Đề thi học sinh giỏi Giải toán trên Máy tính Casio cấp tỉnh Đồng Tháp môn Toán 12 (2011 - 2012)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH
ĐỒNG THÁP GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO
ĐỀ THI CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2011- 2012
Lớp 12 THPT
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 27/11/2011
Chú ý: - Đề thi gồm 3 trang
- Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản đề thi này
Điểm của toàn bài thi Các giám khảo
(Họ, tên và chữ ký)
Số phách
(Do Chủ tịch Hội đồng chấm thi ghi)
Bằng số Bằng chữ
Giám khảo 1:
Giám khảo 2:
Qui định: Học sinh trình bày vắn tắt cách giải, công thức áp dụng, kết quả tính toán vào ô trống
liền kề bài toán. Các kết quả tính gần đúng, nếu không có chỉ định cụ thể, được ngầm định chính
xác tới 9 chữ số phần thập phân sau dấu phẩy.
Bài 1 . (5 điểm) Cho hàm số
)1(log1
2
)(
3
2
++++
=
+
xxx
xf
xx

1.1 Hãy tính giá trị gần đúng của
( )( )( )
  
5
1 fffS =
Cách giải Kết quả
.Nhập hàm
)1(log1
2
)(
3
2
++++
=
+
xxx
xf
xx
.Sử dụng CALC nhập
1=x

.Thực hiện liên tiếp các phép gán và tính giá trị hàm

Af →)1(
BAf →)(
CBf →)(
DCf →)(
.Khi đó S =
)(Df

491,8941147
1.2 Hãy tính giá trị gần đúng của
)10( )2()1(
///
fffP +++=
với
)(
/
xf
là đạo hàm của
hàm số
)(xf
.
Cách giải Kết quả
.Sử dụng truy hồi
BA →→ 0,0
.Nhập
:1+= AA
ByBA
xxx
dx
d
y
xx
+=









++++
=
+
:,
)1(log1
2
3
2
.Thực hiện phím = đến khi
10
=
A

995222,1008≈P
Bài 2. (5 điểm)
1.1
Cách giải Kết quả
1.2
Cách giải Kết quả
Bài 3. (5 điểm) Tìm nghiệm gần đúng (theo đơn vị độ, phút, giây) của phương trình
027cos6cos34cos213cos4cos
23
=−++++ xxxxx
Cách giải Kết quả
Thay thế
xxx

xxxxx
cos3cos43cos
1cos8cos81)1cos2(212cos24cos
3
24222
−=
+−=−−=−=
Đặt
1,cos ≤= txt
Khi đó ta có phương trình

7075563476,0
0)13898)(2(
026326258
23
234
≈⇔
=−+++⇔
=−+++
t
tttt
tttt
Suy ra
'''0
82,485744±≈x
• Có thể dùng SOLVE để giải


0'''0
360.495744 kx +±≈

Bài 4. (5 điểm).Giải phương trình
Cách giải Kết quả
.Nhập vào biểu thức
.Sử dụng phím SHIFT SOLVE
.Nhập vào các giá trị đầu :
.Ta được các nghiệm x tương ứng
Bài 5. (5 điểm) Cho dãy số
)(
n
u

Cách giải Kết quả
Bài 6. (5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ
trục Oxy cho điểm C(2; 0) và Elip (E):
1
4
2
2
=+ y
x
. Tìm tọa độ các điểm A, B thuộc
(E) biết rằng CA=CB và gó
0
90=
∧
ACB
.
Cách giải Kết quả
.Giả sử

.Vì CA=CB nên
);(
00
yxB −
.Gọi H là chân đường cao hạ từ đỉnh C
⇒
H(x
0
; 0)
.HA=HB




=→=
=
=+−⇔
−=−⇔−=⇔
5
4
)(
5
6
)(2
012165
)2(242
00
0
0
2

0
0
2
000
ythx
lx
xx
xxxy

Vậy






−






5
4
;
5
6
;
5

4
;
5
6
BA
hoặc












−
5
4
;
5
6
;
5
4
;
5
6

BA






−






5
4
;
5
6
;
5
4
;
5
6
BA

hoặc













−
5
4
;
5
6
;
5
4
;
5
6
BA
Bài 7. (5 điểm) Giải hệ phương trình:





=+++

=
++
0log)1(loglog
7812525
2011
1
22
40441212011
24
5
3313
yxx
y
xx
Cách giải Kết quả
.Điều kiện
0, >yx
.Biến đổi hệ phương trình, ta được






=+
=
++
yxx
yxx
2011

2
2011
35)3313(2
log)1(log
55
24



+=
=++
⇔
xxy
yxx
3
24
356626
.Khi đó ta có
063562356
234
=+−+− xxxx

0)316236)(2(
23
=−+−−⇔ xxxx

Chú ý: Hs có thể giải phương trình bằng nhiều cách







27
10
;
3
1






8
5
;
2
1
( )
10;2
( )
30;3
Bài 8. (5 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh
cma 25,3=
. Tính gần đúng diện tích phần chung
của 4 hình tròn có tâm lần lượt là các điểm A, B, C, D và có cùng bán kính là a (phần tô trên hình
vẽ).

Cách giải Kết quả

Ta có
MCD∆
đều suy ra :
4
3
2
a
S
MDC
=
∆
.Diện tích hình quạt :
6
2
a
S
DCM
π
=
∇

.Diện tích hình cung :
∩
MC
S
=
4
3
6
22

aa
−
π
.Diện tích phần tô đậm








−=








−−−=
−−=
∩
∆∇
124
3
4
3
6

2
4
3
4
2
4
1
2
2222
πππ
a
aaaa
SSSS
MC
MDCACD
.Vậy diện tích cần tìm bằng
32873748,33
3
14
2
≈






−+=−
π
aSS

ABCD
32873748,3≈S
Bài 9. (5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, mặt bên
SAD là tam giác đều và vuông góc với (ABCD). Biết
cmCDcmADAB 12,6;48,12 ===
. Tính
khoảng cách từ điểm B đến (SAC).
Cách giải Kết quả
Gọi
48,12=a
và
12,6=b
.
.Thể tích hình chóp S.ABC :
24
3
.
3
1
3
.
a
SSHV
ABCABCS
==
∆

.Diện tích tam giác SAC :
2
22

22
1






−+=
∆
a
baaS
SAC
.Khoảng cách từ B đến (SAC) bằng
( )
22
3
2
22
3
432
3
22
1
.
24
3
.3
3
)(,

ba
a
a
baa
a
S
V
SACBd
SAC
SABC
+
=






−+
==
∆
76533562,67=d
cm
Bài 10. (5 điểm) Tìm số dư trong các phép chia sau 1234567890987654321 chia cho 207207
Cách giải Kết quả
Ta cắt ra thành nhóm đầu 9 chữ số rồi tìm số dư của phép chia
123456789 cho 207207 được:
123456789 – 207207 x 595 = 168624
Viết liên tiếp sau số dư đó các số tiếp theo ở số bị chia (kể từ trái)tối
đa đủ 9 chữ số:

168624098 – 207207 x 813 = 164807
164807765 – 207207 x 795 = 78200
782004321 – 207207 x 3774 = 5103
Số dư: 5103