Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 7 số 10

THI HC SINH GII TON LP 7
Đề số 10
Thời gian làm bài 120 phút
Bài 1(2 điểm). Cho
5 2 .A x x= + +
a.Viết biểu thức A dới dạng không có dấu giá trị tuyệt đối.
b.Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Bài 2 ( 2 điểm)
a.Chứng minh rằng :
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1

6 5 6 7 100 4
< + + + + <
.
b.Tìm số nguyên a để :
2 9 5 17 3
3 3 3
a a a
a a a
+ +
+
+ + +
là số nguyên.
Bài 3(2,5 điểm). Tìm n là số tự nhiên để :
( ) ( )
5 6 6 .A n n n= + + M
Bài 4(2 điểm) Cho góc xOy cố định. Trên tia Ox lấy M, Oy lấy N sao cho OM +
ON = m không đổi. Chứng minh : Đờng trung trực của MN đi qua một điểm cố định.
Bài 5(1,5 điểm). Tìm đa thức bậc hai sao cho :
( ) ( )

1 .f x f x x =
.
áp dụng tính tổng : S = 1 + 2 + 3 + + n.
Hết
H ớng dẫn giải đề số 10
Bài 1.a. Xét 2 trờng hợp :
*
5x

ta đợc : A=7.
*
5x
<
ta đợc : A = -2x-3.
b. Xét
5x
<

2 10 2 3 10 3x x
> >
hay A > 7. Vậy : A
min
= 7 khi
5x

.
Bài 2. a. Đặt : A =
2 2 2 2
1 1 1 1

5 6 7 100
+ + + +
Ta có :
* A <
1 1 1 1

4.5 5.6 6.7 99.100
+ + + +
=
1 1 1 1 1 1

4 5 5 6 99 100
+ + +
=
1 1 1
4 100 4
<
* A >
1 1 1 1 1 1 1

5.6 6.7 99.100 100.101 5 101 6
+ + + + = >
.
b. Ta có :
2 9 5 17 3
3 3 3
a a a
a a a
+ +
+

+ + +
=
4 26
3
a
a
+
+
=
=
4 12 14 4( 3) 14 14
4
3 3 3
a a
a a a
+ + + +
= = +
+ + +
là số nguyên
Khi đó (a + 3) là ớc của 14 mà Ư(14) =
1; 2; 7; 14
.
Ta có : a = -2;- 4;- 1; - 5; 4 ; - 10; 11 ; -17.
Bài 3. Biến đổi :
( )
12 1 30.A n n n= + +
Để
( )
6 1 30 6A n n n n

+

M M
*
( )
1 30n n n n M M
n

Ư(30) hay n

{1, 2 , 3, 5 , 6 , 10 , 15 , 30}.
*
( ) ( )
30 6 1 6 1 3n n n n M M M
+
{ }
3 3,6,15,30 .n n =M
+
( ) { }
1 3 1,10 .n n =M

n

{1 , 3 , 6 , 10 , 15 , 30}.
-Thử từng trờng hợp ta đợc : n = 1, 3, 10, 30 thoã mãn bài toán.
Bài 4.
-Trên Oy lấy M sao cho OM = m. Ta có :
N nằm giữa O, M và MN = OM.
-Dựng d là trung trực của OM và Oz là
phân giác của góc xOy chúng cắt nhau tại D.

-
' ( . . )ODM M DN c g c MD ND= =V V

D thuộc trung trực của MN.
-Rõ ràng : D cố định. Vậy đờng trung trực của MN đi qua D cố định.
Bài 5. -Dạng tổng quát của đa thức bậc hai là :
( )
2
f x ax bx c= + +
(a

0).
- Ta có :
( ) ( ) ( )
2
1 1 1f x a x b x c = + +
.
-
( ) ( )
1 2f x f x ax a b x = + =

2 1
0
a
b a
=



=

1
2
1
2
a
b

=



=


Vậy đa thức cần tìm là :
( )
2
1 1
2 2
f x x x c= + +
(c là hằng số).
áp dụng :
+ Với x = 1 ta có :
( ) ( )
1 1 0 .f f=
+ Với x = 2 ta có :
( ) ( )
1 2 1 .f f=
.

+ Với x = n ta có :
( ) ( )
1 .n f n f n=

S = 1+2+3++n =
( ) ( )
0f n f
=
( )
2
1
2 2 2
n n
n n
c c
+
+ + =
.
L u ý : Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. Bài hình không vẽ hình
không chấm điểm.



x
z

d
d
m
n

i
y
m'
o