Đề thi chọn học sinh giỏi Olympic châu Á môn vật lý

giới thiệu các đề thi
Đề thi chọn học sinh vào đội tuyển
dự olympic vật lý châu á năm 2004

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi thứ nhất: 18/2/2004
Câu 1 (Cơ)
Để đo gia tốc trọng trờng g, ngời ta có thể dùng con lắc rung, gồm
một lá thép phẳng chiều dài l, khối lợng m, một đầu của lá thép gắn chặt vào
điểm O của giá, còn đầu kia gắn một chất điểm khối lợng M. ở vị trí cân
bằng lá thép thẳng đứng. Khi làm lá thép lệch khỏi vị trí cân bằng một góc
nhỏ

(radian) thì sinh ra momen lực c. (c là một hệ số không đổi) kéo lá
thép trở về vị trí ấy (xem hình vẽ).
Trọng tâm của lá thép nằm tại trung điểm của nó và momen quán tính của
riêng lá thép đối với trục quay qua O là
3/
2
ml
.
1) Tính chu kì T các dao động nhỏ của con lắc.
2) Cho l = 0,20m, m = 0,01kg, M = 0,10kg. Để con lắc có thể dao
động, hệ số c phải lớn hơn giá trị nào? Biết g không vợt quá
2
/9,9 sm
.
3) Cho l, m, M có các giá trị nh ở 2), c = 0,208. Nếu đo đợc T = 10s
thì g có giá trị bằng bao nhiêu?
4) Cho l, m, M, c có các giá trị cho ở 3). Tính độ nhạy của con lắc, xác định bởi

dg
dT
, dT là biến thiên nhỏ của T ứng với biến thiên nhỏ dg của g quanh giá trị
trung bình
2
0
/8,9 smg =
. Nếu ở gần
0
g
, gia tốc
g
tăng
2
/01,0 sm
thì T tăng
hay giảm bao nhiêu?
5) Xét một con lắc đơn có chiều dài L = 1m cũng dùng để đo g. Tính độ nhạy của
con lắc đơn ở gần giá trị trung bình
0
g
; g tăng
2
/01,0 sm
thì chu kì T của con
lắc đơn tăng hay giảm bao nhiêu? So sánh độ nhạy của hai con lắc.
Câu 2 (Nhiệt)
Một lợng khí lý tởng đơn nguyên tử thực hiện
chu trình ABCDECA biểu diễn trên đồ thị nh hình
vẽ bên.

Cho biết
PaPPaPP
CBA
55
103,10 ===
KTTPaPP
EADE
300,104
5
====
,
lVVVlV
DCBA
10,20 ====
, AB, BC, CD, DE,
EC, CA là các đoạn thẳng.
1) Tính các thông số
DB
TT ,
và
E
V
.
2) Tính tổng nhiệt lợng mà khí nhận đợc
trong tất cả các giai đoạn của chu trình
mà nhiệt độ khí tăng.
3) Tính hiệu suất của chu trình.
Câu 3 (Điện từ)
Cho mạch điện nh hình vẽ,
1

T
và
2
T
là hai thanh ray kim loại đợc đặt trong mặt phẳng
nằm ngang, song song và cách nhau đoạn l, điện trở không đáng kể; AB là thanh kim loại
đồng chất khối lợng m luôn tiếp xúc điện với hai thanh ray và lúc đầu đợc giữ nằm yên

O
M
l
AB
C
D
E
P
P
A
P
C
P
E
0
V
E
V
C
V
V
A

vuông góc với hai thanh ray. Nguồn điện có suất điện động không đổi E, cuộn dây có độ tự
cảm L, điện trở thuần của mạch điện là R. Trong vùng MNQP có một từ trờng đều với
vectơ cảm ứng từ
B
hớng thẳng đứng (xem hình vẽ). Bỏ qua mọi ma sát và điện trở tiếp
xúc .
ở thời điểm t = 0 ngời ta thả nhẹ thanh AB.
1) Hãy mô tả
các hiện tợng vật
lý xảy ra trong
mạch.
2) Thiết lập hệ
thức giữa vận tốc
của thanh AB với
cờng độ dòng
điện và tốc độ
biến thiên của c-
ờng độ dòng
điện trong mạch.
Hãy đoán nhận các dạng năng lợng biến đổi trong mạch.
3) Tìm biểu thức của lực từ tác dụng vào thanh AB ở thời điểm t.
4) Viết phơng trình chuyển động của thanh AB.
Cho biết nghiệm của phơng trình
0)()(2)(
'''
=++ tbytayty
(với
0
2
>ba

