ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015 2016 Môn: Toán (Chuyên Tin)

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn: Toán (Chuyên Tin)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1(2,0 điểm).
Cho biểu thức:
2x
: 1
1
1 1
x y x y
x y y
P
xy
xy xy
 
+ −
 
+ +
= + +
 ÷
 ÷
 ÷
−
− +
 
 

(với
0, 0, 1x y xy≥ ≥ ≠
) .

a) Rút gọn biểu thức
P
.
b) So sánh
P
và
P
.
Câu 2 (2,0 điểm).
a) Giải hệ phương trình:
2 2
2 2 0
2 2 1 4 0
x y xy x y
x y





− + + + =
− − + =
b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P):
2
y x=
và đường thẳng (d) có
phương trình
y x m= +
. Gọi M, N lần lượt là giao điểm của (d) và các trục Ox, Oy.
Tìm

m
để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích
tam giác OAB bằng diện tích tam giác OMN.
Câu 3 (1,0 điểm).
Tìm tất cả các cặp số nguyên
( ; )x y
thoả mãn:
2 3 2 3
6 3 10 2x y x y+ − =−
.
Câu 4 (4,0 điểm).
Cho nửa đường tròn
( )
O;R
, đường kính
AD
cố định. Vẽ tứ giác
ABCD
nội tiếp
nửa đường tròn
( )
;O R
. Gọi
I
là giao điểm của
AC
và
BD
;
K

là hình chiếu của
I
trên
AD
.
a) Chứng minh
I
là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
BCK
.
b) Gọi
F
là giao điểm của
CK
và
BD
. Chứng minh:
. .BI DF BD IF=
.
c) Gọi
E
là trung điểm của
ID
. Chứng minh:
2
.ED EB EF=
.
d) Tính
·
BCD

biết chu vi tam giác ABD lớn nhất.
Câu 5 (1,0 điểm).
Cho các số thực dương
, ,a b c
thỏa mãn
a 3b c+ + =
. Chứng minh :
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1 3
4
a b b c c a
+ + ≥
+ + +
.
HẾT
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Giám thị 1: Giám thị 2:
UBND TỈNH HÀ NAM
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN
CHẤM TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn: Toán (Chuyên Tin)
( Hướng dẫn chấm này gồm 4 trang )
Câu Nội dung Điểm
Câu 1
a)
1,25

điểm
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1
1 2
:
1
1 1
x y xy xy x y
xy x y xy
P
xy
xy xy
 
+ + + − −
− + + +
 ÷
=
 ÷
−
− +
 
0,5
2 2 1
.
1 1
x y x xy
xy x y xy
+ −
=

− + + +
0,5
( )
( ) ( )
2 1
2
1 1 1
x y
x
x y x
+
= =
+ + +
0,25
b)
0,75
điểm
Ta có :
0 0P x≥ ∀ ≥
0,25
Lại có
1 2x x+ ≥
với
0x ≥
nên
2 2
1
1
2
x x

P
x
x
= ≤ =
+
0,25
Vậy
0 1P P P≤ ≤ ⇒ ≤
. 0,25
Câu 2
a)
1,0
điểm
ĐK :
1
0;
2
x y≥ ≥
Phương trình thứ nhất tương đương với
( 2 )( 1) 0x y x y+ − + =


2 ( )
1
x y l
x y
= −

⇒


= −

0,25
Với
1x y= −
Thế vào phương trình thứ hai ta được
2
1 2 2 1 4 0
8 1 7 19
19
7
49 330 425 0
y y
y y
y
y y
− − − + =
⇔ − = −

≥

⇔


− + =

0,25
19
7
5

85
( )
49
y
y
y l

≥


⇔
=






=


0,25
Với
5y =
thì
4x =
.
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
( ) ( )
; 4;5x y =

0,25
b)
Phương trình hoành độ giao điểm
2
0 (1)x x m− − =
0,25
2
1,0
điểm
Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B thì (1) có hai nghiệm phân biệt
x
1
, x
2
. Điều kiện là
1
1 4 0
4
m m∆ = + > ⇔ > −
Gọi
( ) ( )
1 1 2 2
; , ;A x x m B x x m+ +
Theo Vi-ét :
1 2 1 2
1;x x x x m+ = = −
(d) cắt Ox tại M(-m;0), (d) cắt Oy tại N(0;m) với m
≠
0.
0,25

Diện tích tam giác OAB bằng diện tích tam giác OMN khi và chỉ khi
2 2 2 2
2 1
2 2
1 2 1 2
2
2( ) 2
( ) 4
4 1 0
AB MN AB MN x x m
x x x x m
m m
= ⇔ = ⇔ − =
⇔ + − =
⇔ − − =
0,25
2 5m⇔ = ±
( thoả mãn) 0,25
Câu 3
1,0
điểm
2 3 2 3
3 2 2
2 3
6 3 10 2
2 (3 5) (3 5) 7
(3 5)(2 1) 7
x y x y
y x x
x y

