Kiến thức trọng tâm ôn thi THPT quốc gia môn toán mới nhất.PDF

KIẾN THỨC ÔN THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN 2015

Trần Quang – 01674718379 Perfection does not exist - you can always do better and you can always grow.

Chương 1: Khảo sát hàm số

Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số:
a.
y 3 x 6 x   

b.
2
y 4 x x  

c.
42
f(x) x 2x 1  
trên đoạn [0;2].
d.
2
f(x) x ln(1 2x)  
trên đoạn
 
2;0
.

Bài 2. Cho hàm số
3
32y x x  
(C)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .

b. Dựa vào đồ thị (C) , biện luận theo m số nghiệm thực của phương
3
2 6 0x x m  
.
c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm
 
2;4M
.
d. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hồnh độ
1
2
x 
.
e. Viết phương trình của (C) tại giao điểm của (C) với đường thẳng tung độ
2yx
.
f. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến
9k 
.
g. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
9
1
4
yx



h. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) , biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng
3
5

8
yx

i. Tìm m để (C) cắt đường thẳng (d) y = mx+2 tại 3 điểm phân biệt ?
Bài 3. Cho hàm số:
32
y = x 3mx + 3mx+2

 
m
C

a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C
1
) của hàm số khi
1m 
.
b. Khảo sát và vẽ đồ thị (C
2
) của hàm số khi
2m 
.
c. Tìm m để hàm số (C
m
) khơng có cực trị ?
d. Tìm m để hàm số (C
m
) có cực trị ?
e. Tìm m để x = 2 là cực tiểu?
f. Tìm m để x =- 1 là cực đại?

Bài 4. Cho hàm số
42
21y x x   
(C)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b. Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình
42
2x x m
.
c. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ
9y 
.
d. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 24
e. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
24 11yx  

f. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) , biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng
2015
96
x
y 

Bài 5. Cho hàm số
4 2 2
2y x mx m m   

 
m
C

a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi
2m 
.
b. Tìm m để hàm số
 
m
C
đạt cực tiểu tại
1x 
.
c. Tìm m để hàm số
 
m
C
đạt cực đại tại
1x 
. Hd: khơng tồn tại m


d. Tìm m để hàm số
 
m
C
có 1 cực trị ?
KIẾN THỨC ÔN THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN 2015

Trần Quang – 01674718379 Perfection does not exist - you can always do better and you can always grow.

e. Tìm m để hàm số

 
m
C
có 3 điểm cực trị ?



Bài 6. Cho hàm số
3
21
x
y
x



(C)
a. Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hồnh độ bằng 2 ?
c. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết hệ số góc tiếp tuyến là -5 ?
d. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với đường thẳng (d) y = x+1
e. Tìm những điểm trên đồ thị (C) có toạ độ với hồnh độ và tung độ đều là số ngun .
f. Tìm m để (C) cắt đường thẳng y = mx+1 tại hai điểm phân biệt ?
g. Tìm m để (C) cắt đường thẳng y = 2x+m tại hai điểm phân biệt ?


Chương 2: Phương Trình Mũ – Logarit
1.
2
3x

5 625
x 


2.
2
36
2 16
xx


3.
1
2 .5 200
xx


4.
9 10.3 9 0
xx
  

5.
25 3.5 10 0
xx
  

6.
3
2 2 2 0

xx
  

7.
6.9 13.6 6.4 0
x x x
  

8.
07.714.92.2
22

xxx

9.
2 2 2
15.25 34.15 15.9 0
x x x
  

10.
2
5
log ( 2 65) 2
x
xx

  

11.

55
log ( 3) log ( 2 6)xx  

12.
2 4 8
log log log 11x x x  

13.
5 25 0,2
1
log log log
3
xx

14.
2
ln( 6 7) ln( 3)x x x   

15.
5 25 0,2
log log log 3xx

16.
93
log ( 8) log ( 26) 2 0xx    

17.
3
18
2

2
log 1 log (3 ) log ( 1) 0x x x     

18.
1
log(5 4) log 1 2 log0,18
2
xx    

19.
   
