháp hàm số sau khi đã đưa về dạng

( ) ( )
(
)
2
2
x 2 x 2 3 1 ( x) ( x) 3 1
 
+ + + + = − − + +
 
 
,xét hàm số f(t) =
(
)
2
t t 3 1
+ +

Dạng 3: Tìm được nhiều hơn một nghiệm.
Ví dụ 9: Giải phương trinh
2 2
2 3 21 17 0
x x x x x
− + − − + − =

Phân tích :Dùng máy tính ta thấy phương trình có nghiệm x=1,x=2. suy ra phương trình sẽ có nhân
tử là
2
3 2
x x
− +

.Ta thấy ngay là không thể nhân và chia lượng liên hợp với hai căn đó ngay.Vậy thì làm thế
nào để tách nhóm để tạo ra
2
3 2
x x
− +
?.Ta thực hiện nhóm giả định như sau.
( ) ( )
2
2 3 ; 21 17
x x mx n px q x
− + − + + − −
sau đó thay x=1,x=2 vào hệ phương trình
( )
( )
2
2 3 0
21 17 0
x x mx n
px q x

− + − + =


+ − − =



ta
đượ

c

(
)
(
)
(
)
(
)
, 1;1 ; ; 3; 1
m n p q
= = −

t
ừ

đ
ó ta có l
ờ
i gi
ả
i sau
Lời giải: Đ
k
17 / 21
x
≥
.Pt

2 2
( 2 3 1) (3 1 21 17) 3 2 0
x x x x x x x
⇔ − + − − + − − − + − + =

www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam
GV: Nguy
ễn Văn Cường www.DeThiThuDaiHoc.com
4

( )
2
2
1 9
3 2 0 1, 2
3 1 21 17
2 3 1
x x x x
x x
x x x
 
⇔ − + + = ⇔ = =
 
− + −
− + + +
 

Ví dụ 10: Giải phương trinh
2
2x 4x 9 5x 6 7x 11 0

− − + + + + =

Phân tích: Phương trình có nghiệm x=-1,x=2 nên ta làm xuất hiện biểu thức
2
x x 2
− −
làm nhân tử chung
Lời giải :Đk
x 6 / 5
≥ −
Phương trình

(
)
(
)
(
)
( )
2
2 2
2
2
2 x x 2 x 2 5x 6 x 3 7x 11 0
x x 2 x x 2
2 x x 2 0
x 2 5x 6 x 3 7x 11
x x 2 0 x 1,x 2
2(*)
1 1

x 2 5x 6 x 3 7x 11
⇔ − − = + − + + + − + =
− − − −
⇔ − − = + =
+ + + + + +

− − = ⇔ = − =

⇔ =

+

+ + + + + +


Với điều kiện
x 6 / 5
≥ −
,
1 1 5 5
2
4 9
x 2 5x 6 x 3 7x 11
+ < + <
+ + + + + +
suy ra pt (*) vô nghiệm .
Ví dụ 11: Giải phương trinh
(
)
2 2

x x 1 x 2 x 2x 2
+ − = + − +

Phân tích :Bài toán này ta không nhẩm được nghiệm của phương trình ngay.Tuy nhiên nếu dùng
máy tính bỏ túi ta dễ tìm được 2 nghiệm là x =3,828427125 ,x=-1,828427125 .ta thấy
các nghiệm không đẹp nhưng quan sát kỹ ta lại thấy hai nghiệm tổng là 2,tích là -7 từ đó
ta làm xuất hiện nhân tử chung là
2
x 2x 7
− −
trong phương trình
Lời giải :Phương trình tương đương :

( )
2 2 2 2
2
2
2
x 2x 7 3(x 2) (x 2) x 2x 2 0 x 2x 7 (x 2)(3 x 2x 2) 0
x 1 8
(x 1) 1 (x 1)
x 2x 7 0
x 1 8
3 x 2x 2
− − + + − + − + = ⇔ − − + + − − + =
 

= +
− + − −
 

− − = ⇔

 

= −
+ − +

 

