Bài tập các phép tính Casio

1
1/
( ) ( )
1 1 1 1
1.2.3 2.3.4 3.4.5 1 2
A
n n n
= + + +×××+
+ +
2/
1 1 1 1
1.2.3 2.3.4 3.4.5 970200
A = + + +×××+
3/
5 5 5 5
1.2.3 2.3.4 3.4.5 2009.2010.2011
A = + + +×××+
4/
( ) ( ) ( )
1 1 1 1
1.3.5 3.5.7 5.7.9 2 1 2 3 2 5
A
n n n
= + + +×××+
+ + +
5/
36 36 36 36
1.3.5 3.5.7 5.7.9 2009.2011.2013
A = + + +×××+
Bài 1.2.3.2:
1/Tính giá trị của biểu thức:

2
1 1 1 1
1 1 1 1
3 9 16
A
n
       
= − × − × − ××× − ×
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
2
1 1 1 1
1 1 1 1
3 9 16 10000
A
       
= − × − × − ××× − ×
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
Bài 1.2.3.3: Tính tổng và viết quy trình tính:
1/ S = 1 + 2 + 3 + + 72 2/
1 1 1 1
1
2 3 71 72
P = + + + + +
3/
1 1 1 1
1
2 3 4 72
Q = − + − + −

4/ K = 1 + 3 + 5 + …+ 99 5/ H = 1.2 +2.3 +3.4 + …+ 49.50 6/A =
1. 2 2. 3 3. 4 49. 50+ + + +
Bài 1.2.3.4:
1/ A =
)1.(
1

12
1
6
1
2
1
+
++++
nn
2 A =
9999900000
1

12
1
6
1
2
1
++++
Bài 1.2.3.5: Tính ( làm tròn đến 6 chữ số thập phân):
1 /
3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10A = − + − + − + − + −
2/ M =
P
Q
với P = 3 + 3
2
+…+ 3
19
; Q =
2 3 19
1 1 1 1

3 3 3 3
+ + + +
3/ N =
1 1 1 1 1 1
1 1 1
2 2 3 2 3 15
     
+ × + + ××× + + + ×××
 ÷  ÷  ÷
     
(chính xác tới 0,0001)
Bài 1.2.3.6:
Cho S
1
= 100 ; S
2
= S
1

+ 15
2
; S
3
= S
1
+ S
2
+ 30
2
S
4
= S
1
+ S
2
+ S
3
+55
2

; S
5
= S
1
+ S
2
+ S
3
+ S

4
+90
2

Tính S
8
; S
9
;
S
10
;S
20
Bài 1.2.3.7: Cho S
1
= 100 ; S
2
= S
1
+ 13
2
; S
3
= S
1
+ S
2
+ 21
2
S

4
= S
1
+ S
2
+ S
3
+ 34
2

; S
5
= S
1
+ S
2
+ S
3
+ S
4
+52
2

Tính
S
8
; S
9
; S
10

;S
30
Bài 1.2.3.8: Cho S
1
= 196 ; S
2
= S
1
+ 2
2
; S
3
= S
1
+ S
2
+ 9
2
S
4
= S
1
+ S
2
+ S
3
+ 23
2

; S

5
= S
1
+ S
2
+ S
3
+ S
4
+ 44
2

Tính S
8
; S
9
; S
10
;S
50
Bài 1.2.3.9: Cho dãy số u
n
=
4 3n
n
−
.và S
n
= u
1

+ u
2
+…+u
n
.
a/ Viết quy trình bấm phím tính S
n
.b/ Hãy tính S
5
;S
10
;S
15
;S
20
.
Bài 1.2.3.10: Cho dãy số u
n
Với u
1
=
7
;u
2
=
7 7+
;u
n
=
7 7 7+ +

1 4 4 2 4 43
a/ Viết quy trình bấm phím tính u
n
.b/ Tính u
1000
Bài 1.2.3.11: Cho dãy số u
n
.Tính u
10000
với u
1
=
10
;u
2
=
10 10+
;u
n
=
10 10 10+ +
1 4 44 2 4 4 43
Bài 1.2.3.12: Cho dãy số u
n
=
3
4 5n
n
+
.và S

n
= u
1
+ u
2
+…+u
n
.Hãy tính S
5
;S
10
;S
15
;S
20
.
Bài 1.2.3.13: Cho dãy số u
n
.Tính u
10000
với u
1
=
3
15
;u
2
=
3
3

15 15+
;u
n
=
3
3
3
15 15 15+ + +
1 4 4 42 4 4 43
Bài 1.2.3.14: Cho dãy số :S
n
= (1
3
+2
3
)(1
3
+2
3
+3
3
)…(1
3
+2
3
+3
3
+…+n
3
) a/ Viết quy trình bấm phím tính S

n
.
b/ Tính S
n
với n = 1,2,3,…,10.
Bài 1.2.3.15:
n dấu căn
n dấu căn
n dấu căn
Cho dãy số :S
n
= 1
4
+(1
4
+2
4
)+(1
4
+2
4
+3
4
)+…+(1
4
+2
4
+3
4
+…+n

4
) a/ Viết quy trình bấm phím tính S
n
.b/ Tính S
n
với n =
5;10;15;20.
Bài 1.2.3.16: Cho dãy số :S
n
=
1
3 3 3
3 3 3
1 1 1 1 1 1
1 1 1 ( 1)
2 2 3 2 3
n
n
+
   
 
− − + ××× − + − + − ×
 ÷  ÷ ÷
 
   
a/ Viết quy trình bấm phím tính S
n
.b/ Tính S
n
với n = 5;7 .

