de thi chon doi tuyen hoc sinh gioi

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI TỈNH
Thời gian: 150 phút - Năm học: 2008 - 2009
––––––––––
Bài 1: (8 điểm)
a. Giải phương trình
4 4 4 6x x x x+ − + + − =
b. Tìm các giá trị của a để hệ sau có đúng 2 nghiệm
2 2
2
2(1 )
( ) 4
x y a
x y

+ = +


+ =


Bài 2: (6 điểm)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho A (1;2), B(0;1), C(-2;1)
a. Viết phương trình đường tròn (T) ngoại tiếp tam giác ABC.
b. Giả sử M là điểm chuyển động trên (T). Chứng minh rằng trọng tâm G của tam giác
ABC thuộc một đường tròn cố định. Viết phương trình đường tròn đó.
Bài 3: (2 điểm)
Cho tam giác ABC. Gọi m
a
, m
b

, m
c
lần lượt là độ dài các đường trung tuyến thuộc
các cạnh BC = a, CA = b, AB = c và có m
c
=
3
2
c
.
Chứng minh rằng: m
a
+ m
b
+ m
c
=
3
( )
2
a b c+ +
Bài 4: (4 điểm)
Cho hai số thực x, y dương thoả mãn điều kiện x + y ≤ 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2
1 1
4P xy
x y xy
= + +
+

ĐÁP ÁN VÀ SƠ LƯỢC - THANG ĐIỂM
––––––––––
Bài 1: (8 điểm)
a. (3 điểm) ĐK: x ≥ 4 (0,5 điểm)
2
( 4 2) 4 6x x x− + + + − =
(2 điểm)
⇔ 2 4 4x x− = − ⇔ x = 4
b. Cách 1:
2 2
2
2(1 ) 1
2
( ) 4
x y a x y a
x y
x y

+ = + + = −


⇔
 
+ = ±
+ =



(2 điểm)

Vậy x và y là nghiệm của phương trìnb bậc 2:
2
2
2 1 0 (1)
2 1 0 (2)
X X a
X X a

− + − =

+ + − =

(1 điểm)
Hệ đã cho có 2 nghiệm ⇔ (1) và (2) đều có nghiệm kép
⇔ ∆'
(1)
=∆'
(2)
= 0 (2 điểm)
⇔ a = 0
Cách 2: Sử dụng tính đối xứng giữa các nghiệm.
Cách 3: Dùng đồ thị.
Bài 2: (6 điểm)
a. E(x;y) tâm đường tròn (T) ⇔ EA
2
= EB
2
= EC
2
(1 Điểm)

⇔ (x-1)
2
+ (y-2)
2
= x
2
+ (y - 1)
2
= (x+2)
2
+ (y-1)
2
⇔
2 2 2 2
2 2 2 2
( 1) ( 2) ( 1) 1
3
( 2) ( 1) ( 1)
x y x y x
y
x y x y

− + − = + − = −


⇔
 
=
+ + − = + −




Vậy (T) có phương trình: (x+1)
2
+ (y-3)
2
= 5 (1 điểm)
Đường tròn (T) có tâm E (-3;1) bán kính R =
5
b. Gọi I là trung điểm BC ta có: I (-1; 1) (1 điểm)
Kẻ GK // ME, K ∈ EI
KE = -2 KI ⇒ K (-1;
5
3
) (2 điểm)
Mặt khác: KG =
1 5
3 3
EM =

Vậy trọng tâm G của tam giác MBC nằm trên
đường tròn tâm K, bán kính
5
3
(1 điểm)
Phương trình đường tròn này là: (x+1)
2
+ (y-
5
3

)
2
=
5
9
Bài 3: (2 điểm)
Ta có m
c
=
3
2
c
⇒ m
c
2
=
2 2 2
2 2 2 2 2
3 2( ) 3
2
4 4 4
a b c
c c a b c
+ −
⇔ = ⇔ + =
(1 điẻm)
⇒
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2

3
4 3
2( ) 3
2
2( ) 3 4 3
3
2
a
a
b
b
m b
m b
b c a b
a c b a m a
m a

=



=
+ − =
  
⇒ ⇒
  
+ − = =






=


(1 điểm)
⇒ m
a
+ m
b
+ m
c
=
3
( )
2
a b c+ +
Bài 4: (4 điểm)
+ Trước hết ta chứng minh:
1 1 4
, , 0 (1)a b
a b a b
+ ≥ ∀ >
+
(1 điểm)
+ Áp dụng (1) vào biểu thức P ta được
2 2
1 1
4P xy
x y xy

= + +
+
=
2 2
1 1 1 1
4
2 4 4
xy
x y xy xy xy
   
+ + + +
 ÷  ÷
+
   
(1 điểm)
≥
2 2
4 1
2
2 4x y xy xy
+ +
+ +
(1 điểm)
≥
2 2 2
4 1 5
2 2 7
( ) ( ) ( )x y x y x y
+ + = + ≥
+ + +

Vậy Min P = 7 khi x = y =
1
2
(1 điểm)