TUYỂN CHỌN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 SỐ 4

TUYỂN CHỌN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7
Đề 4
Bài 1: (2 điểm)
Cho A = 2-5+8-11+14-17+…+98-101
a, Viết dạng tổng quát dạng thứ n của A
b, Tính A
Bài 2: ( 3 điểm)
Tìm x,y,z trong các trờng hợp sau:
a, 2x = 3y =5z và
2x y
−
=5
b, 5x = 2y, 2x = 3z và xy = 90.
c,
1 2 3 1y z x z x y
x y z x y z
+ + + + + −
= = =
+ +
Bài 3: ( 1 điểm)
1. Cho
3 8 9
1 2
2 3 4 9 1

a a a
a a
a a a a a
= = = = =
và (a
1

+a
2
+…+a
9
≠0)
Chứng minh: a
1
= a
2
= a
3
=…= a
9
2. Cho tỉ lệ thức:
a b c a b c
a b c a b c
+ + − +
=
+ − − −
và b ≠ 0
Chứng minh c = 0
Bài 4: ( 2 điểm)
Cho 5 số nguyên a
1
, a
2
, a
3
, a
4

, a
5
. Gọi b
1
, b
2
, b
3
, b
4
, b
5
là hoán vị của 5 số đã
cho.
Chứng minh rằng tích (a
1
-b
1
).(a
2
-b
2
).(a
3
-b
3
).(a
4
-b
4

).(a
5
-b
5
)
M
2
Bài 5: ( 2 điểm)
Cho đoạn thẳng AB và O là trung điểm của đoạn thẳng đó. Trên hai nửa mặt
phẳng đối nhau qua AB, kẻ hai tia Ax và By song song với nhau. Trên tia Ax lấy hai
điểm D và F sao cho AC = BD và AE = BF.
Chứng minh rằng : ED = CF.
=== Hết===
Đề 4
Bài Nội dung cần đạt Điểm
1.1
Số hạng thứ nhất là (-1)
1+1
(3.1-1)
1
Số hạng thứ hai là (-1)
2+1
(3.2-1) …
Dạng tổng quát của số hạng thứ n là: (-1)
n+1
(3n-1)
1.2 A = (-3).17 = -51 1
2.1
2
3 4

x y
=
, 3y = 5z. Nếu x-2y = 5 ị x= -15, y = -10, z = -6 0,5
Nếu x-2y = -5 ị x= 15, y = 10, z = 6 0,5
2.2
2 5
x y
=
ị
2
4 10
x xy
=
=9 ị x = ±6 0,5
Ta có 2x = 3z nên x
1
= 6; y
1
= 15; z
1
= 4 và 0,25
x
1
= -6; y
1
= -15; z
1
= -4 0,25
2.3
1y z

x
+ +
=
2x z
y
+ +
=
3x y
z
+ −
=
1
x y z
+ +
=2 0,5
ị x+y+z = 0,5 ị
0,5 1 0,5 2 0,5 3x y z
x y z
− + − + − −
= =
= 2 0,5
ị x =
1
2
; y =
5
6
; z = -
5
6

0,5
3.1
3 8 9 1 2 9
1 2
2 3 4 9 1 1 2 9

1

a a a a a a
a a
a a a a a a a a
+ + +
= = = = = = =
+ + +
(vì a
1
+a
2
+…+a
9
≠0) 0,25
ị a
1
= a
2
; a
2
= a
3
; … ;a

9
= a
1
0,25
ị a
1
= a
2
= a
3
=…= a
9
3.2
( ) ( )
( ) ( )
a b c a b c a b c a b c
a b c a b c a b c a b c
+ + − + + + − − +
= =
+ − − − + − − − −
=
2
1
2
b
b
=
(vì b≠0) 0,25
ị a+b+c = a+b-c ị 2c = 0 ị c = 0 0,25
4.1

Đặt c
1
= a
1
-b
1
; c
2
= a
2
-b
2
;…; c
5
= a
5
-b
5
0,25
Xét tổng c
1
+ c
2
+ c
3
+…+ c
5
= (a
1
-b

1
)+( a
2
-b
2
)+…+( a
5
-b
5
) = 0 0,25
ị c
1
; c
2
; c
3
; c
4
; c
5
phải có một số chẵn 0,25
ị c
1
. c
2
. c
3
. c
4
. c

5

M
2 0,25
4.2
∆AOE = ∆BOF (c.g.c) ị O,E,F thẳng hàng và OE = OF
0,5
∆AOC = ∆BOD (c.g.c) ị C,O,D thẳng hàng và OC = OD
∆EOD = ∆FOC (c.g.c) ị ED = CF
Đề 5
Bài Nội dung cần đạt Điểm
1.1 Số bị chia = 4/11 0,5
Số chia = 1/11 0,25
Kết quả = 4 0,25
1.2
Vì |2x-27|
2007
≥ 0 ∀x và (3y+10)
2008
≥ 0 ∀y
0,25
ị |2x-27|
2007
= 0 và (3y+10)
2008
= 0
0,25
x = 27/2 và y = -10/3 0,5
1.3
Vì 00≤

ab
≤99 và a,b ẻ N
0,25
ị 200700 ≤
2007ab
≤ 200799
0,25
ị 447
2
<
2007ab
< 449
2
0,25
ị
2007ab
= 448
2
ị a = 0; b= 4
0,25
2.1
Đặt
1 2 3
2 3 4
x y z
k
− − −
= = =
0,25
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau … k = -2 0,5

X = -3; y = -4; z = - 5 0,25
2.2
Từ giả thiết suy ra b
2
= ac; c
2
= bd; ị
a b c
b c d
= =
0,25
Ta có
3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3
a b c a b c
b c d b c d
+ +
= = =
+ +
(1)
0,25
Lại có
3
3
. . . .
a a a a a b c a
b b b b b c d d
= = =
(2)
0,25

Từ (1) và (2) suy ra:
3 3 3
3 3 3
a b c a
b c d d
+ +
=
+ +
0,25
3.1
Ta có:
1
1
>
1
10
;
1
2
>
1
10
;
1
3
>
1
10
…
1

9
>
1
10
;
1
10
=
1
10
0,5
1 1 1 1
10
1 2 3 100
+ + + + >
0,5
3.2
Ta có C = -18 - (
2 6 3 9x y
− + +
) Ê -18
0,5
Vì
2 6x
−
≥0;
3 9y
+
≥0
0,25

Max C = -18 ⇔
2 6 0
3 9 0
x
y
− =


+ =

x = 3 và y = -3
0,25
4.1
∆ABH = ∆CAK (g.c.g) ị BH = AK
4.2
∆MAH = ∆MCK (c.g.c) ị MH = MK (1)
ị góc AMH = góc CMK ị góc HMK = 90
0
(2)
Từ (1) và (2) ị ∆ MHK vuông cân tại M