Bài 1.2.3.17: Với mỗi số nguyên dương n > 1.Đặt S
n
= 1.2 +2.3 +3.4 + … +n.(n+1) a/Viết quy trình tính S
n
b/Tính S
50
; S
2005
; S
20052005
c/ So sánh
2
2005
S
với S
20052005
Bài 1.2.3.18: Cho
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
2 3 3 4 4 5 ( 1)
n
S
n n
= + + + + + + + + + + + +
+
a/ Viết quy trình bấm phím tính S
n
. b/ Tính S
10

; S
12
và S
2007
;S
2011
với 6 chữ số ở phần thập phân.
Bài 1.2.3.19: Với mỗi số nguyên dương n .Đặt
3 6
4
2 3. 7 4 3
( )
9 4 5. 2 5
n
A n n
n
− + −
= +
− + +
a/Tính A(2007). b/So sánh A(2008) với A(20072008).
Bài 1.2.3.20: Cho S
1
= 81 ; S
2
= S
1
+ 15
2
; S
3

= S
1
+ S
2
+ 25
2
S
4
= S
1
+ S
2
+ S
3
+39
2

; S
5
= S
1
+ S
2
+ S
3
+ S
4
+57
2

Tính S
8
; S
9
; S
10
.
Bài 1.2.3.21: Tính giá trị biểu thức :
a/ A = 3 + 8 + 15 +… + 9800
b/ B = 1.2.3 + 3.5.7 + 5.7.9 +…+ 95.97.99
c/C=3 + 6 + 11 + 20 + 37 +…+ (2
n
+ n) với n = 10, n = 20, n= 30
d/D = 1 + 3
2
+ 3
4
+ 3
6
+…+ 3
100
e/E = 7 + 7
3
+ 7
5
+ 7
7
+…+ 7
99

Bài 1.2.3.22:
1/ Tính A =
1 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 2008)
1.2008 2.2007 3.2006 2007.2 2008.1
+ + + + + + + + + + +
+ + + + +
2/ Tính B = 1 - 2
4
+ 3
4
- 4
4
+ …+ 49
4
- 50
4
.
3/ Tính C =
1 1 1 1
1
2! 3! 4! 50!
+ + + +×××+
.4/ Tính D =
40 38 36 4 2
.5/ Tính E =
40 39 38 3 2
.
6)
3
4

5
6
7
8
9 9
2 3 4 5 6 7 8 9 2010A = − + − + − + − +
Bài 1.2.3.23: Tính :
9
8
7
6
5
4
3
9 8 7 6 5 4 3 2C =
Bài 1.2.3.24: Cho C
n
=
( 1)
( 2)
3
( 1) ( 2) 4 3 2
n
n
n
n n n
−
−
− −
a/ Viết quy trình tính C

n
.
b/ TínhC
50
; C
100
.
Bài 1.2.3.25: Cho T
n
=
( ) ( ) ( )
2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0
1 1 2 1 2 Sin Sin Sin Sin Sin Sin n+ + + + + +
a/ Viết quy trình tính T
n
b/Tính T
100
.
Bài 1.2.3.26: Tính gần đúng (làm tròn đến 6 chữ số thập phân) :
A =
3 4 5 6 7
6 5 4 3 2 1
7
2 3 4 5 6 7
− + − + − +
Bài 1.2.3.27: Với mỗi số nguyên dương n > 1 .Đặt S
n
= 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n(n + 1)
Tính S
100

và S
2005
.
Dạng 3.3: Luỹ thừa
A - Tìm số dư:
Bài 3.3A.1:
a)Tìm số dư khi chia 2006
10
cho 2000 .
b) Tìm số dư trong phép chia A = 3
8
+ 3
6
+ 3
2004
cho 91.
Bài 3.3A.2: Tìm số dư khi chia 2945
5
- 3 cho 9
Bài 3.3 A.3: Tìm số dư khi chia (1997
1998
+1998
1999
+ 1999
2000
)
10
cho 111
Bài 3.3 A.4: Tìm số dư khi chia 1532
5

- 1 cho 9
Bài 3.3 A.5: 1) Tìm số dư khi chia 10! cho 11
2) Tìm số dư khi chia 1776
2003
cho 4000 .
Bài 3.3 A.6: a) Tìm số dư khi chia 13! cho 11
b) Tìm số dư trong phép chia: 7
15
: 2001
Bài 3.3 A.7: Tìm số dư khi chia 5
70
+ 7
50
cho 12
Bài 3.3 A.8: Tìm số dư khi chia
100
2
51200
cho 41
Giải: Vì 41 là số nguyên tố, ta có:
51200
41
≡
51200(mod 41)
≡
32(mod 41)
Mặt khác:2
1
≡
2(mod 41) , 2

2
≡
4(mod 41) , 2
3
≡
8(mod 41) , 2
4
≡
16(mod 41) , 2
5
≡
32(mod 41) , 2
6
≡
23(mod 41) , 2
7
≡
5(mod 41)
⇒
2
100
= 2
14.7+2
= (2
7
)
14
.2
2

≡
(5)
14
.2
2
(mod 41)
Ta có:5
2

≡
25(mod 41) , 5
3

≡
2(mod 41)

⇒
5
14
= 5
3.4 +2
=(5
3
)
4
.5
2

≡
2

4
.5
2
(mod 41)
≡
31(mod 41)
Nên: 2
100

≡
(5)
14
.2
2
(mod 41)
≡
31.2
2
(mod 41)
≡
1(mod 41)
ABC
⇒
V
2
100
= 41q +1 (q
∈
N)
Vậy:

100
2
51200
=51200
41q +1
= (51200
41
)
q
.51200
≡
(32)
q
.51200(mod 41)
≡
(32)
q
.32(mod 41)
≡
(32)
q+1
(mod 41) (q
∈
N)
Cách này không ra!
Cách khác:Ta có:51200
40

≡
1(mod 41) ,51200

≡
32(mod 41)
Mà: 2
2

≡
-1(mod5)
⇒
(2
2
)
48

≡
1 (mod5)

⇒
(2
2
)
48
.2
≡
1.2 (mod5)

⇒
2
97
≡
2 (mod5)

⇒
2
97
.2
3
≡
2.2
3
(mod5.2
3
)

⇒
2
100
≡
16 (mod 40)
Nên: 2
100
= 40q +16
Cho nên:
100
2
51200
=51200
40q +16
= (51200
40
)

q
.51200
16

≡
32
16
(mod 41)
Mà: 32
16
= 2
80
= (2
40
)
2

≡
1(mod 41)
Vậy:
100
2
51200

≡
1(mod 41)
Bài 3.3 A.9: a) Viết quy trình tìm số dư khi chia (5
15
+ 1) cho (2
12