) có dạng

[ ]
)tba(-a yy
2
= exp
0

với
0
y
đợc xác định từ điều kiện ban đầu.
Câu 4 (Phơng án thực hành)
Hãy xây dựng phơng án đo cảm ứng từ trong lòng một ống dây dài bằng điện kế xung
kích. Điện kế xung kích là một điện kế khung quay mà khung của điện kế có momen quán
tính lớn. Góc quay cực đại của khung khi có một dòng điện tức thời chạy qua khung tỉ lệ
với điện lợng phóng qua khung.
1) Trình bày phơng án đo.
2) Lập công thức tính cảm ứng từ theo kết quả đo.
3) Nêu các thiết bị bổ trợ cần dùng trong phép đo.
4) Cho biết sai số tỉ đối của phép đo điện tích, phép đo điện trở, phép đo độ dài
đều là 1%. Hãy ớc lợng sai số tỉ đối của phép đo cảm ứng từ bằng phơng
pháp này.
Đáp án Đề thi chọn học sinh vào đội tuyển
dự thi Olympic Châu á năm 2004
(Ngày thi thứ nhất 18/2/2004)
Câu 1
1) Momen quán tính của con lắc J =
3
2

ml
+
2
Ml
=
2
l
(
M
+
3
m
)
Momen lực
M
=
mg
2
l

sin
+

sinMgl
-

c

+ c
m
Mgl )
2
(

Phơng trình
J
=


M

M N
P
Q
A
B
L
E
B
T
1
T

2
x
0
2
l
(

)
3

m
M +
=






+ c
m
Mgl )
2
(

hay

)
3
(

)
2
(
2

m
Ml
m
Mglc
+
+
+
= 0
Giả thiết
)
2
(
m
Mglc +>
, con lắc có dao động nhỏ với chu kì
T =
)
2
(
)
3
(
2
2
m

Mglc
m
Ml
+
+

(1)
2) Điều kiện
)
2
(
m
Mglc +>
, với
2
max
/9,9 smg =
cho
105,0.2,0.9,9>c
hay
2079,0>c
.
3) Đặt
,004132,0)
3
(
2
=+=
m
Mla

021,0)
2
( =+=
m
Mlb
(đơn vị SI).
(1)
bgc
a
T

=

2
(2), hay
bgc
aT

=
2
2
4

, với T = 10 s tính đợc
2
/83,9 smg =
.
4) Lấy ln hai vế của (2)
)ln(

2
1
ln
2
1
2lnln bgcaT +=

Lấy đạo hàm đối với
g
, với
T
là hàm của
g
:
)(2
1
bgc
b
dg
dT
T
=


độ nhạy
)(2 bgc
bT
dg
dT

=
(3)
Với
021,0=b
,
208,0=c
thì với
8,9= gg
2
/ sm
và
sT 10

, ta có
48
dg
dT
.
g
tăng
2
/01,0 sm
thì
T
tăng
s48,0
, dễ dàng đo đợc.
Chú ý: Nếu tính trực tiếp
dg
dT

từ (2), không qua ln thì phức tạp. Cũng không cần thay
T
trong (3) bằng (2), vì ta đã biết với
0
gg
thì
sT 10

.
5) Với con lắc đơn
g
L
T

2=
, làm tơng tự:
gLT ln
2
1
ln
2
1
2lnln +=

. Lấy đạo hàm đối với
g
gdg
dT
T 2
11

=

g
T
dg
dT
2
=
.
Con lắc đơn có
mL 1
=
thì
sT 2

. Với
2
/8,9 smg
thì
1,0
dg
dT
;
g
tăng
2
/01,0 sm
thì
T
giảm

s001,0
, không đo đợc. Vậy con lắc rung nhạy hơn con lắc đơn.
Câu 2
áp dụng phơng trình trạng thái:
AAA
nRTVP =



300
10.20.10
35
==
A
AA
T
VP
nR

3
20
=
K
nR
VP
T
BB
B
150==
;

K
nR
VP
T
DD
D
600==
;
l
P
nRT
V
E
E
E
5==
Khí nhận nhiệt trong quá trình đẳng tích BD và một giai đoạn trong quá trình biến
đổi ECA
JTTRnQQ
BDBD
4500)150600(
3
20
.
2
3
)(
2
3
.

1
====
Phơng trình của đờng thẳng ECA:
AE
AE
A
A
VV
PP
VV
PP


=





5
5
+=
V
P
(1) (V đo bằng lít, P đo bằng
Pa
5
10
)
Suy ra

)5
5
(
20
3
2
V
V
nR
PV
T +==
(2) (T đo bằng
K100
)
KTT 75,468
max
==
khi
lV
m
5,12=
:
T
tăng khi
)(5,125 lV
m
V
ứng với điểm F trên đoạn CA. Xét nhiệt lợng nhận đợc
Q
trong quá trình thể tích

tăng từ
V
đến
VV
+
(trên đoạn EF):
VPTRnQ +=
2
3
. Từ (1) và (2) tìm đợc
V
V
Q += )5,12
5
4
(
.
Dễ dàng thấy rằng, trong giai đoạn ECF luôn có
0>Q
. Trong giai đoạn này, nhiệt l-
ợng nhận đợc là:
AUQ +=
2
, với
JTTRnU
E
5,3187)(
2
3
max

