ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2014 – 2015 TRƯỜNG THCS TRUNG PHÚ

TRNG THCS TRUNG PH
THI CHN I TUYN HC SINH GII LP 9 NM HC 2014 2015
TON 9
(Thi gian lm bi 120 phỳt)
Bi 1.
a, Rỳt gn cỏc biu thc sau:
C=
6 2( 6 3 2) 6 2( 6 3 2)
2
+ + + +
b, So sỏnh:
6 20 1 6v+ +
;
c, Chng minh rng:
5 3 29 12 5
= tan45
0
Bi 2. Gii phng trỡnh:
2012 2013 2014
3
1 1
x x x
m m m
+ + +
+ + =
+
(Vi m l tham s).
Bi 3. Cho a, b, c > 0. Chng minh rng:
2 2 2
) 2
)

1 1 1
a b c
a
a b b c c a
a b c a b c
b
b c c a a b a b c
+ + <
+ + +
+ + + +
+ + + + + +
Bi 4. Cho tam giỏc ABC vuụng ti A (AC > AB), ng cao AH (H

BC). Trờn tia
HC ly im D sao cho HD = HA. ng vuụng gúc vi BC ti D ct AC ti E.
1. Chng ming rng hai tam giỏc BEC v ADC ng dng. Tớnh di on
thng BE theo
m AB
=
.
2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC
đồng dạng. Tính số đo của góc AHM
3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh:
GB HD
BC AH HC
=
+
.
Bi 5 :
Chng minh rng :

4 4 4 4
1 2 3 4
k k k k
+ + +
khụng chia ht cho 5 vi mi kN
+ Hai tam gi¸c ADC vµ BEC cã:
Gãc C chung.

CD CA
CE CB
=
(Hai tam gi¸c vu«ng CDE vµ CAB ®ång
d¹ng)
Do ®ã, chóng dång d¹ng (c.g.c).
Suy ra:
·
·
0
135BEC ADC= =
(v× tam gi¸c AHD vu«ng c©n t¹i H theo gi¶ thiÕt).
Nªn
·
0
45AEB =
do ®ã tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i A. Suy ra:
2 2BE AB m= =
1.5®iÓm
1®iÓm
Ta cã:
1 1

2 2
BM B E AD
BC BC AC
= × = ×
(do
BEC ADC∆ ∆:
)
mµ
2AD AH=
(tam gi¸c AHD vu«ng c©n t¹i H)
nªn
1 1 2
2 2
2
BM AD AH BH BH
BC AC AC BE
AB
= × = × = =
(do
ABH CBA∆ ∆:
)
Do ®ã
BHM BEC∆ ∆:
(c.g.c), suy ra:
·
·
·
0 0
135 45BHM BEC AHM= = ⇒ =
1.5®iÓm

1®iÓm
Tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i A, nªn tia AM cßn lµ ph©n gi¸c gãc BAC.
Suy ra:
GB AB
GC AC
=
, mµ
( ) ( )
//
AB ED AH HD
ABC DEC ED AH
AC DC HC HC
= ∆ ∆ = =:
Do ®ã:
GB HD GB HD GB HD
GC HC GB GC HD HC BC AH HC
= ⇒ = ⇒ =
+ + +
1®iÓm