+1)
b) Hãy tìm số dư r .
Bài 3.3 A.10: Tính phần dư của các số 7
0
; 7
1
; 7
2
; 7
3
; 7
4
; 7
5
; 7
6
; 7
7
; 7
8
; 7
9
; 7
10
; 7
11
khi chia cho 13 và điền vào
bảng sau:
7
0

7
1
7
2
7
3
7
4
7
5
7
6
7
7
7
8
7
9
7
10
7
11
Số dư
Bài 3.3 A.11:
a) Tìm số dư khi chia 1997
2008
cho 2003
b/ Tìm số dư khi chia 1997
2001
cho 2003

c/ Tìm số dư khi chia 2
100
cho 100
d/ Tìm số dư khi chia 9
100
cho 100
e/ Tìm số dư khi chia 11
201
cho 100
Bài 3.3 A.12: Tìm số dư khi chia 102007
200708
cho 111007
B - Chứng minh chia hết:
Bài 3.3B.1:
1) Chứng minh rằng: 4
2n+1
+ 3
n+2


13 .
2) Chứng minh rằng với bất kì số nguyên dương n thì biểu thức:
[7.5
2n
+ 12.6
n
]

19
Bài 3.3B.2:

a/ Chứng minh rằng: 2
4n
- 1

15
b/ Chứng minh rằng: 69
69
+19
19

44
Bài 3.3 B.3: a)Chứng minh rằng: 1890
1930
+ 1945
1975

7
b) 19
2007
+13
2004

5
Bài 3.3 B.4: Chứng minh rằng: 220
69
119
+ 119
220
69
+69

119
220

102
Bài 3.3 B.5: Chứng minh rằng:
a) 2
5n
- 1

31 b) (n
2
+ n - 1)
2
- 1

24
Bài 3.3 B.6: Chứng minh rằng: 2
5
2
+ 1

461
Bài 3.3 B.7: Chứng minh rằng:
a) 1
n
+ 2
n
+ 3
n
+ + m

n

≡
0 (mod m ) .
b) A = n
8
- n
6
- n
4
+ n
2
chia hết cho 5760 với n là số tự nhiên lẻ.
c) B = 9n
3
+ 9n
2
+ 3n - 16 không chia hết cho 343 với mọi số nguyên n.
Bài 3.3 B.8: Chứng minh rằng: 2222
5555
+ 5555
2222


7
Giải: Ta có:2222
≡
3(mod7) , 5555
≡
4(mod7)

Mặt khác:2222
6

≡
1(mod7) , 5555 = 5(mod6)
⇒
5555 = 6q +5 (q
∈
N) nên 2222
5555
= 2222
6q +5
= (2222
6
)
q
.2222
5

≡
3(mod7)
Tương tự: 5555
2222

≡
4(mod7)
Vậy: 2222
5555
+ 5555
2222

≡
7(mod7)
≡
0(mod7)
⇒
đpcm
Bài 3.3 B.9: Chứng minh rằng:
∀
n
∈
N
*
ta có:
a)
2 2
4 2 1 7
n n
+ + 
b)
2
2 15 1 9
n
n+ − 
Giải:a) Với n = 1 thì:
1 1
2 2 2 2
4 2 1 4 2 1 21 7
n n
+ + = + + = 

Giả sử mệnh đề đúng với n = k (k
∈
N , k
≥
1) tức là:
2 2
4 2 1 7
k k
+ + 

Ta phải chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1 tức là:
1 1
2 2
4 2 1 7
k k+ +
+ + 
Thật vậy:
1
2
4
k+
≡
2 nếu k chẵn và
≡
4 nếu k lẻ

1
2
2
k+

≡
4 nếu k chẵn và
≡
2 nếu k lẻ
Vậy:
1 1
2 2
4 2 1 7
k k+ +
+ + 
với
*
k∀ ∈Ν
⇒
đpcm
Bài 3.3 B.10: CMR:
a)
2 1
2
2
n+
+3

7 b)
10 1
2
2 19 23
n+
+ 
c)

6 2
2
2 21 37
n+
+ 
Giải: c) Ta có:2
36

≡
1 (mod 37)
Mà: 2
6

≡
1(mod 9) nên:(2
6
)
n

≡
1(mod 9)
⇒
(2
6
)
n
.2
2
≡
1.2

2
(mod9. 2
2
)
⇒
2
6n +2
≡
4 (mod36)
⇒
2
6n +2
=36q +4 (q
∈
N)
Nên:
6 2
2
2
n+
= 2
36q+ 4
=(2
36
)
q
.2
4

≡

16 (mod 37)
Vậy:
6 4
2
2 21 16 21(mod37) 0(mod37)
n
dpcm
+
+ ≡ + ≡ ⇒
Bài 3.3 B.11: Số 3
12
- 1 chia hết cho hai số tự nhiên nằm trong khoảng 70 đến 79. Tìm hai số đó.
Bài 3.3 B.12: Chứng minh rằng:
a/2001
2004
+ 2003
2006


10
b/ 7 + 7
2
+ 7
3
+ …+7
2008


400
Bài 3.3 B.12: Chứng minh rằng: Với mọi số nguyên dương n thì :

3
n+2
- 2
n+2
+3
n
- 2
n


10
C - Số tận cùng:
Ta có:
4 3 2 1
.10 .10 .10 .10abcde a b c d e= + + + +
Cho nên:
- Tìm 1 chữ số tận cùng:Ta xét đồng dư mod 10
1
- Tìm 2 chữ số tận cùng :Ta xét đồng dư mod 10
2
- Tìm 3 chữ số tận cùng :Ta xét đồng dư mod 10
3
- Tìm n chữ số tận cùng :Ta xét đồng dư mod 10
n
Bài 3.3C. 1:
a/Tìm 1 chữ số tận cùng của số:9
9
9
b/Tìm 2 chữ số tận cùng của số: 14
14

