ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI môn toán CẤP HUYỆN LỤC YÊN

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO LỤC YÊN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học: 2008 – 2009
MÔN THI: TOÁN
(Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (4 điểm)
Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện:
2 2 2
a b c 2 (1)
a b c 2 (2)
+ + =


+ + =

Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 2
2 2 2
(1 b )(1 c ) (1 a )(1 c ) (1 a )(1 b )
a b c 2
1 a 1 b 1 c
+ + + + + +
+ + =
+ + +
Bài 2 (4 điểm)
Giải các phương trình:
a)
2
x 8x 15 3 x 3 2 x 5 6+ + = + + + −
b)
2

x 2x 2 2 2x 3− + = −

Bài 3 (4 điểm)
Cho điểm M thuộc miền trong tam giác ABC. Các tia AM, BM, CM cắt các
cạnh của tam giác ABC theo thứ tự ở P, Q, R. Chứng minh rằng:
a)
MP MQ MR
1
AP BQ CR
+ + =
b)
MA MB MC
2
AP BQ CR
+ + =
Bài 4 (4 điểm)
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình
vuông lấy các điểm E, F, G, H sao cho AE = BF = CG = DH để được hình vuông
EFGH. Với giá trị nào của AE thì diện tích EFGH đạt giá trị nhỏ nhất?
Bài 5 (4 điểm)
Tìm tất cả các số tự nhiên a, b khác 0 sao cho:
(a, b) = 1 và
2 2
a b 9
a b 41
+
=
+
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO LỤC YÊN
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI

MÔN TOÁN
Năm học: 2008 – 2009
Bài 1 (4 điểm)
Từ (1) suy ra:
a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2(ab + bc + ca) = 4 (3) (0,5
điểm)
Từ (2) và (3) suy ra:
2(ab + bc + ca) = 2 ⇔ ab + bc + ca = 1 (0,5
điểm)
Xét:
1 + b
2
= ab + bc + ca + b
2
= (b + c)(a + b) (0,5
điểm)
1 + c
2
= ab + bc + ca + c
2
= (a + c)(b + c) (0,5
điểm)
1 + a
2

= ab + bc + ca + a
2
= (a + b)(a + c) (0,5
điểm)
Do đó:
2 2 2 2 2 2
2 2 2
(1 b )(1 c ) (1 a )(1 c ) (1 a )(1 b )
a b c
1 a 1 b 1 c
+ + + + + +
+ + =
+ + +
2 2 2
a (b c) b (a c) c (a b)
= + + + + + =
(0,5
điểm)
= a(b + c) + b(a + c) + c(a + b) = (0,5
điểm)
= 2(ab + bc + ca) = 2 (0,5
điểm)
Bài 2 (4 điểm)
a) Điều kiện: x ≥ –3, ta có: (0,5
điểm)
(1) ⇔
(x 3)(x 5) 3 x 3 2 x 5 6 0+ + − + − + + =
⇔
( x 3 2)( x 5 3) 0+ − + − =
(0,5

điểm)
⇔
x 3 2 x 3 4 x 1
x 5 9 x 4
x 5 3

+ = + = =
 
⇔ ⇔

 
+ = =
+ =
 


(0,5
điểm)
Vậy: phương trình đã cho có hai nghiệm: x
1
= 1; x
2
= 4 (0,5
điểm)
b) Điều kiện:
3
x
2
≥
. Ta có: (0,5

điểm)

2
x 2x 2 2 2x 3− + = −

⇔
2
x 4x 4 2x 3 2x 3 1 0− + + − − − + =
(0,5
điểm)
2 2
(x 2) ( 2x 3 1) 0
x 2 0
x 2
2x 3 1
⇔ − + − − =
− =


⇔ ⇔ =

− =


(0,5
điểm)
Vậy: Phương trình đã cho có một nghiệm x = 2 (0,5
điểm)
Bài 3 (4 điểm)
a) Kẻ AH và MK vuông góc với BC

