Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 7 số 23

THI HC SINH GII TON LP 7
Đề 23
Thời gian: 120 phút

Câu 1: (3đ)
a. Tính A =
( )
2 2 1 3
1
1 4 5 2
0, 25 . . . .
4 3 4 3



ữ ữ ữ ữ

b. Tìm số nguyên n, biết: 2
-1
.2
n
+ 4.2
n
= 9.2
5
c. Chứng minh với mọi n nguyên dơng thì: 3
n+3
-2
n+2
+3
n

-2
n
chia hết cho 10
Câu 2: ((3đ)
a. 130 học sinh thuộc 3 lớp 7A, 7B, 7C của một trờng cùng tham gia trồng cây.
Mỗi học sinh của lớp 7A, 7B, 7C theo thứ tự trồng đợc 2cây, 3 cây, 4 cây. Hỏi mỗi
lớp có bao nhiêu học sinh tham gia trồng cây? Biết số cây trồng đợc của 3 lớp bằng
nhau.
b. Chứng minh rằng: - 0,7 ( 43
43
- 17
17
) là một số nguyên
Câu 3: (4đ ) Cho tam giác cân ABC, AB=AC. Trên cạnh BC lấy điểm D. Trên Tia
của tia BC lấy điểm E sao cho BD=BE. Các đờng thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và
E cắt AB và AC lần lợt ở M và N. Chứng minh:
a. DM= ED
b. Đờng thẳng BC cắt MN tại điểm I là trung điểm của MN.
c. Đờng thẳng vuông góc với MN tại I luôn luôn đi qua một điểm cố định khi D
thay đổi trên BC.
Hết
h ớng dẫn đề 23
Câu 1: (3đ)
b/ 2
-1
.2
n
+ 4.2
n
= 9.2

5
suy ra 2
n-1
+ 2
n+2
= 9.2
5
0,5đ
suy ra 2
n
(1/2 +4) = 9. 2
5
suy ra 2
n-1
.9 =9. 2
5
suy ra n-1 = 5 suy ra n=6. 0,5đ
c/ 3
n+2
-2
n+2
+3
n
-2
n
=3
n
(3
2
+1)-2

n
(2
2
+1) = 3
n
.10-2
n
.5 0,5đ
vì 3
n
.10
M
10 và 2
n
.5 =
2n-1
.10
M
10 suy ra 3
n
.10-2
n
.5
M
10 0,5đ
Bài 2:
a/ Gọi x, y, z lần lợt là số học sinh của 7A, 7B, 7C tham gia trồng cây(x, y, zz
+
) ta
có: 2x=3y = 4z và x+y+z =130 0,5đ

hay x/12 = y/8 = z/6 mà x+y+z =130 0,5đ
suy ra: x=60; y = 40; z=30
-7(43
43
-17
17
)
b/ -0,7(43
43
-17
17
) = 0,5đ10
Ta có: 43
43
= 43
40
.43
3
= (43
4
)
10
.43
3
vì 43
4
tận cùng là 1 còn 43
3
tận cùng là 7 suy ra 43
43

tận cùng bởi 7
17
17
= 17
16
.17 =(17
4
)
4
.17 vì 17
4
có tận cùng là 1 suy ra (17
4
)
4
có tận cùng là 1 suy ra
17
17
= 17
16
.17 tận cùng bởi 7 0,5đ
suy ra 43
43
và 17
17
đều có tận cùng là 7 nên 43
43
-17
17
có tận cùng là 0 suy ra 43

43
-17
17

chia hết cho 10 0,5đ
suy ra -0,7(43
43
-17
17
) là một số nguyên.
Bài 3: 4đ( Học sinh tự vẽ hình)
a/ MDB= NEC suy ra DN=EN 0,5đ
b/ MDI= NEI suy ra IM=IN suy ra BC cắt MN tại điểm I là trung điểm của MN
0,5đ
c/ Gọi H là chân đờng cao vuông góc kẻ từ A xuống BC ta có AHB= AHC suy ra
HAB=HAC 0,5đ
gọi O là giao AH với đờng thẳng vuông góc với MN kẻ từ I thì
OAB= OAC (c.g.c) nên OBA = OCA
(1)
0,5đ
OIM= OIN suy ra OM=ON 0,5đ
suy ra OBN= OCN (c.c.c) OBM=OCM
(2)
0,5đ
Từ (1) và (2) suy ra OCA=OCN=90
0
suy ra OC AC 0,5đ
Vậy điểm O cố định.