Bình luận:Ngoài cách làm trên ta cũng biến đổi bất phương trình như sau . Do x=-2 không là nghiệm của
phương trình
2 2 2 2
2 2
2
x x 1 x x 1 x 2x 7 x 2x 7
x 2x 2 3 x 2x 2 3
x 2 x 2 x 2
x 2x 2 3
− + − + − − − −
= − + ⇔ − = − + − ⇔ =
+ + +
− + +

( )
2
2
2
2
x 2x 7 0
1 1

x 2x 7 0
x 2
x 2x 2 x 1(VN)
x 2x 2 3

− − =
 
⇔ − − − = ⇔

 
 
+
− + = −

− + +
 


Tại sao thêm số -3 vào hai vế của phương trình ? ,dạng 4 sẽ giúp ta tìm ra điều đó
Ví dụ 12 Giải bất phương trình
2 2
2
x x 1 x 1
x 4 2
x 1
+ +
+ ≤
+
+

Phân tích: Dùng chức năng SOLVE của máy tính ta có 2nghiệm của phương trình là
x 1,732050808;x 1,732050808
≈ ≈ −
.mới quan sát ta thấy chúng không đẹp,nhưng ta thấy tổng của chúng là
www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam
GV: Nguy
ễn Văn Cường www.DeThiThuDaiHoc.com
5

0,tích của chúng là -3,vì vậy hai số đó là nghiệm của phương trình
2
x 3 0
− =
.Từ đó ta làm xuất hiện
2
x 3
−

trong phương trình . Với
x 1,732050808
=
Biểu thức
2
x x 1
x 4
+ +
+
có giá trị 1,Biểu thức
2
1

x 1
+
có giá trị
1
2
.
Vì vậy ta cần thêm vào hai biểu thức này lần lượt hai số 1,
1/ 2

Lời giải :Đk x>-4 Phương trình tương đương
( )
(
)
( )
( )
(
)
2 2 2 2 2
2
2 2
2
2 2
2 2
2
x x 1 x 3 1 1 x 3 x 3 x 3
1 0 0
x 4 2 2 2 2
x 1
2 x 1 x 1 2
x x 1

1 x 4
x 4
1 1 1
x 3 0 x 3 0 3 x 3(tm)
2
2 x 1 x 1 2x x 1
1 x 4
x 4
+ + − − −
− + − + − ≤ ⇔ + + ≤
+
 
+
+ + +
+ +
 
− +
 
+
 
 
 
 
⇔ − + + ≤ ⇔ − ≤ ⇔ − ≤ ≤
 
 
 
+ + ++ +
 
− +

 
 
 
+
 
 

Ví dụ 13: Giải phương trinh
2
6 2 8
x x x
− − = +

Phân tích :Phương trình trên có thể giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ hoặc đưa về dạng
2 2
a b
=
.
Tôi xin trình bày một cách khác là sử dụng lượng liên hợp
Dùng máy tính ta thấy phương trình có 1 nghiệm là
7 3 5
2
+
thay vào
46 6 5 1 3 5
8 (1)
4 2
x
+ +
+ = =

Do đây là phương trình vô tỷ với hệ số nguyên,nên các nhân tử thông thường cũng có hệ số nguyên
ta giả định
8
x
+
=mx+n.Quan sát (1) ta thấy
7 3 5 1 3 5
3
2 2
+ +
− =
nên
8 3
x x
+ = −
vì lẽ đó
trong phương trình sẽ có nhân tử là
3 8
x x
− − +

Lời giải :Pt
2
( 3 8) ( 7 1) 0 ( 3 8) ( 3 8)( 3 8) 0
x x x x x x x x x x
⇔ − − + + − + = ⇔ − − + + − − + − + + =


7 3 5

3 8 0
2
( 3 8)( 2 8) 0
2 8 0 5 41
2
x
x x
x x x x
x x
x

+
=


− − + =

⇔ − − + − + + = ⇔ ⇔


− + + = −


=



Ví dụ 14:
Gi
ả

i ph
ươ
ng trình
4 2 4 2
x x 4 x 20x 4 7x
− + + + + =
( Hsg Tỉnh Thái Bình k12/ 2010)
Lời giải:
T
ừ
ph
ươ
ng trình suy ra x>0