14
c/Tìm 2 ,3,4,5 chữ số tận cùng của số: 5
21
Bài 3.3 C. 2: Tìm chữ số tận cùng của số:2
4
3
Bài 3.3 C. 3: Tìm chữ số tận cùng của số:14
14
14
Giải:Ta có:14
≡
4(mod 10)
Mà: 14
≡
- 1 (mod 5)
⇒
14
13

≡
- 1 (mod 5)

⇒
14
13
.7
≡
- 1.7 (mod 5)

⇒

14
13
.7 .2
≡
- 1.7.2 (mod 5.2)

⇒
14
14
≡
- 14 (mod 10)
≡
6 (mod 10)
Nên: 14
14
=10q +6 (q
∈
N)
Vậy: 14
14
14
= 14
10q +6
= 14
(5q+3).2
= (14
5q +3
)
2
Vì : q

∈
N nên 14
5q +3
luôn có chữ số hàng đơn vị là 4 hoặc 6
Do đó: (14
5q +3
)
2
luôn có chữ số hàng đơn vị là 6
Cách 2: Ta có:14
2

≡
6 (mod 10)
Nên: (14
2
)
7

≡
6
7
(mod 10)
≡
6 (mod 10)
⇒
14
14
= 10 q +6 (q
∈

N)

⇒
14
14
14
= 14
10q
+6 = (14
2
)
5q
.14
6

≡
6. 14
6
(mod 10)

≡
6. (14
2
)
3
(mod 10)

≡
6. 6
3

(mod 10)

≡
6
4
(mod 10)

≡
6 (mod 10)
Vậy: Chữ số tận cùng là 6.
Bài 3.3 C. 4: Tìm 2,3,4,5, 6 chữ số tận cùng của số:5
21
HD: 5
21
=5
14
.5
4
.5
3

≡
203125 (mod 10
6
)
Bài 3.3 C. 5: Tìm 8 chữ số tận cùng của số:5
1995
Bài 3.3 C. 6: a) Tìm 2 chữ số tận cùng của: 9
9
9

b)Tìm 2 chữ số tận cùng của:
9
9
9
11
Giải: a) Vì 100 = 2
2
.5
2
nên:
(100)
1 1
100(1 )(1 ) 40
2 5
Ψ = − − =
Ta có: 9
40

≡
1(mod 100)
Mặt khác: 9
2

≡
1(mod 40)

⇒
(9
2
)

4

≡
1(mod 40)

⇒
(9
2
)
4
.9
≡
1.9(mod 40)

⇒
9
9
= 40q + 9 (q
∈
N)
Vậy: 9
9
9
= 9
40q + 9
= (9
40
)
q
.9

9

≡
9
9
(mod 100)
≡
89 (mod 100)
KL: Hai chữ số tận cùng của 9
9
9
là:89
b) Ta có: 9
9
9
≡
89 (mod 100) nên 9
9
9
= 100k + 89 (k
∈
N)
⇒

9
9
9
11
= 11
100k + 89

= (11
100
)
k
.11
89
mà 11
5

≡
51(mod 100)

⇒
(11
5
)
2

≡
1(mod 100)

⇒
(11
10
)
10

≡
1(mod 100)

⇒
11
100

≡
1(mod 100)
Nên:
9
9
9
11

≡
11
89
(mod 100)
≡
11
40.2+9
(mod 100)
≡
(11
40
)
2
.11
9
(mod 100)

≡

11
9
(mod 100)

≡
91 (mod 100)
KL: Hai chữ số tận cùng của
9
9
9
11
là: 91
Bài 3.3 C. 7: Tìm chữ số tận cùng của 2
1
+ 3
5
+ 4
9
+ + 2004
8009
Bài 3.3 C. 8: Tìm số tận cùng của các số: 6
713
và 2
1000
Bài 3.3 C. 9: Tìm hai số tận cùng của số: 2
1999
+ 2
2000
+ 2
2001

Bài 3.3 C.10: Tìm hai số tận cùng của số:2
999
.
Bài 3.3 C.11: Tìm 3 số tận cùng của số:
2010
70 2011
8 90
1 1
4 5
22 19A = +
Bài 3.3 C.12: Tìm chữ số tận cùng của số:20072008
20072008
.
Bài 3.3 C.13: Tìm hai số tận cùng của số:
9
9 9
9 9
9 9+
Bài 3.3 C.14: Tìm hai số tận cùng của số:101
2
+ 102
3
+103
4
+104
5
.
: Dãy số
Dạng 5.1: Khi biết 2 hoặc 3 số hạng đầu tiên
Bài 5.1.1: Cho






+=
==
−+ 11
10
1
nnn
UUU
UU
a) Tính U
6 .
b) Lập quy trình tính U
n
?
Bài 5.1.2: Cho



+=
==
−+ 11
21
2008
2,1
nnn
UUU

UU
a) Tính U
10
b) Lập quy trình tính U
n+1
?
Bài 5.1.3: Cho U
1
= 1 , U
2
= 3,U
n+2
= 3U
n+1
- 2U
n
a) Lập quy trình tính U
n
b) Tính U
17
, U
18
, U
25
, U
27
.
Bài 5.1.4: Cho U
1
= - 3 ;U

2
= 4 ; U
n+2
= U
n
+ U
n+1
, n = 1 ,2 , 3
1) Viết quy trình bấm phím liên tục để tính U
n
, n
≥
3 .
2) Tính U
22
; U
23
; U
24
; U
48
; U
49
; U
50
.
3) Tính chính xác đến 5 chữ số và điền vào bảng sau:
1
2
U

U
3
2
U
U
4
3
U
U
5
4
U
U
6
5
U
U
7
6
U
U
Bài 5.1.4: Cho dãy số : u
1
= 1 ; u
2
= 2 ; u
n+1
= 3u
n
+ u

n-1
, n
≥
2 ( n là số tự nhiên).
1) Hãy lập một quy trình tính u
n+1
.
2) Tính các giá trị của u
n
với n = 18 ; 19 ; 20.
Bài 5.1.5: Cho dãy số : u
1
= 1 ; u
2
= 1 ; ; u
n+1
= u
n
+ u
n-1
,với mọi n
≥
2.
1) Hãy lập một quy trình bấm phím tính u
n+1
.
2) Tính u
12
, u
48

