Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên tỉnh Đồng Tháp năm học 2012 - 2013 môn Toán - Có đáp án

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỒNG THÁP

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2012 – 2013

ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm có 01 trang)
Đề thi môn: TOÁN
Ngày thi: 27/6/2012
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1: (2,0 điểm)
a. Tính giá trị của biểu thức
A 6 2 5 6 2 5
   
b. Với giá trị nào của x thì biểu thức sau có nghĩa:
B 2x 6 1 x
   

c. Chứng minh bất đẳng thức sau:

1 1 1
1
2 1 1 2 3 2 2 3 (n 1) n n n 1
    
    
(với
*
n N )


Câu 2: (2,0 điểm)
Cho hệ phương trình:
ax y 2a
x a 1 ay
 


  

(I)
a. Giải hệ phương trình (I) khi
a 3.


b. Tìm
a
để hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất.
c. Với giá trị nào của a thì hệ phương trình (I) có nghiệm nguyên. Tìm nghiệm nguyên đó.
Câu 3: (1,5 điểm)
Cho hai hàm số


y m 1 x 4 m
   
và
2
y x .

a. Xác định m để đồ thị hai hàm số cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng

3

.
b. Vẽ đồ thị hai hàm số đã cho trên cùng một mặt phẳng tọa độ với giá trị m tìm được ở câu a.
Câu 4: (1,5 điểm)
Cho phương trình
2
x 6x 1 0
  
(1). Gọi
1 2
x ,x
là hai nghiệm của phương trình (1), đặt
n n
n 1 2
S x x
  (với
n N; n 1)
 
.
a. Tính
1 2 3
S ; S ; S
.
b. Chứng minh rằng:
n 2 n 1 n
S 6S S
 
 
.

Câu 5: (3,0 điểm)
a. Tìm độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác ABC vuông tại A, biết đường cao
12
AH cm
5
 ;
BC 5cm.


b. Cho đường tròn (O). Từ một điểm M nằm bên ngoài đường tròn vẽ tiếp tuyến MA (A là
tiếp điểm). Tia MO cắt (O) tại B và C (B nằm giữa M và O); kẻ AH vuông góc BC
(H BC)

,
tia AH cắt (O) tại D
(D A).


b1. Chứng tỏ AMDO là tứ giác nội tiếp.
b2. Chứng minh
BM.CH BH.CM.

HẾT.

1/3
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỒNG THÁP

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2012 - 2013

HƯỚNG DẪN CHẤM THI ĐỀ THI CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
(Hướng dẫn chấm gồm có 03 trang)
I. Hướng dẫn chấm:
1. Nếu thí sinh làm bài theo cách khác so với hướng dẫn chấm nhưng lập luận chặt chẽ,
đưa đến kết quả đúng thì giám khảo chấm đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định.
2. Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm
sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong toàn Hội đồng chấm thi.
3. Đối với các câu hình học: nếu thí sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình không đúng thì
không chấm điểm bài làm.
II. Đáp án và thang điểm:
Câu 1: (2 điểm)
Đáp án Điểm

a.
(
)
A 6 2 5 6 2 5 5 1 5 1 2
= + − − = + − − =

0,5
b.
B có ngh
ĩ
a khi
2x 6 0 x 3
3 x 1
1 x 0 x 1
+ ≥ ≥ −

 
⇔ ⇔ − ≤ ≤
 
− ≥ ≤
 

0,5
Ta có:
( )
*
1 1 1
(k N )
k 1 k k k 1 k k 1
= − ∈
+ + + +

0,25
Khi
đ
ó:
1 1 1
2 1 1 2 3 2 2 3 (n 1) n n n 1
+ + ⋅⋅⋅ +
+ + + + +


=
1 1 1 1 1 1
1
2 2 3 3 n n 1

− + − + − ⋅⋅⋅ + −
+

0,25
c.
=
1
1 1
n 1
− <
+

*
1
do n N nên 0
n 1
 
∈ >
 
+
 

0,5
Câu 2: (2 điểm)

ax y 2a ax y 2a
x a 1 ay x ay 1 a
+ = + =
 
⇔

 
− = − + = +
 
(I)