Ph
ươ
ng trình
( )
4 2 4 2 4 2
4 2 4 2
1 1
x x 4 2x x 20x 4 5x 0 x 5x 4 0
x x 4 2x x 20x 4 5x
 
⇔ − + − + + + − = ⇔ − + + =
 
 
− + + + + +
 

4 2
x 5x 4 0 x 1,x 2
⇔ − + = ⇔ = =

Bình luận
:
Để
tách
đượ
c 7x = 2x +5x nh
ư
trên ta
đ
i tìm hai s
ố
a,b th
ỏ
a mãn a+b =7 và
www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam
GV: Nguy
ễn Văn Cường www.DeThiThuDaiHoc.com
6

4 2 4 2
4-ax=0; 20 4 0
x x x x bx
− + + + − =
có nghiệm x=1 ta tìm được a=2,b=5
Dạng 4: Xây dựng biểu thức liên hợp trong phương trình ,bất phương trình
Ý tưởng xuất phát từ việc nhiều phương trình ,bất phương trình nghiệm quá xấu,không phù

hợp để sử dụng dạng 2,3 để tạo được nhân tử chung trong phương trình.Khi đó ta sẽ thêm
một đại lượng giả định vào hai vế của pt,bpt,tìm đại lượng giả định đó bằng phương pháp
cân bằng hệ số của các tử số
Ví du 15: Giải phương trình:
( )
2 2
6 1 2 1 2 3
x x x x x
+ + = + + +
( HSG Long An K12 2013)
Phân tích:Sử dụng máy tính bỏ túi ta thấy phương trình có nghiệm không đẹp.Do x=-1/2
không là nghiệm nên ta biến đổi phương trình về dạng
2
2
6 1
2 3
2 1
x x
x x
x
+ +
+ + =
+
.Ta sẽ đi tìm một số
a nào đó đặt vào hai vế để khi nhân liên hợp và quy đồng thì sẽ tạo được nhân tử chung.

(
)
2
2 2 2

2
2
6 2 1
6 1 2 3
2 3
2 1 2 1
2 3
x a x a
x x x x a
x x a a
x x
x x a
+ − + −
+ + + + −
+ + − = − ⇔ =
+ +
+ + +

Lúc đó ta cần xác định a để
(
)
2 2 2
2 3 6 2 1
x x a x a x a
+ + − = + − + −
.Ta tìm được a=2
Lời giải: D=R. x=-1/2 không thỏa .Pt
2 2 2 2
2 2
2

6 1 6 1 2 1 2 1
2 3 2 3 2 2
2 1 2 1 2 1
2 3 2
x x x x x x x x
x x x x
x x x
x x
+ + + + + − + −
⇔ + + = ⇔ + + − = − ⇔ =
+ + +
+ + +
( )
2
2
2
2
2 1 0
1 1
2 1 0
2 1
2 3 2
2 3 2 2 1
x x
x x
x
x x
x x x

+ − =

 
⇔ + − − = ⇔

 
+
+ + +
+ + + = +

 

1 2
3 15
3
x
x

= − ±

⇔
+

=



Bình luận:Tổng quát hơn ta có thể thêm vào hai vế của phương trình với đại lượng ax+b rồi
tìm a,b bằng phương pháp cân bằng hệ số như trên. Xét ví dụ sau
Ví du 16 Giải phương trình:
( )
(

)
2 2
2x (x 1) x x 1 2x x x 2 6
− + = − − + +

Lời giải: Đk
x 0
≥
.Nhận thấy x = 1 không là nghiệm của phương trình
Pt

( ) ( )
( ) ( )
3 2 3 2
3 2 3 2
3 2 3 2
3 2
3 2 3 2
3 2
2 2 6 2 2 6
2 2 4 2 2 2 4 2
1 1
2 3 4 2 3 4 1 1
(2 3 4) 0
1 1
2 2 4 2 2 2 4 2
2 3 4 2
x x x x x x
x x x x x x x x
x x

