Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán lớp 12 năm 2011 - 2012

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011-2012
MÔN THI: TOÁN
Ngày thi thứ nhất: 19 - 10 - 2011
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút.
Bài 1: (4 điểm)
Giải hệ phương trình sau :
y1 x
2
2
2
x (y 1)
2x 9x 6
4x 18x 20 y 1
2x 9x 8
+
⎧
=+
⎪
⎨
−+
−+−+ =+
⎪
−+
⎩

Bài 2: (4 điểm)
Cho hai đường tròn và cắt nhau tại A và B. Trên tia đối của tia AB lấy điểm
M. Cát tuyến qua B cắt
(
và

(
lần lượt tại C và D (B nằm giữa C và D). Đường
thẳng MC cắt
(
tại P khác C. Đường thẳng MD cắt
(
1
O
1
O
)
)
)
)
)
(
2
O
2
O
1
O
(
)
2
O
tại Q khác D. Gọi O là tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD, E là giao điểm của PB và AC, F là giao điểm của
QB và AD. Chứng minh rằng MO vuông góc với EF .
Bài 3: (4 điểm)

Cho a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng:
1113
(1) (1) (1)1ab bc ca abc
++≥
++++


Bài 4: (4 điểm)
Cho đa thức . Giả sử
P(
có đủ 2012 nghiệm
thực. Chứng minh rằng trong các nghiệm của
P(
có ít nhất một nghiệm thoả
mãn
2012 2010
P(x) x mx m (m 0)=− + ≠
x)
x)
0
x
0
x2≤ .
Bài 5: (4 điểm)
Cho các số nguyên x, y. Biết rằng: x
2
– 2xy + y
2
– 5x + 7y
và x

2
– 3xy + 2 y
2
+ x – y đều chia hết cho 17.
Chứng minh rằng: xy – 12x + 15y chia hết cho 17.
HẾT



www.VNMATH.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011–2012
MÔN THI: TOÁN
Ngày thi thứ nhì: 20 – 10 – 2011
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút.
Bài 1: (4 điểm)
Tìm tất cả các hàm thỏa mãn: f:R R→

()
()
()
(
)
2
ffx y fx y 4yfx+= −+ với x,y R
∀
∈ .
Bài 2: (4 điểm)
Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh rằng:
222

222222222
ab bc ca a b c
a2bcb2cac2ab 4
+
+
++≤
++ ++ ++

Bài 3: (4 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Trên các cạnh AC và AB lần lượt lấy các
điểm P và Q. Gọi M, N, J lần lượt là trung điểm của BP, CQ và PQ. Đường tròn ngoại tiếp
tam giác MNJ cắt PQ tại R. Chứng minh rằng OR vuông góc với PQ.

Bài 4: (4 điểm)
Cho dãy số (u
n
) định bởi
1
4
n
n1
42
nn
4
u
5
u
u
u8u8
+

⎧
=
⎪
⎪
⎨
⎪
=∀
⎪
−+
⎩
nN*∈

Hãy lập công thức tính số hạng tổng quát u
n

theo n.


Bài 5: (4 điểm)

Tìm tất cả các số nguyên dương a, b sao cho:
(ab)
2
– 4(a + b) là bình phương của một số nguyên.


HẾT


www.VNMATH.com