Thay a = 3 vào h
ệ
(I), ta có:
3x y 6
x 3y 4
+ =


+ =


0,25
a.
7
x
4
3
y
4

=


⇔



=


V
ậ
y h
ệ
có nghi
ệ
m
7 3
;
4 4
 
 
 

0,25
b.
H
ệ
ph
ươ
ng trình (I) có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t khi:
a 1

1 a
≠
a 1
⇒ ≠ ±

0,5
2/3
Gi
ả
i h
ệ
(I) theo a ta
đượ
c
1
x 2
a 1
1
y 1
a 1

= −


+


= −

+



0,25
x, y nguyên khi
1
1
k
a
=
+
v
ớ
i
k
∈
»

0,25
1 k
a
k
−
⇔ = v
ớ
i
k
∈
»
và
0

k
≠

0,25
c.
H
ệ
có nghi
ệ
m nguyên
1
x 2
a 1
1
y 1
a 1

= −


+


= −

+

v
ớ
i

1 k
a
k
−
= ,
k
∈
»
và
0
k
≠

0,25
Câu 3: (1,5 điểm)
Ph
ươ
ng trình hoành
độ
giao
đ
i
ể
m:
2 2
x (m 1)x 4 m x (m 1)x 4 m 0
= + + − ⇔ − + − + =
(*)
0,5
a.

Thay
x 3
= −
vào ph
ươ
ng trình (*) ta có:
9 (m 1)( 3) 4 m 0 4m 8 m 2
− + − − + = ⇔ = − ⇔ = −

0,5
b.
V
ớ
i
m 2
= −
ta có hai hàm s
ố
là
y x 6
= − +
và
2
y x .
=

(Học sinh vẽ đúng đồ thị của mỗi hàm số được 0,25đ)
0,5
Câu 4: (1,5 điểm)
Pt:
2
x 6x 1 0
− + =

a.
1 1 2
2 2
2 1 2
3 3
3 1 2
S x x 6
S x x 34
S x x 198
= + =
= + =
= + =

0,75
n 2 n 2
n 2 1 2
S x x
+ +
+
= +


n 2 n 2 n 1 n 1 n 1 n 1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
x x x x x x x x x x
+ + + + + +
= + + + − −
0,25
b.


(
)
(
)
(
)
n 1 n 1 n n
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
x x x x x x x x x x
+ +
= + + + − +

0,25


n 1 n
6S S
+
= −

0,25


10
8
6
4
2
2
5 5

3/3
Câu 5: (3 điểm)
Đặ
t
AB x
=
;
AC y
=
(
)

0 x, y 5
< <


Theo h
ệ
th
ứ
c l
ượ
ng và
đị
nh lí Py-ta-go ta có h
ệ
:
2 2
x.y 12
x y 25
=


+ =


0,5
a.
Gi
ả
i h
ệ

ta
đượ
c:
x 3
y 4
=


=

hay
x 4
y 3
=


=


V
ậ
y hai c
ạ
nh góc vuông có
độ
dài là 4cm và 3cm.
0,5
b1.
Ch
ứ

ng minh
đượ
c


o
MAO MDO 90
= =

0,5
Xét t
ứ
giác AMDO có:



o
MAO MDO 180
+ =

nên AMDO là t
ứ
giác n
ộ
i ti
ế
p
0,25
b2.
Ch

ứ
ng minh
đượ
c AB là
đườ
ng phân giác trong
c
ủ
a
MAH
∆

0,25
AM BM
AH BH
⇒
= (1) (tính ch
ấ
t
đườ
ng phân giác)
0,25
Ch
ứ
ng minh
đượ
c AC là
đườ
ng phân giác ngoài
c

ủ
a
MAH
∆

0,25
AM CM
AH CH
⇒
= (2) (tính ch
ấ
t
đườ
ng phân giác)
0,25
b.









T
ừ
(1) và (2) suy ra:
BM CM
BH CH

=
hay
BM.CH BH.CM
=


(Học sinh giải mà không ghi đầy đủ căn cứ đạt
50% số điểm)


0,25

HẾT
12
5
5cm
H
A
B
C
H
D
C
B
O
A
M