ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 CẤP TỈNH HÀ TĨNH

SỞ GD – ĐT HÀ TĨNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2013 -2014
MÔN: TOÁN – LỚP 9
Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1:
a) Giải phương trình:
2
2 2 1 1x x− = +
b) Giải hệ phương trình:
3 2
3 2
3 2
2
x xy y
y x y x

+ =


+ = −


Câu 2:
a) Cho
, ,a b c R∈
thoả mãn:
2 2 2 3 3 3
1a b c a b c+ + = + + =
Tính:
2012 2013 2014
P a b c= + +

b) Cho x, y > 0. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2 2 2
2 2 2 2 2
4
( )
x y x y
P
y x x y
= + +
+
Câu 3:
Giả sử phương trình:
2 2 2
3
x y z
yz xz xy
+ + =
có 3 nghiệm không đồng thời
bằng nhau (a ; b; c); (p; q; r);
( ; ; )
a b c
p q r
.
Chứng minh rằng:
2 2 2
( ; ; )ap bq cr
cũng là nghiêm của phương trình đó.
Câu 4:
Cho tam giác ABC có AB = AC = a.

0 0
(0 ;90 )ABC ACB
α
∠ = = ∈
. Gọi M là
trung điểm của BC. Góc xMy quay quanh điểm M sao cho Mx; My lần lượt cắt
AB; AC tại D; E.
a) Tính BD.CE theo
;a
α
b) Gọi
( ; )d M DE
= R(khoảng cách từ M đến DE). Chứng minh rằng AB,
AC là các tiếp tuyến của (M; R)
c) Tìm vị trí của DE để
ADE
S
lớn nhất.
Câu 5: Cho 2014 điểm phân biệt trên đường tròn bán kính R = 1 sao cho
khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ là
3
. Chứng minh có thể chọn ra 672 điểm
sao cho bất cứ bộ ba điểm nào cũng là 3 đỉnh của một tam giác có một góc lớn
hơn 120
0
.
………………………Hết……………………
Họ và tên: ……………………………………………………………………
Số báo danh:…………………………………………………………………