==
A
= diện tích hình thang
)(5,2437 JVEFV
Em
=


JQ 56255,24375,3187
2
=+=
Tổng nhiệt lợng khí nhận đợc:
JQQQ 125.1056254500
21
=+=+=
Công sinh ra trong một chu trình:
=A
dt tam giác ABC dt tam giác CDE


JA 750
=
Hiệu suất của chu trình:
%41,7
10125
750
===
Q
A
H

Câu 3
ở thời điểm
0t
,
REi /
0
=
có chiều từ B đến A . Sau thời điểm
0=t
, dòng điện
trong mạch là
i
vẫn có chiều từ B đến A. Lúc buông tay, lực từ
Bilf =
vuông góc
với thanh AB, kéo AB theo chiều Ox.
Khi thanh chuyển động với vận tốc
v
trong từ trờng, xuất hiện sđđ cảm ứng trong
thanh:
cu


=
Blv
. Sđđ cảm ứng gây ra dòng cảm ứng trong thanh, chiều từ A đến B.
Dòng này làm giảm dòng
0
i
trong mạch, gây ra hiện tợng tự cảm trong cuộn dây L:

tc


=
dtLdi /
. Theo định luật Ohm

R
E
i
cutc

+
=
Từ đây

Bldt
Ldi
Bl
iR
Bl
E
v +=
và

dtRiBildxLidiEdt
22
)2/1( ++=
(1)
Có thể đoán nhận (1) nh sau:

iEdt
là năng lợng do nguồn E cung cấp. Nó hao tổn thành các dạng năng lợng khác:

t
dWLid = )2/1(
2
(di < 0 do i giảm) là năng lợng từ,

QdtRi

=
2
là nhiệt lợng toả ra trong mạch,

AfdxBildx

==
là công nguyên tố do lực từ làm dịch chuyển thanh AB.
Nh vậy, phơng trình (1) biểu thị định luật bảo toàn năng lợng trong mạch.
Chia hai vế phơng trình (1) cho
idt
, rồi đạo hàm hai vế kết quả thu đợc theo thời gian, sau
đó thay
Blfi /=
,
Blfi /''=
,
Blfi /'''' =
,

mfvx /''' ==
(vì
fmvma == '
), ta thu đợc
phơng trình

0'''
22
= f
mL
lB
f
L
R
f
(2)
Phơng trình (2) có nghiệm là:

+






= t
mL
lB
L
R
L
R
R
BlE
f
22
2
22
exp
(3)
Nghiệm có ý nghĩa vật lý lấy dấu (-)

}{
tft
mL
lB
L
R
L
R
R
BlE
f

=

+






= exp
22
exp
0
22
2
,
(4)

mL
lB
L
R
22
2
2
+

=

-
L
R
2
,
R
BlE
f =
0
Với điều kiện ban đầu
0=t
,
0=v
,
0=x
, bằng cách lấy tích phân


= dt
m
f
v
,

= vdtx
ta tìm đợc phơng trình chuyển động của thanh là:

{ }( )
1exp
2
0
+= tt
m
f
x


(5)
Câu 4
Dùng một cuộn dây bẹt có N vòng, có điện trở R, hai đầu đợc nối với điện kế xung
kích G. Lồng cuộn dây bẹt ra ngoài ống dây điện dài (có diện tích tiết diện là S) tại điểm
giữa. Gọi B là cảm ứng từ trong lòng ống dây điện dài mà ta cần xác định.
Từ thông qua ống dây bẹt:

BS=


Đột nhiên mở khoá K, s.đ.đ cảm ứng xuất hiện trong ống dây bẹt
dt
dB
NS
dt
d
N
c
==

Dòng điện cảm ứng tức thời chạy qua điện kế xung kích
dt
dB
R
NS
R
i
c
c
==

Vậy:
dq
NS
R
dti
NS
R
dB
c
==

=
q
B
dq
NS
R
dB

0
0
Suy ra
NS
Rq
B =
.
Biết R, N, S và đo đợc q thì ta tính đợc B.
2. Phải dùng thêm một cuộn dây bẹt có số vòng N và điện trở R đã biết và một ngắt điện K.
3. a) Phải đo tiết diện S của ống dây bằng cách dung thớc kẹp để đo đờng kính trong của
ống dây điện dài.
b) Phải đếm số vòng dây N của ống dây bẹt.
c) Phải đo điện trở R của ống dây bẹt bằng một mạch cầu điện trở.
4. Coi nh N không có sai số, ta có
S
S
R
R
q
q
B
B
+

+

=

Từ
2

rS

=
, ta có

r
r
S
S
=
2
Biết rằng sai số tỉ đối của phép đo đờng kính của ống, của phép đo điện tích và của phép đo
điện trở đều là 1%. Ta có
%4

B
B
===========================