ĐỀ THI HỌC KÌ II MÔN TOÁN LỚP 12 NĂM HỌC 2012

TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ NỘI – AMSTERRDAM
TỔ TOÁN - TIN
ĐỀ THI HỌC KỲ II NĂM HỌC 2011 – 2012
Môn: Toán lớp 12
Thời gian làm bài: 150 phút.

Bài 1: (2,5 điểm)
Cho hàm số:
(
)
3 2
3 4 .
y x x C
= + -

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
(
)
C
của hàm số.
b) Tìm tọa độ các cặp điểm nằm trên đồ thị
(
)
C
của hàm số biết rằng chúng
đối xứng nhau qua gốc tọa độ.
Bài 2: (2,5 điểm)
a) Tính tích phân:
1
2 2
0

1 .
I x x dx
= -
ò

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng
(
)
1
: 0;
d x y
+ =

(
)
2
: 8
d y
=
và đường cong
(
)
3
: .
C y x
=


Bài 3: (3 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng

( )
1
2
:
1 2 1
x y z
d
-
= =
-
và
( )
2
1 2 1
: .
2 1 4
x y z
d
- - -
= =
-

a) Chứng minh rằng
(
)
1
d
,
(
)

2
d
chéo nhau và vuông góc với nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng
(
)
P
chứa
(
)
1
d
và song song với
(
)
2
.
d

c) Viết phương trình mặt cầu
(
)
S
có đường kính là đoạn vuông góc chung của
(
)
1
d
và
(

)
2
.
d

Bài 4 : (2 điểm)
a) Giải bất phương trình:
( )
5 1 1
5 5
1
log .2 1 log 4 144 1 2log 4.
4
x x
æ ö
+ + + + >
ç ÷
è ø

b) Tìm số phức
z
biết rằng
z
thỏa mãn điều kiện
2 10
z i- - = và
. 25.
z z
=

Hết
Nguồn tài liệu:
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.com

Ngun ti liu:
1

TRNG H NI - AMSTERDAM
T TON TIN

P N THI HC K II NM HC 2011 2012
Mụn Toỏn; Lp 12

Bi 1: (2,5 im)
a)
3 2
3 4
y x x
= + -

* Tp xỏc nh: R.
* S bin thiờn
- Gii hn:
lim .
x
y
đƠ
= Ơ

- Chiu bin thiờn:
2
0 4
' 3 6 0
2 0
x y
y x x
x y
= ị = -
ộ
= + =
ờ
= - ị =
ở

- Bng bin thiờn:
x

-Ơ

2
-

0

+Ơ

'
y

+
0
-
0
+
y


0

+Ơ



4
-

-Ơ


- Hm s ng bin trờn cỏc khong
(
)
(
)
; 2 , 0; ;
-Ơ - +Ơ
hm s nghch bin trong khong
( 2;0).
-

Hm s cú im i l
(
)
2;0 ,
-
cc tiu l
(
)
0; 4 .
-

* th:


- Nhn xột: th nhn im un
(
)
1; 2
I
- -
lm tõm i xng.
b) Gi
(
)
(
)
(
)
3 2
0 0 0 0 0

; 3 4 1 .
A x y C y x xẻ ị = + -
Gi B i xng vi A qua O thỡ
(
)
0 0
;
B x y
- -
vi
0
0.
x
ạ

Ta cú
(
)
(
)
3 2
0 0 0
3 4 2 .
B C y x xẻ - = - + -
www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam
www.MATHVN.com

Ngun ti liu:
2

T (1) v (2) suy ra:
2
0 0
2 3
6 8 0 .
3
x x- = =
Vi
0 0
2 3 8 3
.
3 9
x y= ị =

Vy hai cp im
2 3 8 3
;
3 9
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
v
2 3 8 3
;
3 9
ổ ử
- -
ỗ ữ
ố ứ
i xng nhau qua gc ta .

Bi 2: (2,5 im)
a) t
sin .
x t
=
Vỡ
[
]
0;1
x
ẻ
nờn
0; .
2
t
p
ộ ự
ẻ
ờ ỳ
ở ỷ
Ta cú
cos .
dx tdt
=

i cn : Vi
0 0,
x t
= ị =
vi

1 .
2
x t
p
= ị =

Ta cú :
( )
2 2 2 2
2 2 2 2 2
0 0 0 0
1 1
sin 1 sin cos sin cos sin 2 1 cos4
4 8
I t t tdt t tdt tdt t dt
p p p p
= - = = = -
ũ ũ ũ ũ

2
0
1 sin4
.
8 4 16
t
t
p
p
ổ ử
= - =

ỗ ữ
ố ứ

b) Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi hai ng thng
(
)
1
: 0;
d x y
+ =

