BÀI TẬP CƠ KẾT CẤU 2 CÓ LỜI GIẢI

BÀI TẬP CƠ KẾT CẤU 2
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP. HCM
1
Bài tập 1:
Cho hệ như hình dưới
Tìm chuyển vị đứng tại trung điểm K của dầm


Dầm và khung chịu tải trọng
Bỏ qua ảnh hưởng của N và Q đến chuyển vị so với M
k m
km
M M
ds
EJ

  



TRẠNG THÁI “M”

Tính phản lực tại gối tựa

Tổng mô men tại gối bên trái = 0
2
2
0
0
2
2

M
L
Y L qL
L
Y q
 
  
 

Tổng hình chiếu theo phương Y=0
1 2
1
0
2 2
Y Y qL
ql ql
Y ql
  
   

Tổng hình chiếu theo phương X=0
BÀI TẬP CƠ KẾT CẤU 2
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP. HCM
2
1
0
X


Tính nội lực sinh ra trong dầm
Mô men tại hai đầu dầm =0
Mô men tại giữa dầm
1
2 2 2
*
2 2 4
* *
2 2 2 4
4 8 8
L L L
M Y q
qL L L L
M q
qL qL qL
M
 
  
   


Biểu đồ mô men trạng thái M :


TRẠNG THÁI “K”

Tính phản lực tại gối tựa

Tổng mô men tại gối bên trái = 0
2

2
0
0
2
1
2 2
M
L
Y L P
P
Y
 
  
  

Tổng hình chiếu theo phương Y=0
1 2
1 2
0
1
2
Y Y P
Y P Y
  
   

Tổng hình chiếu theo phương X=0
1
0
X



BÀI TẬP CƠ KẾT CẤU 2
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP. HCM
3

Tính nội lực sinh ra trong dầm
Mô men tại hai đầu dầm =0

Mô men tại giữa dầm



1
2
1
*
2 2
4
L
M Y
L
M
L
M

 
 

Biểu đồ mô men trạng thái “k”

Chuyển vị tại nút K ở giữa dầm là :
Chú ý: trước khi nhân biểu đồ:
Biểu đồ mô men trạng thái K phải là 1 đoạn thẳng
Biểu đổ mô men trạng thái M là 1 dấu
Do đó ta phải chia đôi biểu đồ mô men ở trạng thái K thành 2 hình tam giác
2
4
4
2 5
2*[ * ]*[ * ]
3 8 2 8 4
1 5
2 [ ]*[ ]
24 32
5
384
km
km
km
qL L L
qL
qL
 
 
 


Bài tập 2: tìm góc xoay tương đối của hai chân cột

BÀI TẬP CƠ KẾT CẤU 2
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP. HCM
4
TRẠNG THÁI “M”

Tính phản lực tại gối tựa

Tổng mô men tại gối bên trái = 0
2
2
0
0
M
Y L M
M
Y
L
 
  
 

Tổng hình chiếu theo phương Y=0
1 2
1 2
0Y Y
M
Y Y
L
 
    

Tổng hình chiếu theo phương X=0
1
0
X


Tính nội lực sinh ra trong dầm
Mô men tại hai thanh đứng của khung=0
Mô men tại mặt cắt đầu dầm ngang


M M


Biểu đồ mô men trạng thái M :


BÀI TẬP CƠ KẾT CẤU 2
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP. HCM
5
TRẠNG THÁI “K”


Tính phản lực tại gối tựa

Tổng mô men tại gối bên trái = 0
2
2
0

0
0
M
Y L M M
Y
 
   
 

Tổng hình chiếu theo phương Y=0
1 2
1
0
0
Y Y
Y
 
 

Tổng hình chiếu theo phương X=0
1
0
X



Tính nội lực sinh ra trong dầm

NHẬN XÉT : Ở TRẠNG THÁI M, do không có mô men trên hai thanh đứng, nên ta
chỉ cần tìm mô men dầm ngang ở trạng thái K

Mô men đầu dầm ngang bên trái
M=M
Tương tự mô men tại đầu dầm ngang bên phải
M=M


BÀI TẬP CƠ KẾT CẤU 2
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP. HCM
6
Biểu đồ mô men trạng thái “k”

Góc xoay tương đối ở hai chân cột là :
Chú ý: trước khi nhân biểu đồ:
Biểu đồ mô men trạng thái K phải là 1 đoạn thẳng
Biểu đổ mô men trạng thái M là 1 dấu