, u
49
và u
50
.
Bài 5.1.6: Cho dãy số sắp theo thứ tự với u
1
= 2 ; u
2
= 20 và từ u
3
trở lên được tính theo công thức : u
n+1
= 2u
n
+ u
n-1
,
với n
≥
2.
1) Tính giá trị của u
3
; u
4
; u
5
; u
6
; u

7
; u
8
.
2) Viết quy trình bấm phím liên tục để tính giá trị của u
n
với u
1
= 2 ; u
2
= 20.
3) Sử dụng quy trình trên , tính giá trị của u
22
; u
23
; u
24
; u
25
.
Bài 5.1.7: Cho dãy số u
1
= 144 ; u
2
= 233 ; ; u
n+1
= u
n
+ u
n-1

với mọi n
≥
2.
1) Hãy lập quy trình bấm phím để tính u
n+1
với mọi n
≥
2 .
2) Tính u
12
; u
37
; u
38
; u
39
.
Bài 5.1.8: Cho dãy số
{ }
n
u
được tạo thành theo quy tắc sau : Mỗi số sau bằng tích hai số trước cộng với 1 , bắt đầu từ
u
0
= u
1
= 1 .
1) Lập một quy trình tính u
n
.

2) Tính các giá trị của u
n
, n = 2 ,3 , ,9 .
3) Có hay không số hạng của dãy chia hết cho 4 ? .Nếu có , cho ví dụ . Nếu không , hãy chứng minh .
Bài 5.1.9: Cho dãy số u
1
= 144 ; u
2
= 233 ; ; u
n+1
= u
n
+ u
n-1
với mọi n
≥
2.
1/ Tính u
n
với n = 3,4,5,6,7,8.
2/ Hãy lập quy trình bấm phím để tính u
n
với mọi n
≥
2 .
3/ Tính chính xác giá trị của u
n
với n = 13,14,15,16,17.
Bài 5.1.10: Dãy số u
n

được xác định như sau:
u
0
= 1 ; u
1
= 1

; u
n+1
= 2u
n
- u
n-1
+2 , n = 1,2 ,
a/ Lập một quy trình tính u
n
.
b/ Tính các giá trị của u
n
với n = 1, ,20.
c/ Biết rằng với mỗi n
≥
1 bao giờ cũng tìm được chỉ số k để u
k
=u
n
.u
n+1

Ví dụ:u

1
.u
2
=3=u
2
.Hãy điền chỉ số k vào các đẳng thức sau:
u
2
.u
3
= u
k
; u
3
.u
4
= u
k
; u
4
.u
5
= u
k
.
d/ Với mỗi n
≥
1 hãy tìm chỉ số k để u
k
= u

n
.u
n+1
.
Bài 5.1.11: Cho u
1
=1 ; u
2
= 2 ; u
3
= 3 ; u
n+3
= 2u
n+2
- 3u
n+1
+ 2u
n
(n
≥
2).
a/ Lập quy trình bấm phím liên tục để tính u
n
.
b/ Áp dụng quy trình trên để tính u
19
; u
20
; u
66

; u
67
; u
68
.
c/ Tính tổng 20 số hạng đầu tiên của dãy.
Bài 5.1.12: Cho u
5
= 588 ; u
6
= 1084 ; u
n+1
= 3u
n
-2u
n-1
.Tính u
1
; u
2
; u
25
;u
30
.
Dạng 5. 2: Khi biết 1 số hạng đầu tiên
Bài 5.2.1: Cho dãy số: x
n+1
=
4

1
n
n
x
x
+
+
với n
≥
1
a) Lập quy trình tính x
n+1
với x
1
= 1 và tính x
100
b) Lập quy trình tính x
n+1
với x
1
= - 2 và tính x
100
Bài 5.2.2: Cho dãy số: x
n+1
=
2
2
5 4
1
n

n
x
x
+
+
với n
≥
1
Lập quy trình tính x
n+1
với x
1
= 0,25 và tính x
100
Bài 5.2.3: Cho dãy số tự nhiên: U
0
; U
1
; Có:
U
0
= 1 và U
n+1
×
U
n-1
= k .U
n
(với k là số tự nhiên)
a) Lập một quy trình tính U

n+1
b) Cho k = 100 ; U
1
= 200 . Tính U
1
;… ;U
100
c) Biết U
2000
= 2000.Tính U
1
và k .
Bài 5.2.4: Cho dãy số xác định bởi công thức: x
n+1
=
3
1
3
n
x +
1) Biết x
1
= 0,5 . Lập quy trình bấm phím liên tục để tính x
n
.
2) Tính x
12
; x
51
.

Bài 5.2.5: Cho dãy số : x
n+1
=
2
2
n
n
x
x
+
1) Lập một quy trình bấm phím tính x
n+1
với x
1
= 1 . Sau đó tính x
50
.
2) Lập một quy trình bấm phím tính x
n+1
với x
1
= - 1 . Sau đó tính x
50
.
Bài 5.1.6: Cho dãy số u
1
=
5
12
π

; u
2
= 1 - cosu
1
; ; u
n+1
= 1- cosu
n
.
1) Hãy lập quy trình bấm phím để tính u
n+1
.
2) Tính u
50
.
Bài 5.1.7: Cho dãy số:
1
6
1
n
n
n
x
x
x
+
+
=
+
với n = 1,2,3 , và x

1
=
5
12
cos
π
. Tính x
50
.
Dạng 5.3: Không biết số hạng đầu tiên
Bài 5.3.1: Cho dãy số: U
n
= (
2
53+
)
n
+ (
2
53
−
)
n
- 2 Với n = 0, 1, 2, 3,
a) Tìm 5 số hạng đầu tiên của dãy?
b) Lập công thức truy hồi tính U
n+1
theo U
n
và U

n-1
?
c/ Lập quy trình bấm phím liên tục tính U
n+1
theo U
n
và U
n-1
?
Bài 5.3.2: Cho dãy số: U
n
=
72
)75()75(
nn
−−+