x x x x
x x
x x
x x x x x x x x
x x x
− + − − + −
⇔ = − + ⇔ − + = − + − +
− −
 
− − − −
 
⇔ = ⇔ − − − =
− −
 
− + + + − + + +
 
⇔ − − ⇔ =

Ví du 17: Giải phương trình
(
)
(
)
2 3
x x 6 5x 1 x 3 2x 3
+ = − + + −

Lời giải: Đk
3
x 3

≥ −
.biến đổi phương trình tương đương ( x=1/5 không là nghiệm cua pt)
3 2 3 2 3 2
3 3 3
x 6x 2x 3 x 6x 2x 3 x 4x 3
x 3 2x x 3 2x x 3 2x
5x 1 5x 1 5x 1
+ − + + − + − +
= + ⇔ − = + − ⇔ = + −
− − −
(*)
www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam
GV: Nguy
ễn Văn Cường www.DeThiThuDaiHoc.com
7

.Nếu
3
3 2
x 0
3 21
x 3 2x 0 x
2
x 4x 3 0

≤
−

+ + = ⇔ ⇔ =


− + =



Nếu
3
x 3 2x 0
+ + ≠
(*) tương đương
3 2
3 2 3 2
3
3
x 4x 3 0
x 4x 3 x 4x 3
5x 1
x 3 2x 5x 1
x 3 2x

− + =
− + − +
⇔ = ⇔

−
+ + = −

+ +


Giải hai phương trình ta được nghiệm x=1,

3 21
x ,x 4 3 2
2
+
= = +

Ví du 18: Giải phương trình
(
)
2 2 3 2
3 1 3 4 1
x x x x x x
+ − + = + − +

Lời giải: D= R. Viết lại phương trình như sau
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
3 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2
2
2

2 2
2
3 3( 3) 7 8
3 4 1
1 1
3 3
7 8
7 8 7 8 7 8
1 3 1 3
3 3 3
1 3
8/ 7
8/ 7
1 1
7 8 0
1 3 2 5
3
1 ( 1) 1
1 3
2
x x x x
x x x
x x x x
x x
x
x x x
x x x x x x
x x x
x x x
x

x
x
x
x x x x
x x x
x
+ + + − −
+ − +
− + = ⇔ − + = ⇔
+ +
− +
+ + +
− + = + − ⇔ − + − + = − ⇔ = −
+ + +
− + + +
= −

 
= −


 
+ − = ⇔ ⇔

± +

 
+
− + = − + −
− + + +


=

 



( phương trình
( )
2
1 3
x x x
− + + +
=0 vô nghiệm)
Ví du 19: Giải phương trình
(
)
2 2
3 4 1 4 2
x x x x x
− − = − − −

Lời giải
:
Đ
k
1
x
≥
,Pt

2
2
3 4
1
4 2
x x
x
x x
− −
⇔ = −
− −
( do
2
4 2
x x
− −
=0 không là nghiệm pt)

( )
( )
2 2 2
2
2 2
2 2 2 2
1 1 ( 1 1)
4 2 4 2 4 2
1 1
2 2
1 1
2 0

4 2
1 1
1 4 3 1 2 4 5
2
2, 5
1
1
1 0( )
5 1 0
1 2
1 2
x x x x
x x
x x x x x x
x
x x
x
x x
x
x x x x x x
x
x x
x Vn
x x
x
x
− − − −
− = + ⇔ − − = ⇔ = ⇔
− − − − − −
− +

= =
 
 
− = = ⇔ ⇔
 
 
− −
− +
− = − − − − = − −
 
 
=

= =



⇔ ⇔
 


= + =
− − − =
 


− +
− +

 



Bài tập Vận dụng:
1.Gpt :
2
2 1 3 1 0
x x x
− + − + =
2.Gpt :
(
)
3 2 2 2 6
x x x
+ − = + +

3.Gpt :
2 2
12 5 3 5
x x x
+ + = + +
4. Gpt
2
2 4 2 5 1
x x x x
− + − = − −

5 Gpt
(
)
(

)
2 3
x x 6 5x 1 x 3 2x 3
+ = − + + −
6.Gpt
2
2 3 7 4 5 0
x x x
− − − + =