1
[ * ]*[1]
2
2
km
km
M L
ML
 
 

Bài tập 3 : tìm chuyển vị đứng tại K

TRẠNG THÁI “M”

Tính phản lực tại gối tựa

Tổng mô men tại gối bên trái = 0
BÀI TẬP CƠ KẾT CẤU 2
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP. HCM
7
2
2
0
*2 *1.5 *0.5 0
M
Y L P L P L
Y P
 
   
 

Tổng hình chiếu theo phương Y=0
1 2
1 2
2 0
2
Y Y P
Y P Y P
  
   

Tổng hình chiếu theo phương X=0

1
0
X


Tính nội lực sinh ra trong dàn
Xét tách nút tại gối bên trái:
2
1
0
N P
N
 




Tách nút tại giao điểm thanh 2-3-4 (chú ý thanh thứ 2 chịu lực nén)
Tổng hình chiếu phương Y =0
0
4 2
2
4
0
cos45
2
cos45
N N
N
N P


  

Tổng hình chiếu phương X =0
0
4 3
3 4
3
cos45
1
cos45 2 *
2
N N
N N P
N P
 
    
  



Tách nút tại giao điểm thanh 4-5-6
BÀI TẬP CƠ KẾT CẤU 2
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP. HCM
8


Tổng hình chiếu dọc trục thanh 4-6
0
6 4

6
cos 45
2
2 2
N N P
P P
N P
 
   

Tổng hình chiếu dọc trục thanh 5
0
5
5
cos45
2
N P
P
N

 


N1 N2 N3 N4 N5 N6
0 -P -P
2
P

2
P

2
P



TRẠNG THÁI “K”


Tính toán tương tự như trên ta có bảng thống kê sau:

N1 N2 N3 N4 N5 N6
0 -1/2 -1/2
1
2

0
1
2



BÀI TẬP CƠ KẾT CẤU 2
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP. HCM
9
Chiều dài thanh 4 (= thanh 6) là :
2
2
L

Độ võng của dàn tại vị trí K :
1 1 1 1 2 1 2
[0 * * 2 * * 0 * * ]*2
2 2 2 2
2 2 2
1 1 2 2
*2[0 0 ]
2 2 2 4
2
[0 1 1 2 0 ]
2
4 2 2 2
[ ]
2
4 3 2
[ ]
2
km
km
km
km
km
L P L
P L P L P
EF
PL
EF
PL
EF
PL

EF
PL
EF
      
      
      
 
 

 


BÀI TẬP 4 : Khung ngang chịu thay đổi nhiệt độ

Tìm góc xoay TƯƠNG ĐỐI tại giao điểm 2 thanh dầm ngang

TRẠNG THÁI “M”

Tính các nhiệt độ
max min
2 3
2 2 2
m
c
t t
t t t
t


  

max min
2
m
t t t t t t     


TRẠNG THÁI “K”

BÀI TẬP CƠ KẾT CẤU 2
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP. HCM
10
Tổng mô men tại gối bên trái = 0
2
2
0
*2 0
0
M
Y L
Y
 
 
 

Tổng hình chiếu theo phương Y=0
1 2
1
0
0

Y Y
Y
 
 

Xét nửa phần bên phải có tổng mô men tại gối K=0

2
2
0
0
1
M
M X L
M
X
L L
 
  
  

Tổng hình chiếu theo phương X=0
1 2
1 2
0
1
X X
X X
L
 

 


Biểu đồ mô men trạng thái K :

Góc xoay tương đối tại giao điểm hai thanh dầm là:
BÀI TẬP CƠ KẾT CẤU 2
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP. HCM
11
3 1 1
( 2 * ) ( 1*2 2* *1* )
2 2
3 1
( *2 * ) ( 2 )
2
3
( 3 )
k k
m
km c m
N M
km
km
km
t t
h
t
L t L L
L h
t L t L L

L h
L
t
h







 
       
     
     
   


Bài tập 5:

Gối bên trái lún xuống 2cm
Gối kế tiếp lún lên 1 cm
Tìm chuyển vị tại khớp nối, góc xoay tại gối bên phải
Giải:
a/ Tìm chuyển vị tái khớp nối
Đặt lực P=1 tại khớp nối, ta có hệ sau:


Tương đương với hệ sau:

Ta có:
2
2
*8 *12
12
1.5
8
Y P
Y P

  