21
2
2log 2 2 log 9 1 1xx   

20.
2
22
log log 6 0xx  

21.
2
33
3log 10log 3xx

22.
2
2
2
4log log 2xx

23.
   
2
3
3
log 1 log 2 1 2xx   
. 
24.
   
23
48
2
log 1 2 log 4 log 4x x x     


Chương 3: Tích phân
1.
2
2
1
11
()
e
x x dx
xx
  


2.

2
1
1x dx


3.
1
3
0
()x x x dx


4.
2
1
7 2 5

e
xx
dx
x



5.
8
2
3
1
1

4
3
x dx
x






6.
1
2
0
1x x dx


7.
1
2
0
1x x dx


8.
1
2
3
0
1

x
dx
x 


9.
1
22
0
(1 3 )
x
dx
x


KIẾN THỨC ÔN THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN 2015

Trần Quang – 01674718379 Perfection does not exist - you can always do better and you can always grow.

10.
2
sin
4
x
e cosxdx




11. .

6
0
1 4sin .cosx xdx




12.
2
1
2
0
x
e xdx



13.
1
1 ln
e
x
dx
x



14.
3
3

0
sin
x
cos
x
d
x



15.
1
0
sin
x
e xdx


16.
2
0
(2 1) osxx c dx




17.
1
0
x

xe dx


18.
1
ln
e
x xdx


19.
2
2
0
( 1)sinxx dx




20.
2
2
0
( os )sin xx c x dx




21.
2

2
0
sin3x
x
e dx



22.
1
2
0
( 2)
x
x e dx


23.
1
(2 2)ln
e
x xdx


24.
2
0
cosx x dx



25.
2
0
(2 7)ln( 1)x x dx


26.
1
2
0
( 2)
x
x e dx


Chương 4: Số phức
Bài 1. Tìm các số thực
,xy
thỏa mãn đẳng thức:
a. 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i
b. (2x + 3y + 1) + ( –x + 2y)i = (3x – 2y + 2) + (4x – y – 3) i.
c.
   
3
3 5 1 2 35 23x i y i i     

Bài 2. Cho hai số phức:
12
z 2 5 ; z 3 4ii   

. Xác định phần thực, phần ảo của số phức
12
.zz

Bài 3. Tìm phần thực, phần ảo và mơ đun của số phức:
a)
z (2 3 )(1 ) 4i i i   
b)
3
(2 2 )(3 2 )(5 4 ) (2 3 )z i i i i     
c) z = 2i(3 + i)(2 + 4i)
d) z =
25
(1 3 )( 2 )(1 )
i
i i i

   
e) z =
(1 2 )( 4 )
(1 )(4 3 )
ii
ii
  


Bài 4. Tìm các số phức:
2zz
và
25i

z
, biết
z 3 4i
.
Bài 5. Cho số phức z = 2 + 3i.Tìm phần thực và phần ảo của số phức
1
zi
w
iz




Bài 6. Cho số phức
17
(3 2 )( 1 3 )
12
i
z i i
i

    

Tính mơ đun của z và tìm tọa độ điểm biểu diễn hình học
của z trong hệ tọa độ Oxy.
Bài 7. Cho z thỏa mãn (2 + i)z +
2(1 2 )
78
1
i

i
i



. Tìm mơđun của số phức w = z + 1 + i
KIẾN THỨC ÔN THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN 2015

Trần Quang – 01674718379 Perfection does not exist - you can always do better and you can always grow.

Bài 8. Cho số phức z thỏa mãn
   
2
1 2 3
1
i
i z i z
i

   

.Tìm tọa độ điểm biểu diễn của z trong mặt
phẳng tọa độ Oxy.
Bài 9. Tìm số phức z biết:
a.
 
2 3 1 9z i z i   
.
b.
  

 
 
2 1 1 1 1 2 2z i z i i      
.
c.
4 (1 3 ) 25 21   z i z i

d.
 
