ĐỀ TH IVÒNG 2 (CHUYÊN TOÁN) CHUYÊN SƯ PHẠM HÀ NỘI NĂM 2013 – 2014

ĐỀ THI CHUYÊN SƯ PHẠM HÀ NỘI NĂM 2013 – 2014
VÒNG 2 (CHUYÊN TOÁN)
Câu 1 (2,5 điểm)
1. Các số thực
, ,a b c
thỏa mãn đồng thời 2 đẳng thức sau :
i.
( ) ( ) ( )
a b b c c a abc+ + + =
ii.
( ) ( ) ( )
3 3 3 3 3 3 3 3 3
a b b c c a a b c+ + + =
Chứng minh rằng :
0abc =
.
2. Các số thực dương
,a b
thỏa mãn
2013 2014 .ab a b> +
Chứng minh bất đẳng thức :
( )
2
2013 2014a b+ > +
Câu 2 (2 điểm) Tìm tất cả các cặp số hữu tỷ
( )
,x y
thỏa mãn hệ phương trình
3 3
2 2
2 4

6 19 15 1
x y x y
x xy y

− = +


− + =


Câu 3 (1 điểm) Với mỗi số nguyên dương
n
, ký hiệu
n
S
là tổng của n số nguyên tố đầu
tiên
( )
1 2 3
2, 2 3, 2 3 5, S S S= = + = + +
. Chứng minh rằng trong dãy số
1 2 3
, , , S S S
không
tồn tại hai số hạng liên tiếp đều là các số chính phương .
Câu 4 (2,5 điểm) Cho tam giác ABC không cân, nội tiếp đường tròn
( )
O
, BD là đường
phân giác của góc ABC. Đường thẳng BD cắt đường tròn

( )
O
tại điểm thứ hai E. Đường
tròn
( )
1
O
đường kính DE cắt đường tròn
( )
O
tại điểm thứ hai F
1. Chứng minh rằng đường thẳng đối xứng với BF qua đường thẳng BD đi qua trung
điểm cạnh AC
2. Biết tam giác ABC vuông tại B,
60BAC∠ = °
và bán kính của đường tròn
( )
O
bằng
R
. Hãy tính bán kính của đường tròn
( )
1
O
bằng
R
.
Câu 5 (1 điểm) Độ dài 3 cạnh của tam giác ABC là ba số nguyên tố. Chứng minh rằng diện
tích của tam giác ABC không thể là số nguyên.
Câu 6 (1 điểm) Giả sử

1 2 11
, , ,a a a
là các số nguyên dương lớn hơn bằng 2, đôi một khác
nhau và thỏa mãn
1 2 11
407.a a a+ + + =
Tồn tại hay không số nguyên dương
n
sao cho
tổng các số dư của các phép chia
n
cho 22 số
1 2 11 1 2 11
, , , ,4 ,4 , ,4a a a a a a
bằng 2012.