ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2013 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2013
MÔN THI: TOÁN (cho tất cả các thí sinh)
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu I
1) Giải phương trình
3 1 2 3x x+ + − =
2) Giải hệ phương trình







+=








++
=+++
xy
xy
y
x
yx

yx
11
2
3
4
1
2
911
Câu II
1) Giả sử a; b; c là các số thực khác 0 thỏa mãn (a+b)(b+c)(c+a)=8abc
Chứng minh rằng

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
4
a b c ab bc ca
a b b c a c a b b c b c c a c a a b
+ + = + + +
+ + + + + + + + +
2) Có bao nhiêu số nguyên dương có 5 chữ số
abcde
sao cho
( )
edabc +− 10
chia hết
cho 101?
Câu III
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) và AB<AC.Đường phân giác của góc BAC cắt (O) tại
D khác A .Gọi M là trung điểm AD và E là điểm đối xứng với D qua tâm O.Giải sử đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABM cắt đoạn thẳng AC tại điểm F khác A

1) Chứng minh rằng tam giác BDM và tam giác BFC đồng dạng
2)Chứng minh
ACEF ⊥
Câu IV
Giả sử a,b,c,d là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc+bcd+cda+dab=1
Tìm giá trị nhior nhất cảu biểu thức
( )
3333
94 ccbaP +++=

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2013
MÔN THI: TOÁN (dùng cho thí sinh thi chuyên Toán;Tin)
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu I
1) Giải hệ phương trình



=−+
+−+=+
77
1
33
yxxy
xyxyyx
2) Giải phương trình
xxxx −++=−++ 11313
2

Câu II
1) Giải phương trình nghiệm nguyên (x,y) :

2041285
22
=+ yx
2) Với x, y là các số thực dương thỏa mãn
1≤+ yx
.Tìm giá trị cực tiểu của biểu thức
22
1
11
yx
yx
P +








+=

Câu III . Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) có trực tâm H.Gọi P là điểm nằm trên đường
tròn ngoại tiếp tam giác HBC ( P khác B,C,H ) và nằm trong tam giác ABC .PB cắt (O)tại M
khác B. PC cắt (O) tại N khác C.BM cắt AC tại E, CN cắt AB tại F .Đường tròn ngoại tiếp
tam giác AME và đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF cắt nhau tại Q khác A
1) Chứng minh rằng M,N,Q thẳng hàng

2) Giả dụ AP là phân giác góc MAN .Chứng minh PQ đi qua trung điểm của BC
Câu IV
Giả dụ dãy số thực có thứ tự
192321
xxxx ≤≤≤≤
Thỏa mãn điều kiện




=++++
=++++
2013
0
192321
321
xxxx
xxxx
n
Chứng minh rằng
96
2013
1192
≥− xx

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
HD:
V2.
Câu1.
1) Cộng 2 pt t ĐƯỢC (x+y−2)(x2−xy+y2+2x+2y+4)=0

2) (x+1−−−−−√−1)(x+1−−−−−√+1−x−−−−−√−2)=0
Câu 2: a) Đặt x=2k ta được 5k2+2y2−5103=0. Suy ra y chia 5 dư 2 hoặc 3
Nếu y=5t−2
Suy ra k2+10t2−8t−1019=0 Đặt k=2a+1 ta được 2a2+2a+5t2−4t−509=0.
Đặt t=2b+1 ta được a2+10b2+a+6b−254=0
Xét Δa ta được −5≤b≤4
Thử thấy b=−3 là thỏa mãn
Suy ra
Nếu y=5t+2 thì tương tự
b)
P =
17
16
2 2
17
1 4. 17( )
( ). 1
4( )
x y
x y
x y
xy
+
+ + ≥
2
15/17
16/17
17( ) 17
17
( )

( )
4( )
4
x y
x y
x y
+
≥ = ≥
+
+
Hoặc Để em chém câu 2b (dễ nhất)
Áp dụng BĐT AM-GM, ta có P≥
2 2
2
1 x y
xy
+
=2
1
xy
xy
+
=
1 15
2
16x 16x
xy
y y
+ +
1 15

2
2 16xy
≥ +
1 15
2 2 17
2 4
≥ + =
Câu 4.
Thật tự nhiên, ta muốn chia dãy a1,a2, ,an thành 1 dãy âm, 1 dãy dương để phá dấu giá trị tuyệt đối.
Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử a1≤a2≤ ≤ak≤0≤ak+1≤ ≤an.
Lúc đó thì :
1
1
( 1 2 ) ( ) 0
( 1 2 ) ( ) 1
k n
k n
a a ak a a
a a ak a a
+
+
+ + + + + + =


− + + + + + + =

suy ra
1
1 2 1/ 2
1/ 2

k n
a a ak
a a
+
+ + + = −


+ + =

Mà a1≤a2≤ ≤ak nên a1≤−1/2k và ak+1≤ ≤an nên an≥1/2(n−k). Tóm lại :
an−a1≥1/2.(1k+1n−k)≥2/n