ĐỀ THI HỌC KÌ I MÔN TOÁN LỚP 12 NĂM HỌC 2015

www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam
FB.com/MathvnCom
SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I - NĂM HỌC 2014 - 2015
MÔN: TOÁN; LỚP 12
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)



Câu 1. (3 điểm)
Cho hàm số
3
3 2
y x x
= − +
(1)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
b) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng
5 2
y x
= − +
.

Câu 2. ( 3 điểm)
a) Rút gọn biểu thức:
1 2
2
4

log 16 log 108 log 12.
P = − +
b) Giải phương trình:
4 3.2 4 0
x x
+ − =
.

Câu 3. (1 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
1
x
y
x
=
+
.

Câu 4.
(
3 điểm
)
Cho hình h
ộ
p ch
ữ
nh
ậ
t

. ' ' ' '
ABCD A B C D
có
đ
áy ABCD là hình vuông c
ạ
nh a. Góc gi
ữ
a
đườ
ng th
ẳ
ng A’C và m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABCD) b
ằ
ng
0
60
.
a)

Tính th
ể
tích c
ủ
a kh
ố

i h
ộ
p theo a.
b)

Tính kho
ả
ng cách t
ừ

đỉ
nh A
đế
n m
ặ
t ph
ẳ
ng (BDA’).
c)

G
ọ
i N là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a CD,
đ

i
ể
m P n
ằ
m trên
đườ
ng th
ẳ
ng A’D,
đ
i
ể
m Q n
ằ
m trên
đườ
ng
th
ẳ
ng AB’ sao cho PQ song song v
ớ
i BN. Tính theo a
độ
dài
đ
o
ạ
n PQ.

H

ế
t
Thí sinh không
đượ
c s
ử
d
ụ
ng tài li
ệ
u.
Giám th
ị
không gi
ả
i thích gì thêm.

H
ọ
và tên thí sinh:…………………………………………… S
ố
báo danh:…………
www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam
FB.com/MathvnCom

SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC


HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I, NĂM HỌC 2014-2015

MÔN: TOÁN, LỚP 12


Câu 1.a) ( 2 điểm) Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số
3
3 2
y x x
= − +
(1).
Nội dung Điể
m
*) Tập xác định:
.
D
=
ℝ

0,25
*) Sự biến thiên
- Giới hạn:
lim ; lim
x x
y y
→+∞ →−∞
= +∞ = −∞


0,25
-Chiều biến thiên: Ta có
2 2

1
' 3 3. ' 0 1 0
1
x
y x y x
x
=

= − = ⇔ − = ⇔

= −


0,25
Ta có
' 0 ( ; 1) (1; )
y x
> ∀ ∈ −∞ − ∪ +∞
và
' 0 ( 1;1)
y x
< ∀ ∈ −
nên hàm số đồng biến
trên các khoảng
( ; 1);(1; )
−∞ − +∞
và nghịch biến trên khoảng
( 1;1)
−
.

Hàm số đạt cực đại tại
1, 4
CD
x y
= − =
; hàm số đạt cực tiểu tại
1, 0.
CT
x y
= =

0,25
- Bảng biến thiên:
+∞
+∞
x
y’
y
-∞
-∞
-1
0
0+
+
4
0
1
-
+∞
+∞

x
y’
y
-∞
-∞
-1
0
0+
+
4
0
1
-
x
y’
y
-∞
-∞
-1
0
0+
+
4
0
1
-



0,50

*) Đồ thị

4
2
-2
y
x
O
1
-2
3
-1





0,50


www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam
FB.com/MathvnCom
Câu 1.b) ( 1 điểm) Tìm giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng
5 2
y x
= − +
.
Nội dung Điểm
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng
5 2

y x
= − +
là

3
3 2 5 2
x x x
− + = − +

0,25
3
2 0
x x
⇔ + =

0,25
2
2
0
( 2) 0 0
2 0
x
x x x
x
=

⇔ + = ⇔ ⇒ =

+ =


0,25
Với
0 2
x y
=
⇒
=
. Vậy tọa độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng đã cho là
(0;2).
0,25

Câu 2.a ( 1,5 điểm) Rút gọn biểu thức:
1 2
2
4
log 16 log 108 log 12.
P
= − +

Nội dung Điểm
Ta có
1 1
2
2 2 3 2
2
4
2
log 4 log (2 .3 ) log (2 .3)
P

−
= − +

0,50
1 1 1
2 2
2 2 3 2
2 2
4
2 2
log 4 log 2 log 3 log 2 log 3
−
= − − + +

0,50
2 2
2 2 3log 3 4 2log 3
= − − − + +

0,25
2
log 3.
= −

0,25

Câu 2.b ( 1,5 điểm) Giải phương trình:
4 3.2 4 0
x x
+ − =

.
Nội dung Điểm
Đặt
2
x
t
=
,
0
t
>
phương trình đã cho trở thành:
2
3 4 0.
t t
+ − =