(
)
2
: 8
d y
=
v
ng cong
(
)
3
: .
C y x
=

Ta cú
+
(
)

1
d
ct
(
)
2
d
ti
(
)
8;8 .
A -

+
(
)
1
d
ct
(
)
C
ti
(
)
0;0 .
O

+
(

)
2
d
ct
(
)
C
ti
(
)
2;8 .
B

Vy din tớch hỡnh phng l :
( )
( )
2
4
2
3
0
0
1
.8.8 8 32 8
2 4
32 12 44
x
S x dx x
dvdt
ổ ử

= + - = + -
ỗ ữ
ố ứ
= + =
ũ


Bi 3: (3 im)
a) * Ta cú
(
)
1
d
i qua
(
)
0;2;0
M
v cú VTCP l
(
)
1
1; 2;1 .
u = -
ur

(
)
2
d

i qua
(
)
1;2;1
N
v cú VTCP l
(
)
2
2;1;4 .
u = -
uur

Ta cú
(
)
1;0;1
MN =
uuuur
v
(
)
1 2 1 2
; 9; 6; 3 . ; 12 0.
u u MN u u
ộ ự ộ ự
= - - - ị = - ạ
ở ỷ ở ỷ
ur uur uuuur ur uur

Do ú
(
)
1
d
,
(
)
2
d
chộo nhau.
* Ta cú
(
)
(
)
1 2 1 2
. 0 ,
u u d d
= ị
ur uur
vuụng gúc nhau.
b) Ta cú mt phng
(
)
P
i qua M v nhn
(
)
(

)
1 2
; 9; 6; 3 3 3;2;1
u u
ộ ự
= - - - = -
ở ỷ
ur uur
lm VTPT.
Do ú, phng trỡnh mt phng
(
)
P
l :
www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam
www.MATHVN.com

Ngun ti liu:
3

(
)
(
)
(
)
3 0 2 2 0 0
x y z
- + - + - =
hay

3 2 4 0.
x y z
+ + - =

c) Gi
(
)
(
)
1
; 2 2;
A a a a d
- + ẻ
v
(
)
(
)
2
2 1; 2;4 1
B b b b d
- + + + ẻ
t ú suy ra
(
)
2 1;2 ; 4 1 .
AB a b a b a b
= - - + + - + +
uuur

AB nh nht khi nú l on vuụng gúc chung ca
(
)
(
)
1 2
, .
d d
Khi ú:
(
)
( )
1
2
2 1 2 2 4 1 0
. 0
2( 2 1) 2 4( 4 1) 0
. 0
a b a b a b
AB u
a b a b a b
AB u
ỡ
- - + - + - + + =ỡ
=
ù ù

ớ ớ
- - - + + + + - + + =
=

ù
ù
ợ
ợ
uuur ur
uuur uur

1 1 4 1
; ;
6 2 0
3 3 3 3
21 2 0
2 25 40 13
; ;
21 21 21 21
a A
a
b
b B
ỡ
ổ ử
= ị
ỗ ữ
ù
- + =
ỡ
ù ố ứ

ớ ớ
+ =

ổ ử
ợ
ù
= - ị
ỗ ữ
ù
ố ứ
ợ

Gi I l trung im ca AB
2 2 2
16 34 10 9 6 3 126
; ; , .
21 21 21 21 21
I R
+ +
ổ ử
ị = =
ỗ ữ
ố ứ

Vy phng trỡnh mt cu
( )
2 2 2
16 34 10 126
: .
21 21 21 441
S x y z
ổ ử ổ ử ổ ử
- + - + - =

ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ ố ứ

Bi 4 : (2 im)
a) Ta cú
( )
( )
5 1 1
5 5
5 5 5 5
1
log .2 1 log 4 144 1 2log 4.
4
1
log .2 1 log 16 log 5 log 4 144
4
1
80 2 1 4 144 4 20.2 64 0 4 2 16 2 4.
4
x x
x x
x x x x x
x
ổ ử
+ + + + >
ỗ ữ
ố ứ
ổ ử
+ + + > +
ỗ ữ

ố ứ
ổ ử
+ > + - + < < < < <
ỗ ữ
ố ứ

b) Gi
.
z x yi
= +

Ta cú :
(
)
(
)
(
)
2 2
2 10 2 1 10 1 .
z i x y- - = - + - =

Ta cú
(
)
2 2
. 25 25 2 .
z z x y= + =

T (1) v (2) suy ra

(
)
(
)
; 3;4
x y =
hoc
(
)
5;0 .

Vy
3 4
z i
= +
hoc
5 0 .
z i
= +

Ht
www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam
www.MATHVN.com