Với n = 0,1, 2, 3,
a) Tìm 5 số hạng đầu tiên của dãy?
b) Chứng minh rằng U
n+2
= 10U
n+1
- 18 U
n
c/ Lập quy trình bấm phím liên tục tính U
n+2
theo U
n+1
và U

n
?
Bài 5.3.3: Ký hiệu S
n
= x
n
1
+ x
2
n
Trong đó x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình bậc hai: x
2
- 8x + 1 = 0
a) Lập công thức truy hồi tính S
n+1
theo S
n
và S
n-1
?
b) Tính S
6
, S
7
, S
8

.
.
Bài 5.3.4: Cho dãy số: U
n
=
(4 15) (4 15)
n n
+ + −
Với n = 0,1, 2, 3,
1/ Lập công thức truy hồi tính U
n+1
theo U
n
và U
n-1
?
2/ Tính chính xác giá trị của U
n
với n = 10,11,12,13,14.
Bài 5.3.5: Cho dãy số: U
n
=
(13 3) (13 3)
2 3
n n
+ − −

Với n = 0,1, 2, 3,
a) Tìm U
n

với n = 0,1, 2, 3,4,5,6,7,8.
b) Lập công thức truy hồi tính U
n+1
theo U
n
và U
n-1
?
c/ Lập quy trình bấm phím liên tục tính U
n+1
theo U
n
và U
n-1
?
Bài 5.3.6: Cho dãy số: U
n
=
(6 2 7) (6 2 7)
4 7
n n
+ − −

a) Tìm U
n
với n = 0,1, 2, 3,4,5,6,7,8.
b) Lập công thức truy hồi tính U
n+1
theo U
n

và U
n-1
?
c/ Lập quy trình bấm phím liên tục tính U
n+1
theo U
n
và U
n-1
?
Bài 5.3.7: Cho
3 2
n
n
u
n
−
=
(n
≥
1) ; S
n
= u
1
+ u
2
+ + u
n
. Tính S
20

Bài 1: Tính gần đúng giá trị của các biểu thức sau:
1.1) A =
33
93221
2
−−+
1.2) B =
2 0 3 0 2 0 3 0
3 0 3 0
2
cos 55 .sin 70 10cotg 50 .cotg 65
3
cos 48 .cotg 70
−
Bài 2: Tìm tất cả các số có dạng
yx534
chia hết cho 36.
Bài 3: Kí hiệu M =
2
1
3
1
5
1
7
1
+
+
+
+

4
3
5
6
8
7
9
1
+
+
+
; N =
b
a
1
1
7
1
5
1
3
1
+
+
+
+
3.1) Tính M, cho kết quả dưới dạng phân số.
Bài 4: Cho : x
3
+ y

3
= 10,1003 và x
6
+ y
6
= 200,2006.
Hãy tính gần đúng giá trị biểu thức x
9
+ y
9
.
Bài 7: Xét các số thập phân vô hạn tuần hoàn :
E
1
= 0,29972997 với chu kì là (2997) ; E
2
= 0,029972997 với chu kì là (2997)
E
3
= 0,0029972997 với chu kì là (2997).
7.1) Chứng minh rằng số T =
1
3
E
+
2
3
E
+
3

3
E
là số tự nhiên.
7.2) Số các ước nguyên tố của số T là:
Bài 8: Tìm x, y nguyên dương, x ≥ 1 thỏa mãn: y =
3
19 −+ x
+
3
19 −− x
.
Bài 9: Cho dãy số {U
n
} như sau: U
n
=
( )
n
625+
+
( )
n
625−
với n = 1, 2, 3,
9.1) Chứng minh rằng U
n+2
+ U
n
= 10U
n+1

với ∀ n = 1, 2, 3,
9.2) Lập một quy trình bấm phím liên tục để tính U
n+2
với n ≥ 1.
(nêu rõ dùng cho loại máy nào)
Bài 10: Cho tam giác ABC với đường cao AH. Biết góc ABC = 45
0
, BH = 2,34cm, CH = 3,21cm.
10.1) Tính chu vi tam giác ABC. (chính xác đến 5 chữ số thập phân)
10.2) Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
(chính xác đến 5 chữ số thập phân)
7.1. Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậc 2:
Định nghĩa: Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậc hai với hệ số là hằng số có dạng:
n 2 n 1 n
ax bx cx 0 (*); vôùi n 0;1;2;
+ +
+ + = =
trong đó a
≠
0; b, c là hằng số.
Nghiệm tổng quát:
• Nếu c = 0 thì phương trình (*) có dạng:
n 2 n 1 n 2 n 1 n 1
b
ax bx 0 x x x
a
+ + + + +
+ = ⇔ = − = λ
có nghiệm tổng quát
n

n+1 1
x = xλ
.
• Nếu phương trình (*) có phương trình đặc trưng là
2
a + b + c = 0λ λ
có hai nghiệm
1 2
,λ λ
thì việc tìm nghiệm dựa
vào các mệnh đề sau:
Mệnh đề 1: Giả sử hai nghiệm của phương trình đặc trưng là phân biệt (
1 2
λ ≠λ
) khi ấy phương trình (*) có nghiệm
tổng quát là:
n n
n 1 1 2 2
x = C + Cλ λ
trong đó C
1
, C
2
là những số bất kỳ gọi là hằng số tự do và được xác định theo điều kiện
ban đầu x
0
, x
1
.
Ví dụ 1: Tìm nghiệm của phương trình sai phân:

0 1 n 2 n 1 n
u 7;u 6;u 3u 28u
+ +
= = − = +
.
Giải
Phương trình đặc trưng
2
-3 28 = 0λ λ −
có hai nghiệm
1 2
4; 7λ = − λ =
. Vậy nghiệm tổng quát có dạng:
n n
n 1 2
u = C (-4) +C 7
.
Với n = 0 ta có:
1 2 0
C + C 7( x )= =
Với n = 1 ta có:
1 2 1
-4.C +7C 6( x )= − =
Giải hệ
1 2
1 2
C + C 7
-4.C + 7C 6
=



