ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH HẢI DƯƠNG VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – HƯỚNG DẪN GIẢI
Năm học: 2007 – 2008
Bài 1 (4 điểm). Cho a là một số tự nhiên lẻ, b là số tự nhiên. Chứng minh rằng các số a và ab + 4
không có ước số chung khác ±1
Giải: Giả sử a và ab + 4 có ước số chung khác 1 là d. Thế thì:
ab
M
d và ab + 4
M
d ⇒ ab + 4 – ab
M
d
Do đó: d \ 4 nên d = ±1; ±2; ±4. Nhưng theo giả thiết a là số lẻ nên: d = ±1
Vậy: a và ab + 4 không có ước số chung khác ±1
Bài 2 (4 điểm). Cho hệ phương trình
ax by 15
ay bx 15
+ =


+ =

(a, b là số nguyên dương và a ≠ b). Tìm tất cả
các cặp giá trị của a, b để hệ phương trình có nghiệm số nguyên dương
Giải: Trừ hai phương trình của hệ vế với vế ta được: (a – b)(x – y) = 0
Do a ≠ b nên: x – y = 0 ⇔ x = y. Thế vào hệ ta được: (a + b)x = 15 ⇔
15
x
a b
=
+

Vì x nguyên dương nên: a + b \ 15 và a, b là số nguyên dương. Suy ra: a + b ∈ {3; 5; 15}
– Nếu a + b = 3 ⇔ (a, b) ∈ {(1; 2); (2; 1)}
– Nếu a + b = 5 ⇔ (a, b) ∈ {(1; 4); (4; 1); (2; 3); (3; 2)}
– Nếu a + b = 15 ⇔ (a; b) ∈ {(1; 14); (14; 1); (2; 13); (13; 2); (3; 12); (12; 3); (4; 11); (11; 4);
(5; 10); (10; 5); (6; 9); (9; 6); (7; 8); (8; 7)}
Bài 3 (3 điểm). Giải phương trình:
2 2 2 2
3x 7x 9 x 2 3x 5x 1 x 3x 13− + − − = − − − − +
(1)
Giải: (1) ⇔
2 2 2 2
3x 5x 1 2(x 5) x 2 3x 5x 1 x 2 3(x 5)− − − − − − = − − − − − −
Dễ thấy: x = 5 là nghiệm của phương trình đã cho
– Nếu x > 5: –2(x – 5) > –3(x – 5). Phương trình có vế trái nhỏ hơn vế phải ⇒ x > 5 không là
nghiệm của phương trình đã cho
– Nếu x < 5: –2(x – 5) < –3(x – 5). Phương trình có vế trái lớn hơn vế phải ⇒ x < 5 không là
nghiệm của phương trình đã cho
Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là x = 5
Bài 4 (5 điểm).
a) Cho tam giác vuông ABC có các cạnh góc vuông là a, b và cạnh huyền là c. Chứng minh rằng:
a b
c
2
+
≥
. Với điều kiện nào của a, b thì
a b
c
2
+

=
, khi đó tính giá trị của c theo a và b
b) Cho 2 số thực a, b thỏa mãn điều kiện a
2
+ b
2
≤ 2. Chứng minh rằng: a + b ≤ 2
Giải: a) Theo ĐL Pitago: a
2
+ b
2
= c
2
Mặt khác: a
2
+ b
2
≥ 2ab
Cộng vào 2 vế a
2
+ b
2
: 2(a
2
+ b
2
) ≥ a
2
+ b
2

+ 2ab ⇔ 2c
2
≥ (a + b)
2
Do a, b, c là các số dương vì là độ dài ba cạnh tam giác. Nên:
a b
2c a b c
2
+
≥ + ⇔ ≥
Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b. Khi đó:
2a
c 2a (hay: c 2b)
2
= = =
b) (a – b)
2
≥ 0 ⇔ 2ab ≤ a
2
+ b
2
(1). Theo giả thiết: a
2
+ b
2
≤ 2 (2)
Cộng (1) và (2): a
2
+ b
2

+ 2ab ≤ a
2
+ b
2
+ 2 ≤ 2 + 2 = 4 (vì a
2
+ b
2
≤ 2)
Do đó: (a + b)
2
≤ 4 ⇔ |a + b| ≤ 2 Nên: a + b ≤ |a + b| ≤ 2
Vậy: a + b ≤ 2
Bài 5 (4 điểm). Cho ∆ABC trung tuyến AM. Một đường thẳng song song với BC cắt AB, AC lần
lượt tại D và E, BE cắt CD tại O. Chứng minh rằng ba điểm A, O, M thẳng hàng
Giải: Gọi N là giao điểm của AM và DE
Do DN // BM nên:
DN AN
BM AM
=
Do EN // CM nên:
EN AN
CM AM
=
Suy ra:
DN EN
BM CM
=
. Do BM = CM (gt) ⇒ DN = EN
Ta có: S

BMND
= S
CMNE
(1)
Mặt khác: S
DNO
= S
ENO
; S
DBO
= S
COE
; S
BOM
= S
CMO
Suy ra: S
DNO
+ S
DBO
+ S
CMO
= S
ENO
+ S
COE
+ S
CMD
Do đó: Đường gấp khúc MON chia hình thang BCED thành
hai phần có diện tích bằng nhau. Đoạn NM cũng chia hình thang

thành hai phần có diện tích bằng nhau. Suy ra: N, O, M thẳng hàng ⇒ A, O, M thẳng hàng
N
O
E
D
M
B
C
A