De thi va Dap an HSG mon Toan 5

Họ và tên: Phan Duy Nghĩa
Phó Hiệu Trởng Trờng Tiểu học Sơn Long,
Hơng Sơn, Hà Tĩnh.



Một phơng pháp giải toán
Khi giải toán ở tiểu học hay ở các cấp học khác, ta bắt gặp không ít các bài toán
có những đặc điểm, tính chất không thay đổi khi thay đổi các đại lợng nào đó, mà ta
gọi là tính bất biến. Đôi khi có thể tìm ra lời giải cho một bài toán nhờ khai thác đợc
tính bất biến này. Chúng ta cùng tìm hiểu qua các bài toán sau:
Bài toán 1 : Toán có 3 tờ giấy màu. Toán lấy mỗi tờ cắt thành 4 mảnh nhỏ hoặc
10 mảnh nhỏ rồi lại lấy mỗi mảnh nhỏ cắt tiếp thành 4 mảnh nhỏ hoặc 10 mảnh nhỏ
hơn và cứ tiếp tục nh thế. Cuối cùng Toán đếm lại thì thấy có tất cả 2008 mảnh giấy
to nhỏ khác nhau. Hỏi Toán đếm đúng hay sai ?
Phân tích : Sau mỗi lần cắt một mảnh giấy thành 4 mảnh hoặc 10 mảnh thì số
mảnh giấy tăng lên là 3 hoặc 9. Nh vậy tính bất biến của bài toán là "số mảnh giấy
tăng thêm luôn là một số chia hết cho 3".
Bài giải : Mỗi lần cắt tờ giấy hay mảnh giấy thì số mảnh tăng lên là 3 hoặc 9. Do
đó dù cắt bao nhiêu lần thì số mảnh tăng thêm luôn là một số chia hết cho 3. Mà ban
đầu Toán có 3 mảnh cũng là số chia hết cho 3 nên tổng số mảnh thu đợc sau một số
lần cắt phải là một số chia hết cho 3. Số 2008 là số không chia hết cho 3. Vậy Toán
đã đếm sai.
Bài toán 2 : Cho 10 chữ số đợc xếp theo thứ tự nh sau: 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0.
Hãy đặt các dấu (+) vào các vị trí thích hợp giữa các chữ số sao cho đợc tổng có giá
trị bằng 108.
Phân tích : Tính bất biến của bài toán là: nếu bỏ đi một dấu cộng nào đó thì tổng
tăng thêm số đơn vị bằng 9 lần số đứng liền trớc dấu cộng vừa bỏ.
Chẳng hạn: 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 10 = 45 + 9 x 1.
Bài giải : Nếu đặt đủ 9 dấu (+) vào giữa 10 chữ số đã cho thì đợc tổng là:
9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 45. Vì 45 < 108 nên trong tổng phải có ít nhất

1 số có 2 chữ số, do đó phải bỏ đi một số dấu cộng. Ta nhận thấy nếu bỏ đi một dấu
(+) nào đó thì tổng tăng thêm số đơn vị bằng 9 lần số đứng liền trớc dấu (+) vừa bỏ.
Mà: 108 - 45 = 63 = 9x7 = 9x(6+1) = 9x(5+2) nên ta có 3 cách điền nh sau:
Cách 1. Bỏ dấu (+) trớc chữ số 6 ta có: 9 + 8 + 76 +5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 108.
Cách 2. Bỏ dấu (+) trớc chữ số 5 và trớc chữ số 0 ta có:
9 + 8 + 7 + 65 + 4 + 3 + 2 + 10 = 108.
Cách 3. Bỏ dấu (+) trớc chữ số 4 và chữ số 1 ta có:
9 + 8 + 7 + 6 + 54 +3 + 21 + 0 = 108.

1

Bài toán 3 : Điền dấu + và dấu - vào các sau đây để đợc phép tính đúng:

9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 33
Phân tích : Tính bất biến của bài toán là: mỗi lần thay một dấu "+" bởi một
dấu "-" thì kết quả dãy tính trên sẽ giảm đi số đơn vị bằng 2 lần số đứng liền sau dấu
trừ. Chẳng hạn: 9 + 8 + 7 + 6 - 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45 - 2 x 5.
Bài giải : Giả sử ta điền tất cả các dấu + vào các ô trống, thì đợc tổng của vế trái
là: 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45.
Vì 45 > 33 nên không thể điền toàn dấu (+) mà phải thay một số dấu (+) bởi một số
dấu (-) sao cho kết quả dãy tính giảm đi: 45 - 33 = 12.
Ta nhận thấy mỗi lần thay một dấu "+" bởi một dấu "-" thì kết quả dãy tính trên sẽ
giảm đi số đơn vị bằng 2 lần số đứng liền sau dấu trừ. Vậy tổng tất cả các số đứng
liền sau dấu trừ là: 12 : 2 = 6.
Vì 6 = 5 + 1 = 4 + 2 nên ta có 3 cách điền nh sau:
* 9 + 8 + 7 - 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 33
* 9 + 8 + 7 + 6 - 5 + 4 + 3 + 2 - 1 = 33
* 9 + 8 + 7 + 6 + 5 - 4 +3 - 2 + 1 = 33
Bài toán 4 : Trên bảng viết 100 dấu cộng và 101 dấu trừ. Mỗi lần xoá đi 2 dấu bất
kỳ và viết lại 2 dấu khác theo quy tắc: nếu xoá dấu cộng thì viết lại dấu trừ và ngợc