Tổng hình chiếu phương Y có:
1 2
1 2
1 1.5 0.5
Y Y P
Y P Y
 
      

Tổng hình chiếu phương X=0
1
0
X


Như vậy: chuyển vị tại khớp nối là:
BÀI TẬP CƠ KẾT CẤU 2
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP. HCM

12
[2*0.5 1*1.5] 2.5
i i
km k m
km
R
cm
   
      

b/ Tìm góc xoay tại gối bên phải

Đặt mô men M=1 tại gối bên phải như sau:


Xét hệ phụ, ta có:


2
2
*4
0.25
Y M
Y

 

Tổng hình chiếu phương đứng:
1 2
1

0
0.25
Y Y
Y
 
  

Tổng hình chiếu phương ngang
1
0
X



Xét hệ chính ta có:

Ta có:
4 1
4
*8 *12
12
( 0.25) 0.375
8
Y Y
Y
 
    

Tổng hình chiếu phương Y có:
3 4 1

3 4 2
0.375 0.25 0.125
Y Y Y
Y Y Y
  
      

Tổng hình chiếu phương X=0
1
0
X



BÀI TẬP CƠ KẾT CẤU 2
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP. HCM
13
Góc xoay tại gối bên phải là:

3
[0.02*( 0.125) 0.01*( 0.375)] 6.25*10 ( )
i i
km k m
km
R
rad

   
       

Bài tập 6:

Chiều dài tất cả các cạnh là 4 mét
Tìm chuyển vị đứng và góc xoay tại K
a/ Tìm chuyển vị đứng tại K
Đặt lực P=1 tại K, ta có hệ sau:

Xét hệ phụ:

Tổng mô men tại khớp nối là:
1
1
*4 *8
2 2
X P
X P

  

Tổng hình chiếu phương ngang là:
2 1
2 1
0
2
X X
X X
 
    

Tổng hình chiếu phương Y
2
1
Y P
 

Xét hệ chính:
BÀI TẬP CƠ KẾT CẤU 2
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP. HCM
14

Tổng mô men tại ngàm là:
3 2 2
3 2 2
3
*4 *4 0
4( ) 4(1 2)
12
M X Y
M Y X
M
  
    
 

Tổng hình chiếu phương Y:
3 2
1
Y Y
 

Tổng hình chiếu phương X:
3 2
2
X X
  

Chuyển vị tại K là:
[ 12*0.01 0.02* 1 0.01* 2] 0.16
i i
km k m
km
R
m
   
         

b/ Góc xoay tại K:

Hệ phụ:

Tổng mô men tại khớp nối là:
1
1
*4
0.25
4
X M
M
X


  

Tổng hình chiếu phương ngang là:
BÀI TẬP CƠ KẾT CẤU 2
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP. HCM
15
2 1
2 1
0
0.25
X X
X X
 
    

Tổng hình chiếu phương Y
2
0
Y


Hệ chính:

Tổng mô men tại ngàm là:
3 2
3 2
3
*4 0
4( ) 4( 0.25)

1
M X
M X
M
 
     
 

Tổng hình chiếu phương Y:
3
0
Y


Tổng hình chiếu phương X:
3 2
0.25
X X  
Góc xoay tại K là:
[ 1*0.01 0.02*0 0.01* 0.25] 0.0125
i i
km k m
km
R
rad
   
        


Bài 7:

a/ Vẽ biểu đồ mô men uốn:
Hệ phụ:
BÀI TẬP CƠ KẾT CẤU 2
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP. HCM
16

Tổng mô men tại khớp nối:
2
2
*2 *3 2 *
1.5 2.5
Y L qL L q L L
Y qL qL qL
 
   

Tổng hình chiếu phương Y:
1
2 2.5 0.5Y q L qL qL qL
   
Tổng hình chiếu phương X:
1
0
X


Mô men tại gối tựa (xét phần bên trái)

2 2 2

1
*2 2 * 2
M Y L q L L qL qL qL
     

Mô men ở giữa nhịp:
2
2 2
1
0.5 0.5 0
2
L
M Y L qL qL qL
    

Biểu đồ mô men:

Hệ chính:
BÀI TẬP CƠ KẾT CẤU 2
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP. HCM
17


Tổng mô men tại ngàm:
2
2
3
0.5 *2 0.5
2
qL

M qL L qL
   

Tổng hình chiếu phương Y:
3 1
0.5Y Y qL
 

Tổng hình chiếu phương X:
3
0
X


Biểu đồ mô men như sau :

Biểu đồ mô men của hệ là:


b/ Tính chuyển vị đứng tại D và góc xoay tại B

Phản lực tại gối:

BÀI TẬP CƠ KẾT CẤU 2
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP. HCM
18

Biểu đồ mô men:

Chuyển vị đứng tại D là:


Xét dấu cho cả 2 biểu đồ mô men (hai biểu đồ cùng một phía mang dấu “+” , khác
phía mang dấu “-“.



