ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TỈNH NGHỆ AN

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2013 – 2014
Môn thi: TOÁN.
Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (2,0 điểm)
Cho biểu thức P =
2 1 1
:
4
2 2
x
x x
 
+
 ÷
−
+ +
 
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
b) Tìm x để P =
3
2
Câu 2. (1,5 điểm)
Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 100 m. Nếu tăng chiều rộng 3 m và giảm
chiều dài 4m thì diện tích giảm 2 m
2
. Tính diện tích của mảnh vườn.
Câu 3. (2,0 điểm)
Cho phương trình bậc hai: x
2

– 2(m + 1)x + m
2
+ 4 = 0 (m là tham số)
a) Giải phương trình khi m = 2
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn: x
1
2
+ 2(m+1)x
2

≤
3m
2
+ 16
Câu 4. (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BE, CF
cắt nhau tại H. Tia AO cắt đương tròn (O) tại D.
a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn
b) Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành.
c) Gọi M là trung điểm của BC, tia AM cắt HO tại G. Chứng minh G là trọng tâm
của tam giác ABC.
Câu 5. (1,0 điểm)
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1.
Chứng minh rằng:
2 2 2
a b c 1

+ +
a+b b+c c+a 2
≥
Hết
Đề chính thức
ĐÁP ÁN
Câu 1:
a) ĐKXĐ: x
≥
0, x
≠
4
Rút gọn: P =
2 1 1
:
4
2 2
x
x x
 
+
 ÷
−
+ +
 
P =
( ) ( )
2 2 2
1
2

2 2
x x x
x
x x
+ − +
× =
−
− +
a) Với x
≥
0, x
≠
4 , P =
3
2

⇔

( )
3
2 3 2 6 36
2
2
x
x x x x
x
= ⇔ = − ⇔ = ⇔ =
−
(thỏa
mãn). Vậy với x = 36 thì P =

Câu 2: Nữa chu vi của mảnh vườn là: 50m.
Gọi chiều rộng của mảnh vườn là: x (m), ĐK: 0 < x < 50
Suy ra chiều dài của mảnh vườn là: 50 - x (m).
Diện tích mảnh vườn là: x( 50 - x) (m
2
)
Chiều rộng của mảnh vườn sau khi tăng 3m là: x + 3 (m)
Chiều dài của mảnh vườn sau khi giảm 4m là: 50 - x - 4 = 46 - x (m)
Do khi tăng chiều rộng 3m và giảm chiều dài 4m thì diện tích giảm 2 m
2
nên ta có pt:
x( 50 - x) = (x + 3 ).(46 - x) + 2
⇔ 50 x - x
2
= 43x - x
2
+ 140 ⇔ 7x = 140 ⇔ x = 20 thỏa mãn
Suy ra diện tích của mảnh vườn là: 20.( 50 - 20) = 600 (m
2
)
Câu 3: x
2
– 2(m + 1)x + m
2
+ 4 = 0
a) Với m = 2, Pt trở thành: x
2
– 6x + 8 = 0
∆’ = 9 - 8 = 1 => x
1

= 2, x
2
= 4
Vậy với m = 2 thì pt có hai nghiệm phân biệt: x
1
= 2, x
2
= 4
b) Xét pt (1) ta có:
'∆
= (m + 1)
2
– (m
2
+ 4) = 2m – 3
phương trình (1) có hai nghiệm x
1
, x
2
Khi
'∆
≥ 0
⇔
2m – 3 ≥ 0
⇔
m
3
2
≥
Theo hệ thức Vi-et:

1 2
2
1 2
2( 1)
4
x x m
x x m
+ = +



= +


Theo giả thiết: x
1
2
+ 2(m+1)x
2

≤
3m
2
+ 16 <=> x
1
2
+ (x
1
+ x
2

)x
2

≤
3m
2
+ 16
<=> x
1
2
+ x
2
2
+ x
1
x
2

≤
3m
2
+ 16
<=> (x
1
+ x
2
)
2
- x
1

x
2

≤
3m
2
+ 16
=> 4(m + 1)
2
– (m
2
+ 4)
≤
3m
2
+ 16
<=> 8m
≤
16 <=> m
≤
2
Vậy:
3
2
≤
m
≤
2 thì pt có hai nghiệm x
1
, x

2
thỏa mãn: x
1
2
+ 2(m+1)x
2

≤
3m
2
+ 16
Câu 4:
a)
·
0
BEC = 90
v× BE⊥ AC;

·
0
BFC 90=
v× CF⊥ AB
Tứ giác BCEF có:
·
·
0
BEC BFC 90= =
(gt)
 Tứ giác BCEF nội tiếp vì có đỉnh E và F cùng nhìn
Cạnh BC dưới hai góc bằng nhau

b) Ta có
·
BAD
= 90
0
(góc nội tiếp chắn nửa đtròn)
=> BD
⊥
AB mà CH
⊥
AB => BD // CH
C/m tương tự: CD // BH
=> BHCD là hình bình hành
c) BHCD là hình bình hành , M là trung điểm của BC
 M là trung điểm của HD
Mặt khác O là trung điểm của AD suy ra G là trọng tâm của ∆AHD.
⇒ =
Xét ∆ABC có AM là đường trung tuyến, = Suy ra G là trọng tâm của ∆ABC
Câu 5: Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số không âm ta có:
2 2
2 .
4 4
a a b a a b
a
a b a b
+ +
+ ≥ =
+ +
Tương tự:
2 2

b c
;
b +c 4 c+a 4
b c c a
b c
+ +
+ ≥ + ≥
⇒
2 2 2
a b c
+ +
a + b b +c c +a
+ + + ≥ a + b + c
⇔
2 2 2
a b c
+ +
a + b b +c c + a
+ ≥ 1
⇔
2 2 2
a b c
+ +
a + b b +c c +a
+ ≥ 1
⇔
2 2 2
a b c
+ +
a + b b + c c + a

≥ (đpcm)
G
M
H
E
F
D
O
A
B
C