lại. Hỏi rằng nếu làm nh trên nhiều lần thì trên bảng có thể có 101 dấu cộng và 100
dấu trừ hay không?
Phân tích : Khi xoá đi 2 dấu bất kỳ và viết lại 2 dấu khác theo quy tắc nếu xoá
dấu cộng thì viết lại dấu trừ và ngợc lại thì có 3 khả năng xẩy ra:
- Nếu xoá đi 2 dấu cộng thì viết lại 2 dấu trừ, do đó số dấu cộng giảm đi 2 dấu.
- Nếu xoá đi 2 dấu trừ thì viết lại 2 dấu cộng, do đó số dấu cộng tăng lên 2 dấu.
- Nếu xoá đi 1 dấu cộng và 1 dấu trừ thì viết lại 1 dấu trừ và 1 dấu cộng, do đó số dấu
cộng không đổi. Nh vậy, tính bất biến là: mỗi lần xoá đi 2 dấu bất kỳ và viết lại 2 dấu
khác theo quy tắc nếu xoá dấu cộng thì viết lại dấu trừ và ngợc thì số lợng dấu cộng
hoặc tăng lên 2 dấu, hoặc giảm đi 2 dấu, hoặc không đổi.
Bài giải : Nếu xoá đi 2 dấu cộng thì viết lại 2 dấu trừ, do đó số dấu cộng giảm đi 2
dấu. Nếu xoá đi 2 dấu trừ thì viết lại 2 dấu cộng, do đó số dấu cộng tăng lên 2 dấu.
Nếu xoá đi 1 dấu cộng và 1 dấu trừ thì viết lại 1 dấu trừ và 1 dấu cộng, do đó số dấu
cộng không đổi. Nh vậy, mỗi lần xoá đi 2 dấu bất kỳ và viết lại 2 dấu khác theo quy
tắc nếu xoá dấu cộng thì viết lại dấu trừ và ngợc thì số lợng dấu cộng hoặc tăng lên 2
dấu, hoặc giảm đi 2 dấu, hoặc không đổi.
Lúc đầu trên bảng có 100 dấu cộng (là số chẵn) nên nếu làm nh trên nhiều lần thì số
dấu cộng trên bảng vẫn luôn là một số chẵn. Mà 101 là số lẻ, vậy trên bảng không thể
có 101 dấu cộng và 100 dấu trừ đợc.
Bây giờ các bạn hãy thử sức mình giải bài toán sau nhé.


2
Bài toán. Trên bảng viết 100 dấu cộng và 101 dấu trừ. Với 200 lần thực hiện, mỗi
lần xoá đi 2 dấu bất kì rồi lại thêm vào một dấu (cộng hoặc trừ) để cuối cùng trên
bảng chỉ còn lại 1 dấu duy nhất. Biết rằng dấu đợc thêm vào sẽ là dấu trừ nếu trớc đó
đã xoá đi 2 dấu khác nhau, ngợc lại dấu đợc thêm vào sẽ là dấu cộng. Hỏi dấu còn lại
trên bảng là dấu gì ?
_________________________________________________
Đáp án

Ta thấy, nếu xoá đi hai dấu cộng thì phải thêm vào một dấu cộng, vì vậy số dấu
trừ trên bảng không thay đổi.
Nếu xoá đi 2 dấu trừ thì phải thêm vào 1 dấu cộng, vì vậy số dấu trừ giảm đi 2.
Nếu xoá đi 1 dấu cộng và 1 dấu trừ thì phải thêm vào 1 dấu trừ, vì vậy số dấu trừ
trên bảng không thay đổi.
Nh vậy, tính bất biến là: sau mỗi lần thực hiện việc xoá và thêm dấu, số dấu trừ trên
bảng hoặc không thay đổi hoặc giảm đi 2.
Mặt khác, số dấu trừ ban đầu là số lẻ (101 dấu) nên sau mỗi lần thực hiện thì số dấu
trừ còn lại trên bảng bao giờ cũng là số lẻ.
Sau 200 lần thực hiện, trên bảng chỉ còn lại 1 dấu duy nhất mà dấu trừ không thể
mất hết nên dấu còn lại trên bảng phải là dấu trừ.
Bài toán : Cho 10 chữ số đợc xếp theo thứ tự nh sau: 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0.
Hãy đặt các dấu (+) vào các vị trí thích hợp giữa các chữ số sao cho đợc tổng có giá
trị bằng 100.
Bài giải : Giả sử ta điền tất cả các dấu cộng vào giữa 10 chữ số đã cho thì đợc tổng
là: 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 45.
Vì 45 < 100 nên trong tổng phải có ít nhất 1 số có 2 chữ số, do đó phải bỏ đi một số
dấu cộng. Ta nhận thấy nếu bỏ đi một dấu (+) nào đó thì tổng tăng thêm số đơn vị
bằng 9 lần số đứng liền trớc dấu (+) vừa bỏ (tức là tăng thêm một số chia hết cho 9).
Chẳng hạn: 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 10 = 45 + 9 x 1.
Ta thấy 45 là số chia hết cho 9. Mà mỗi lần bỏ đi một dấu cộng thì tổng tăng thêm
một số đơn vị chia hết cho 9. Nên tổng thu đợc luôn luôn là một số chia hết cho 9.
Tuy nhiên 100 lại là số không chia hết cho 9. Vì vậy không thể đặt các dấu (+) vào
các vị trí thích hợp giữa các chữ số để đợc tổng có giá trị bằng 100 đợc.

_____________________________________________
3