⇒
MBC
ABC
S MK
S AH
=
(1) (0,5
điểm)
Mặt khác: MK // AH (cùng vuông góc với BC)
Theo Ta lét:
MK MP
AH AP
=
(2)
(0,5
điểm)
Từ (1) và (2) suy ra:
MBC
ABC
MP S
AP S
=

Tương tự:
AMC
ABC
MQ S
BQ S
=
và

AMC
ABC
MR S
CR S
=
(0,5
điểm)
Vậy:
BMC AMC AMB ABC
ABC ABC
MP MQ MR S S S S
1
AP BQ CR S S
+ +
+ + = = =
(0,5
điểm)

MA MB MC AP MP BQ MQ CR MR
b)
AP BQ CR AP BQ CR
− − −
+ + = + +
(1 điểm)
MP MQ MR
3 3 1 2
AP BQ CR
 
= − + + = − =
 ÷

 
(1 điểm)
Bài 4 (4 điểm)
H
K
R
P
Q
B
C
A
M
Gọi diện tích của EFGH là S
Theo giả thiết:
AE = BF = CG = DH ⇒ BE = CF = CG = AH
Suy ra: AE + AH = a và ∆AEH = ∆BEF = ∆CGF = ∆DGH
(0,5 điểm)
Ta có: S = S
ABCD
– 4.S
AEH
⇔ S = a
2
– 2.AE.AH
Do đó S nhỏ nhất ⇔ AE.AH lớn nhất (1 điểm)
Ta có với mọi x, y ∈ R: (x – y)
2
≥ 0 ⇔ x
2
+ y

2
≥ 2xy
⇔ x
2
+ y
2
+ 2xy ≥ 4xy ⇔ (x + y)
2
≥ 4xy ⇔
2
(x y)
xy
4
+
≤
Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y (0,5
điểm)
Suy ra: S = 2.AE.AH ≤
2 2
(AE AH) a
2 2
+
=
(1 điểm)
Dấu “=” xảy ra ⇔ AE = AH ⇔ AE =
a
2
(0,5 điểm)
Vậy:
2 2

2
a a a
minS a AE
2 2 2
= − = ⇔ =
(0,5 điểm)
Bài 5 (4 điểm)

Vì (a, b) = 1 suy ra: (a + b, a
2
+ b
2
) = 1 (0,5 điểm)
Thật vậy, giả sử (a + b, a
2
+ b
2
) = d (d ≠ 1). Suy ra:
2 2 2
a b d a b d
a b d (1)
ab d (2)
a b d (a b) 2ab d
+ +
+
 

⇔ ⇔
  
+ + −


 
M M
M
M
M M
(0,5
điểm)
– Vì (a, b) = 1 nên từ (2) suy ra: a  d hoặc b  d (0,5
điểm)
+ Nếu a  d thì từ (1) suy ra b  d (vô lí vì a, b nguyên tố cùng nhau)
+ Nếu b  d thì từ (1) suy ra a  d (vô lí vì a, b nguyên tố cùng nhau)
– Vậy: (a + b, a
2
+ b
2
) = 1 (1 điểm)
Vì (a + b, a
2
+ b
2
) = 1. Kết hợp giả thiết suy ra:
2 2 2
a b 9 a b 9
a b 9 a 4
ab 20 b 5
a b 41 (a b) 2ab 41
+ = + =
+ = =
 

 
⇔ ⇔ ⇔
   
= =
+ = + − =
 
 
hoặc
a 5
b 4
=


=

(1 điểm)
Vậy: Có hai cặp số thỏa mãn điều kiện đầu bài là a = 4; b = 5 hoặc a = 5; b = 4
(0,5
điểm)
H
G
F
B
A
D
C
E
Chú ý: Nếu học sinh có cách giải khác với đáp án mà vẫn cho kết quả hợp lý, chính
xác thì vẫn cho điểm theo thang điểm trên