= −

=>
1
2
C 5
C 2
=


=

Vậy nghiệm tổng quát phương trình có dạng:
n n
n
u = 5.(-4) +2.7
Mệnh đề 2: Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép
1 2
b
a
λ =λ = −
thì nghiệm tổng quát của phương trình (*) có
dạng:
( )
=
n n n
n 1 1 2 1 1 2 1
x = C + C n C + C nλ λ λ
trong đó C

1
, C
2
là hằng số tự do và được xác định theo điều kiện ban đầu x
0
,
x
1
.
Ví dụ 2: Tìm nghiệm phương trình sai phân:
0 1 n 2 n 1 n
u 1;u 2;u 10u 25u
+ +
= − = = −
.
Giải
Phương trình đặc trưng
2
-10 25 = 0λ λ +
có hai nghiệm
1 2
5λ =λ =
. Vậy nghiệm tổng quát có dạng:
n
n 1 2
u = (C + C n)5
.
Với n = 0 ta có:
1
C 1= −

Với n = 1 ta có:
1 2 2
7
(C + C ).5 2 C
5
= => =
Vậy nghiệm tổng quát phương trình có dạng:
n
n
7
u = (-1+ n)5
5
Mệnh đề 3: Nếu phương trình đặc trưng không có nghiệm thực thì nghiệm tổng quát của phương trình (*) có dạng:
( )
n
1 2
r C cosn C sinnϕ+ ϕ
n
x =
trong đó
2 2
B
r A B ; arctg ;
A
= + ϕ =

b
A ;B
2a 2a
∆

= − =
; C
1
, C
2
là hằng số tự do xác
định theo điều kiện ban đầu x
0
, x
1.
Ví dụ 3: Tìm nghiệm của phương trình sai phân:
0 1 n 2 n 1 n
1
u 1;u ;u u u
2
+ +
= = = −
Giải
Phương trình đặc trưng
2
- 1= 0λ λ +
có hai nghiệm phức
1,2
1 i 3
2
±
λ =
.
Ta có:
1 3

A ;B ;r 1;
2 2 3
π
= = = ϕ =
Vậy nghiệm tổng quát có dạng:
n 1 2
n n
u = C cos C sin
3 3
π π
+
.
Với
0 1
1
u 1;u
2
= =
thì C
1
= 1 và
1 2
1
C cos C sin
3 3 2
π π
+ =
=> C
2
= 0.

Vậy nghiệm tổng quát có dạng:
n
n
u = cos
3
π
.
Bài tập
Tìm nghiệm u
n
của các phương trình sau:
a.
0 1 n 2 n n 1
u 8;u 3;u 12u u
+ +
= = = −
b.
0 1 n 2 n 1 n
u 2;u 8;u 8u 9u 0
+ +
= = − + − =
c.
0 1 n 2 n 1 n
u 1;u 16;u 8u 16u 0
+ +
= = − + =
7.2. Phương trình sai phân phi tuyến bậc 2:
7.2.1. Mở đầu:
Dạng tổng quát: F(x
n+2

, x
n+1
, x
n
) = 0; n = 0; 1; 2; ….
Dạng chính tắc: x
n+2
=f( x
n+1
, x
n
) ; n = 0; 1; 2; ….
Ví dụ: Tính giá trị dãy:
2 2
0 1 n 1 n n 1
u u 1;u u u ; n 2
+ −
= = = + ∀ ≥
7.2.2. Phương pháp tuyến tính hóa:
7.2.2.1. Phương pháp biểu diễn nghiệm dưới dạng tuyến tính:
Ví dụ 1: Cho dãy
2
n 1
0 1 n
n 2
u 2
u u 1;u ; n 3
u
−
−

+
= = = ∀ ≥
. Tìm dạng tuyến tính của dãy đã cho?
Giải
Gọi số hạng tổng quát của dãy có dạng:
n n 1 n 2
u au bu c
− −
= + +
(*)
Cho n = 1; 2; 3 ta được
3 4 5
u 3;u 11;u 41= = =
Thay vào (*) ta được hệ:
a b c 3
3a b c 11
11a 3b c 41
+ + =


+ + =


+ + =

=>
a 4
b 1
c 0
=



= −


=

Vậy
n n 1 n 2
u 4u u
− −
= −
Chú ý: Ta có thể dùng phương pháp qui nạp để chứng minh công thức trên.
7.2.2.2. Phương pháp đặt ẩn phụ:
Ví dụ 2: Cho dãy
n 1 n 2
0 1 n
n 2 n 1
u u1 1
u ;u ;u ; n 2
2 3 3u 2u
− −
− −
= = = ∀ ≥
−
. Tìm công thức tổng quát của dãy.
Giải
Ta thấy
n
u 0≠

(với mọi n) vì nếu u
n
= 0 thì u
n-1
= 0 hoặc u
n-2
= 0 do đó u
2
= 0 hoặc u
1
= 0. Vô lí.
Đặt
n
n
1
v
u
=
khi ấy
n n 1 n 2
v 3v 2v
− −
= −
có phương trình đặc trưng
2
3 2 0λ − λ + =
có nghiệm
1 2
1; 2λ = λ =
.