+ − = −
⇔ − + − = −
⇔ − + = −
0,25
2 2 2 2
3 3 3 3
3 5 1 3 5 1 3 5 7 3 5 7
; ; ;
2 1 7 2 1 7 2 1 1 2 1 1
x x x x
y y y y
   
− = − = − − = − = −
   
⇔
   
+ = − + = + = − + =
   
   
0,25
2
3
4 2
1
1
x x
y
y

= = ±



⇔
 
= −
= −



0,25
Vậy
( ) ( ) ( )
{ }
; 2; 1 ; 2; 1x y ∈ − − −
. 0,25
Câu 4
a)
1,0
điểm
Ta có
·
0
90ABD =
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

·
0
90AKI =
(gt)
Suy ra tứ giác ABIK nội tiếp

·
·
IBK CAD⇒ =

0,25
Lại có
·
·
IBC CAD=
(cùng chắn
»
CD
)
Suy ra
·
·
IBK IBC=

⇒
BI là phân giác góc
·
CBK
0,25
Chứng minh tương tự có
CI
là phân giác
·
BCK
0,25
Vậy I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCK. 0,25

b) Ta có CI là đường phân giác trong của tam giác của tam giác BCF, suy ra : 0,25
3
A
K
E
F
I
B
C
D
.
O
1,0
điểm
BI CB
IF CF
=
(1) ( t/c đường phân giác của tam giác)
Lại có
·
0
90ACD CD CI= ⇒ ⊥ ⇒
CD là phân giác ngoài của tam giác
BCF
0,25
suy ra :
( )
2
BD CB
DF CF

=
( t/c đường phân giác của tam giác) 0,25
Từ (1) và (2), có :
. .
BI BD
BI DF BD IF
IF DF
= ⇔ =
0,25
c)
1,0
điểm
Ta có KE là trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác tam giác IKD
/ 2KE ED ID⇒ = =
⇒
tam giác KED cân tại E
·
·
2BEK BDA⇒ =
( t/c góc ngoài của tam giác)
Mà
·
·
BDA BCA=
(2 góc nội tiếp cùng chắn
»
AB
)
Suy ra
·

·
( )
2 3BEK BCA=
0,25
Mặt khác CI là phân giác
·
BCK
( chứng minh trên)
·
·
( )
2 4BCK BCA⇒ =
Từ (3) và (4) suy ra
·
·
BEK BCK=
, suy ra tứ giác BCEK nội tiếp.
0,25
Suy ra
·
·
·
EKC EBC EBK= =
EKF⇒ ∆
đồng dạng
EBK
∆
.
2
.EK EB EF⇒ =

0,25
Mà
EK ED=
( chứng minh trên)
Suy ra :
2
.ED EB EF=
0,25
d)
1,0
điểm
Chu vi tam giác ABD lớn nhất
2AB BD AD AB BD R⇔ + + = + +
lớn nhất

AB BD
⇔ +
lớn nhất
0,25
Ta có :
( )
( )
2
2 2 2 2
2 2 8AB BD AB BD AD R+ ≤ + = =

2 2AB BD R⇒ + ≤
( dấu "="xảy ra khi
2AB BD R= =
)

0,25
Như vậy chu vi tam giác ABD lớn nhất là
(2 2 2)R+
khi AB =BD tức tam
giác ABD vuông cân tại B
0,25
Khi đó
·
·
0 0
45 135BAD BCD= ⇔ =
( vì tứ giác ABCD nội tiếp )
0,25
Câu 5
1,0
điểm
Chứng minh
2 2 2 2
1
( ) , , 0
3
x y z x y z x y z+ + ≥ + + ∀ >
Dấu ‘=’ xảy ra khi
x y z= =
0,25
Ta có:
2
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1
( ) ( ) ( ) 3

1 9 3
3 4
a b b c c a a b b c c a
a b b c c a
 
+ + ≥ + +
 ÷
+ + + + + +
 
 
≥ =
 ÷
+ + + + +
 
0,25
4
Vì
1 1 1 9
, , 0x y z
x y z x y z
+ + ≥ ∀ >
+ +
0,25
Vậy

2 2 2
1 1 1 3
( ) ( ) ( ) 4a b b c c a
+ + ≥
+ + +

Dấu “=”
1a b c⇔ = = =
0,25
Chú ý: Mọi cách làm khác mà đúng đều cho điểm tương đương.
HẾT
5