Đề thi và Đáp án môn Toán vào lớp 10 nghệ An năm 2012-2013

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 1 THPT
NĂM HỌC 2012 – 2013
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài : 120 phút
Câu 1 (2,5 điểm)
Cho biểu thức A =
1 1 x 2
.
x 2 x 2 x
−
 
+
 ÷
+ −
 
a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A.
b) Tim tất cả các giá trị của x để A
1
2
>
.
c) Tim tất cả các giá trị của x để
7
B A
3
=
là một số nguyên.
Câu 2 (1,5 điểm)
Trên quãng đường AB dài 156 km, một người đi xe máy từ A và một người đi xe
đạp từ B. hai xe xuất phát cùng một lúc và sau 3 giờ thì gặp nhau. Biết rằng vận tốc xe
máy lớn hơn vận tốc xe đạp là 28 km/h. Tính vận tốc của mỗi xe.

Câu 3 (2,0 điểm)
Cho phương trình: x
2
– 2(m -1)x + m
2
-6 = 0, m là tham số.
a) Giải phương trình với m = 3.
b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn:

2 2
1 2
x x 16+ =
Câu 4 (4,0 điểm)
Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O). Vẽ các tiếp tuyến MA, MB ( A, B là các
tiếp điểm) và cát tuyến ACD không đi qua O ( C nằm giữa M và D) với đường tròn
(O). Đoạn thẳng MO cắt AB và (O) theo thứ tự tại H và I.
Chứng minh rằng:
a) Tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn.
b) MC.MD=MA
2
.
c) OH.OM+MC.MD=MO
2
.
d) CI là phân giác của
·

MCH
.
Hết
Họ và tên thí sinh :…………………………………………Số báo danh…………
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐÁP ÁN
Câu Nội dung
1
a
ĐKXĐ:
x 0, x 4> ≠
A =
( ) ( )
1 1 x 2 x 2 x 2 x 2
. .
x 2 x 2 x x
x 2 x 2
− − + + −
 
+ =
 ÷
+ −
 
+ −
( )
2 x 2
x 2
x x 2
= =
+

+
b
1 2 1
A 4 x 2 x 2 x 4
2 2
x 2
> ⇒ > ⇔ > + ⇔ < ⇔ <
+
Kết hợp với ĐKXĐ ta có
0 x 4< <
c
7 7 2 14
B .A
3 3
x 2 3 x 6
= = =
+ +
Để B là một số nguyên thì
3 x 6+ ∈
Ư
(14)
. Do
3 x 6 0+ >
Ta có bảng giá trị
3 x 6+
1 2 7 14
x Loại Loại
1
9
64

9
Vậy
1 64
x ;
9 9
 
∈
 
 
thì B là một số nguyên.
2
Gọi x (km/h) là vận tốc của người đi xe máy ( x > 0)
Vận tốc của người đi xe đạp là y (km/h) (y > 0)
Ta có pt: x – y = 28 (1)
Quãng đường người đi xe máy trong 3 giờ là 3x (km)
Quảng đường người đi xe đạp trong 3 giờ là 3y (km)
Do hai xe đi ngược chiều và gặp nhau sau 3 giờ nên ta có phương trình:
3x+ 3y = 156 (2)
x – y 28
3x 3y 156
=


+ =

<=>
40
12
x
y

=


=

(T/M)
Vậy vận tốc của người đi xe máy là 40 km/h
vận tốc của người đi xe đạp là 12 km/h
3
a
Khi m=3 ta có phương trình
2
x 4x 3 0− + =
Do a+b+c=1+(-4)+3=0, suy ra
1 2
x 1, x 3= =
Vậy với m=3 phương trình có hai nghiệm
1 2
x 1, x 3= =
b
Để phương trình có hai nghiệm
[ ]
2
' 2
0 (m 1) (m 6) 0⇔ ∆ ≥ ⇔ − − − − ≥
2 2
7
m 2m 1 m 6 0 2m 7 0 m
2
⇔ − + − + ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ ≤

Theo hệ thứ Vi-ét ta có
2
1 2 1 2
x x 2m 2, x .x m 6+ = − = −
Từ hệ thức
( )
( )
2
2
2 2 2
1 2 1 2 1 2
x x 16 x x 2x x 16 2m 2 2(m 6) 16+ = ⇔ + − = ⇔ − − − =
2 2 2
4m 8m 4 2m 12 16 2m 8m 0 2m(m 4) 0⇔ − + − + = ⇔ − = ⇔ − =
m 0
m 4 (loai)
=

⇔

=


Vậy m=0 thì phương trình trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn:
2 2
1 2

x x 16+ =
4
Vẽ hình đúng, đẹp
a
Xét tứ giác MAOB ta có
·
·
0
MAO MBO 90= =
( t/c tiếp tuyến)
·
·
0 0 0
MAO MBO 90 90 180⇒ = = + =
Vậy tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn
b
Xét
MAC∆
và
MDA∆
có
µ
M
chung,
·
·
MAC MDA=
( cùng chắn
»
AC

)
Do đó
MAC∆
đồng dạng với
MDA∆
Suy ra
2
MA MC
MA MC.MD
MD MA
= ⇒ =
c
Xét
MAO
∆
vuông tại A, có AH đường cao, ta có
2
OH.OM AO=
Suy ra
2 2
OH.OM MC.MD AO MA+ = +
(1)
Xét
MAO
∆
theo Pitago ta có
2 2 2
AO MA MO+ =
(2)
Từ (1) và (2) suy ra

2
OH.OM MC.MD MO+ =
d
Xét
MAO∆
vuông tại A, có AH đường cao, ta có
2
MH.MO MA=
Suy ra
2
MC MO
MC.MD MH.MO MA
MH MM
= = ⇒ =
Xét
MCH∆
và
MOD∆
có
MC MO
MH MM
=
,
µ
M
chung
Do đó
MCH
∆

MOD
∆
(c.g.c)
·
·
MCH MOD⇒ =
Xét tứ giác CDOH có
·
·
MCH MOD=
(cmt)
suy ra tứ giác CDOH nội tiếp
·
·
DCH DOK⇒ =
( cùng bù
·
HOD
) (1)
Mặt khác
·
·
1 1
DCK DOK
2 2
= =
sđ
»
DK
(2)

Từ (1) và (2) suy ra
·
·
1
DCK DCH
2
=

⇒
CK phân giác
·
DCH
(3)
Mà
·
0
ICK 90=
( góc nội tiếp chắn nữa đường tròn) (4)
Từ (3) và (4) suy ra CI là phân giác của
·
MCH
.
K
I
H
O
D
C
M
B

A