0,50
Suy ra
1
t
=
hoặc
4
t
= −
(loại).
0,50
Với
1

t
=
suy ra
2 1 0.
x
x
= ⇔ =
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
0.
x
=

0,50
Câu 3. (1 điểm) Tìm GTLN, NN của hàm số
2
1
x
y
x
=
+
.
Nội dung Điể
m
*) Tập xác định:
.
D
=
ℝ

*) Sự biến thiên


0,25
www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam
FB.com/MathvnCom
- Giới hạn:
2 2
1 1
lim lim 0, lim lim 0.
1 1
1 1
x x x x
x x
y y
x x
→+∞ →+∞ →−∞ →−∞
= = = =
+ +

-Chiều biến thiên: Ta có
2 2
2
2 2 2 2
1
1.( 1) .2 1
' . ' 0 1 0
1
( 1) ( 1)
x

x x x x
y y x
x
x x
=

+ − −
= = = ⇔ − = ⇔

= −
+ +



0,25
- Bảng biến thiên:
+∞
0
x
y’
y
-∞
0
-1
0
0-
-
-1/2
1/2
1

+
+∞
0
x
y’
y
-∞
0
-1
0
0-
-
-1/2
1/2
1
+



0,25
Từ bảng biến thiên ta suy ra
- Hàm số đạt GTLN bằng
1
2
tại
1
x
=
, GTNN bằng
1

2
−
, tại
1.
x
= −


0,25

Câu 4.a (1 điểm) Tính thể tích hình hộp.


Nội dung Điểm
Ta có
2
ABCD
S a
=
, tứ giác ABCD là hình vuông nên
2
AC a
=
.
0,25
Góc giữa A’C và mặt đáy là

0
' 60
A CA

=
. Xét tam giác vuông A’CA, ta có

0
'
tan ' tan60 3 ' 6
A A
A CA A A a
AC
= = = ⇒ =
.
0,25
Từ đó
. ' ' ' '
' .
ABCD A B C D ABCD
V A A S
=

0,25
2 3
. ' ' ' '
6 . 6 .
ABCD A B C D
V a a a
⇔ = =

0,25

P

Q

O

M

N

C'

B'
D'

A

B

C

D

A'
H

www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam
FB.com/MathvnCom


Câu 4.b (1 điểm) Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (BDA’).

Nội dung Điểm
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Hạ
' ( ' ) (1)
AH A O H A O
⊥ ∈

0,25
( ' ) (2)
'
BD AC
BD A AO BD AH
BD A A
⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥


0,25
Từ (1) và (2) suy ra
( ' ) ( ,( ' ))
AH A BD d A A BD AH
⊥
⇒
=
.
0,25
Xét tam giác vuông A’AO, ta có
2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 2 13 78
' 6 6 13
a
AH
AH AA AO a a a
= + = + =
⇒
=
.
Vậy
78
( ,( ' )) .
13
a
d A A BD =

0,25
Câu 4.c (1 điểm) Gọi N là trung điểm của CD, điểm P nằm trên đường thẳng A’D, điểm Q nằm
trên đường thẳng AB’ sao cho PQ song song với BN. Tính theo a độ dài đoan PQ.
Nội dung Điểm
Ta có A’D và AB’ là hai đường thẳng chéo nhau. Giả sử có
,
P Q
thoả mãn điều kiện bài
toán. Do
' ( ' )
( ' ) ( ' )
' ( ' )
P A D P A DQ
A DQ AB P PQ

Q AB Q AB P
∈ ⇒ ∈

⇒ ∩ =

∈ ⇒ ∈

.

0,25
Giả sử A’Q cắt AB tại M. Vì BN//PQ suy ra BN//(A’DQ) hay BN//(A’DM). Mặt phẳng
(ABCD) chứa BN và cắt mặt phẳng (A’DM) theo giao tuyến DM nên BN//DM.

0,25
Suy ra M là trung điểm AB. Từ đó ta tìm các điểm P, Q như sau:
- Gọi M là trung điểm AB, nối A’M cắt AB’ tại Q.
- Trong mặt phẳng (A’DM), qua Q kẻ đường thẳng song song với DM cắt A’D tại P.
Đoạn thẳng PQ thỏa mãn các điều kiện của bài toán.


0,25
Theo cách dựng, ta có
2 2
2 2 5
.
3 3 3
a
PQ DM AM AD= = + =

0,25




H
ế
t