2 4
1
1 1 5 5
[ * * ]
2 2 6 24
qL qL
L L
EJ EJ
    



2 4
2
1 1 1
[ * * ]
2 2 6 24
qL qL
L L
EJ EJ
  

BÀI TẬP CƠ KẾT CẤU 2
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP. HCM
19

2
2 2
3
4
3
4 4
3
1 2 4 1 2 1 2
[ * *2 * *2 * * * ]
3 8 2 2 3 2 3
2 4 1 1 2 1 2
[ * *2* *2* * ]
3 8 2 2 3 2 3
1 2 1 2
[ ]
3 3 3 3
qL L
L qL L L qL L L
EJ
qL
EJ
qL qL
EJ EJ

    
     
      


Độ võng tại điểm D đầu dầm là:
4 4
5 1 2
[ ]
24 24 3 2
qL qL
EJ EJ
     


Tính góc xoay tại B:





Biểu đồ mô men


Tìm góc xoay tại B:

BÀI TẬP CƠ KẾT CẤU 2
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP. HCM
20
2 2 2

1
3 3
1
1 1
[ *2 *1 * *1 * *1]
2 2 2 2
1 1
[1 ]
2 4 4
qL qL qL
L L
EJ
qL qL
EJ EJ


   
      


2 2 2
1
3 3
1
1 1
[ *2 *1 * *1 * *1]
2 2 2 2
1 1
[1 ]
2 4 4

qL qL qL
L L
EJ
qL qL
EJ EJ


  
    

Vậy góc xoay = 0



Bài 1:

BÀI TẬP CƠ KẾT CẤU 2
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP. HCM
21


2 2
2
2
*2 2
3
2
Y L qL q L
qL
Y

 
 

1
3 1
2
2 2
Y qL qL qL
  

1
X qL 

Biều đồ mô men:
Tại giữa dầm ngang:
2
2
2
L
M Y L qL qL
  


Tìm chuyển vị ngang tại K:
Đặt lực P=1 nằm ngang tại K, vẽ được biểu đồ mô men như sau:
BÀI TẬP CƠ KẾT CẤU 2
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP. HCM
22

Chuyển vị ngang tại K là:

2
2 2
4 4 4
4
1 1 2 1 1 2 2 *4
[ * * ] [ *2 * *2 * ]
2 3 2 2 3 3 8 2
1 2 1 2 2 8 1 1 2 1
[ * ] [ *2* * * ] [ ]
2 3 2 2 3 3 8 2 3 6 6
5
6
L q L L
qL L L qL L L
EJ EJ
qL qL qL
EJ EJ EJ
qL
EJ
   
       
  


Tìm góc xoay tại K :
Đặt mô men M=1 tại K
Biểu đồ mô men là:

Góc xoay tại K là:
2

2
3 3
3
1 1 2 2 4 1
[ *2 * * *2 * ]
2 2 3 3 8 2
1 2 2 4 1 2 1
[ *2* * *2* ] [ ]
2 2 3 3 8 2 2 3 3
2
q L
qL L L
EJ
qL qL
EJ EJ
qL
EJ



 
    
 



BÀI TẬP CƠ KẾT CẤU 2
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP. HCM
23
Bài 2 :

Tìm chuyển vị đứng tại D :


Biểu đồ mô men là :



Chuyển vị tại D là :
3 1
[ * ]
[2 * 1* 1* ] 2 ( )
i i
km k m
km
R M Y X
L
L m
L

         

          

Như vậy điểm D sẽ đi lên (ngược chiều với chiều lực P=1)

b/ Tìm góc xoay tại C :
Cho M=1 tại mặt cắt C:
Biểu đồ mô men là:
BÀI TẬP CƠ KẾT CẤU 2
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP. HCM

24

Góc xoay tại C là:
[ 1* ] ( )
i i
km k m
km
R
rad
L L
    
 
     