Công thức nghiệm tổng quát:
n
n 1 2
v C C .2= +
. Với n = 0; 1 ta có:
1 2
1
C 1;C
2
= =
.
Vậy
n 1
n
v 1 2
−
= +
hay
n
n 1
1
u
1 2
−
=
+
7.2.2.3. Phương pháp biến đổi tương đương:
Ví dụ 3: Cho dãy
2
0 1 n 1 n n

u 2;u 6 33;u 3u 8u 1; n 2
+
= = + − = + ∀ ≥
. Tìm công thức tổng quát của dãy.
Giải
Bình phương hai vế phương trình đã cho ta có:
2 2
n 1 n 1 n n
u 6u .u u 1
+ +
− + =
.
Thay n + 1 bởi n ta được:
2 2
n n n 1 n 4
u 6u .u u 1
− −
− + =
.
Trừ từng vế của hai phương trình trên ta được:
( ) ( )
n 1 n 1 n 1 n n 1
u u u 6u u 0
+ − + −
− − + =
Do
2
n 1 n n
u 3u 8u 1
+

− = +
nên
n 1 n n 1 n 1
u 3u 9u u
+ − −
> > >
Suy ra
n 1 n n 1
u 6u u 0
+ −
− + =
có phương trình đặc trưng
2
6 1 0λ − λ + =
có nghiệm
1,2
3 8λ = ±
Công thức nghiệm tổng quát
( ) ( )
n n
n 1 2
u C 3 8 C 3 8= + + −
Từ các giá trị ban đầu suy ra:
1,2
8 66
C
8
±
=
Vậy số hạng tổng quát:

( ) ( ) ( ) ( )
n n
n
8 66 3 8 8 66 3 8
u
8
+ + + − −
=
Bài tập
Bài 1: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sau:
2
0 n 1 n n
u 0;u 5u 24u 1
+
= = + +
Bài 2: Xác định số hạng tổng quát của dãy số:
n
1 n 1
2
n
u
u 1;u
2 3 u
+
= =
+ +
7.3. Một số dạng toán thường gặp:
7.3.1. Lập công thức truy hồi từ công thức tổng quát:
Ví dụ 1: (Thi khu vực 2005) Cho dãy số
( ) ( )

+ − −
=
n n
n
3 2 3 2
u
2 2
. Lập công thức truy hồi để tính
+n 2
u
theo
n 1
u
+
,
n
u
.
Giải
 Cách 1:
Giả sử
n 2 n 1 n
u au bu c
+ +
= + +
(*).
Với n = 0, 1, 2, 3 ta tính được
0 1 2 3 4
u 0;u 1;u 6;u 29;u 132= = = = =
.

Thay vào (*) ta được hệ phương trình :
a c 6
6a b c 29
29a 6b c 132
+ =


+ + =


+ + =

=>
a 6
b 7
c 0
=


= −


=

Vậy
n 2 n 1 n
u 6u 7u
+ +
= −
Chú ý: Với bài trên ta có thể giả sử

n 2 n 1 n
u au bu
+ +
= +
thì bài toán sẽ giải nhanh hơn.
 Cách 2:
Đặt
1 2
3 2; 3 2λ = + λ = −
khi ấy
1 2 1 2
6vaø . 7λ + λ = λ λ =
chứng tỏ
1 2
,λ λ
là nghiệm của phương trình đặc trưng
2 2
6 7 0 6 7λ − λ + = ⇔ λ = λ −
do đó ta có:
2
1 1
6 7λ = λ −
và
2
2 2
6 7λ = λ −
Suy ra:
n 2 n 1 n
1 1 1
6 7

+ +
λ = λ − λ
n 2 n 1 n
2 2 2
6 7
+ +
λ = λ − λ
Vậy
( ) ( )
n 2 n 2 n 1 n n 1 n n 1 n 1 n n
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
(6 7 ) (6 7 ) 6 7
+ + + + + +
λ −λ = λ − λ − λ − λ = λ −λ − λ − λ
hay
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n 2 n 2 n 1 n 1 n n
3 2 3 2 6 3 2 3 2 7 3 2 3 2
+ + + +
   
+ − − = + − − − + − −
   
   
⇔
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n 2 n 2 n 1 n 1 n n
3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2
6 7
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
+ + + +

   
+ − + − + −
   
− = − − −
   
   
   
tức là
n 2 n 1 n
u 6u 7u
+ +
= −
.
7.3.2. Tìm công thức tổng quát từ công thức truy hồi:
Ví dụ 2: (Thi khu vực 2002) Cho dãy số
0 1 n 1 n n 1
u 2;u 10vaø u 10u u
+ −
= = = −
(*). Tìm công thức tổng quát u
n
của dãy?
Giải
Phương trình đặc trưng của phương trình (*) là:
2
10 1 0λ − λ + =
có hai nghiệm
1,2
5 2 6λ = ±
Vậy

( ) ( )
n n
n n
n 1 1 2 2 1 2
u C C C 5 2 6 C 5 2 6= λ + λ = + + −
Với n = 0; 1 ta có hệ phương trình sau:
( ) ( )
1 2
1 2
C C 2
5 2 6 C 5 2 6 C 10
+ =



+ + + =


=>
1
2
C 1
C 1
=


=

Vậy số hạng tổng quát
( ) ( )

n n
n
u 5 2 6 5 2 6= + + −
.
7.3.3. Tính số hạng thứ n của dãy khi biết công thức truy hồi:
Các giải: Nếu lặp theo công thức truy hồi mà số lần lặp quá nhiều sẽ dẫn đến thao tác sai, do đó ta sẽ đi tìm công thức
tổng quát cho số hạng u
n
theo n sau đó thực hiện tính.
Ví dụ 3: Cho dãy số
0 1 n 1 n n 1
u 2;u 10vaø u 10u u
+ −
= = = −
. Tính số hạng thứ u
100
?
Giải
 Cách 1:
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím:
2 SHIFT STO A

10 SHIFT STO B
Lặp lại các phím:
ALPHA B ALPHA A SHIFT STO A−10


ALPHA A ALPHA B SHIFT STO B−10

Bây giờ muốn tính u
100
ta
∆
=
96 lần.
 Cách 2:
Tìm công thức tổng quát
( ) ( )
n n
n
u 5 2 6 5 2 6= + + −
.
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
( 5 2 6 ) 100 ( 5 2 6 ) 100+ + − =
$ $
Nhận xét: Như vậy cách 2 sẽ nhanh và chính xác hơn nhiều so với cách 1 nhưng sẽ mất thời gian để tìm ra công thức
tổng quát. Do đó nếu số hạng cần tính là nhỏ thì ta dùng cách 1, còn lớn ta sẽ dùng cách 2.