2
2 1 5z z i  

Bài 10. Gọi z
1
, z
2
là nghiệm phương trình sau trên tập số phức. Tính
12
S z z

12
.P z z

12
A z z

22
12
B z z

12
11
C
zz



2
) 1 0a z z  

2
) 2 5 0b x x  

42
) 2 3 0c z z  

Chương 1: Hình học thể tích
DẠNG 1: Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy.
Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy . Tính V biết:
a. Tam giác ABC vng tại B, AB = a
2
, AC = a
3
, SB =
3a
.
b. Tam giác ABC vng cân tại B, AC = a
2
, SB =
3a

.
c. Tam giác ABC đều cạnh 2a, SB =
5a
.
d. Tam giác ABC cân tại A, BC = 2a
3
,
0
AC 120B 
, SA =2a.
Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng cân tại B với AC = a, SA vng góc với đáy
ABC. Tính V biết SB bằng
3 / 2a
.
a. SB hợp với đáy một góc 60
o
.
b. SC hợp với đáy một góc 30
o
.
c. (SBC) hợp với đáy một góc 30
o
.
d. SA tạo với (SBC) một góc 45
0
.
Bài 3. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vng tại B biết SA = h và vng góc với (ABC),
ACB 60
. Tính V biết
a. SC hợp với đáy một góc 45

o
.
b. (SBC) hợp với đáy một góc 60
o
.
c.
SA tạo với (SBC) một góc 45
0
Bài 4. Cho hình chóp SABC có SB = b và SA vng góc với đáy ABC. Tính V biết :
a. Tam giác SBC đều và
0
CAB 120
.
b. Tam giác ABC đều và SC hợp với (ABC) một góc 30
o

c. Tam giác ABC đều và (ABC) hợp với (SBC) một góc
60
o
.
d. Tam giác ABC đều và SA hợp với (SBC)
một góc 30
o
.
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a và SA vng góc với đáy . Tính V
biết :
a. SC bằng
a /3
.
b. SC hợp với đáy một góc 30

o
.
c. SB hợp với đáy một góc 60
o
.
d. (SDC) hợp với đáy một góc 30
o
.
e. (SBD) hợp với đáy một góc 45
o
.
KIẾN THỨC ÔN THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN 2015

Trần Quang – 01674718379 Perfection does not exist - you can always do better and you can always grow.

Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,
0
BAD 60
và SA vng góc với đáy .
Tính V biết :
a. SC bằng
2 a
.
b. (SBC) hợp với đáy một góc 30
o
.
c. (SBD) hợp với đáy một góc 45
o
.
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, AD = a và SA vng góc

với đáy . Tính V biết :
a. SC bằng
5a
.
b. SC hợp với đáy một góc 60
o
.
c. (SDC) hợp với đáy một góc 30
o
.
d. (SBD) hợp với đáy một góc 60
o
.
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và B, có AD = 3a, BC = a, AB =
2a và SA vng góc với đáy . Tính V biết :
a. SB hợp với đáy một góc 30
o
.
b. SC hợp với đáy một góc 60
o
.
c. Khoảng cách AB và SD bằng 2a.
d. (SBC) hợp với đáy góc 45
o
.
e. (SCD) hợp với đáy góc 30
o
.
DẠNG 2: Khối chóp đều.
Bài 1. Cho hình chóp đều S.ABC có I là trung điểm BC, H là chân đường cao.Tính V biết :

a. Cạnh đáy bằng a
3
, cạnh bên bằng 2a.
b. Đường cao SH = a và cạnh bên = a .
c. Trung tuyến AI = a/2 và cạnh bên = 5a/3.
d. Trung tuyến SI = a và cạnh bên = 2a.
e. Đường cao SH = a và AI = a .
Bài 2. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng a có I là trung điểm BC. Tính V biết:
a. Cạnh bên hợp đáy góc 60
o
.
b. Mặt bên hợp với đáy góc 30
0
.
c. Các góc mặt bên đỉnh S bằng 45
o
.
d. SB hợp với (SAI) góc 30
o
.
Bài 3. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có I là trung điểm BC, đường cao SH = h. Tính V biết:
a. Cạnh bên hợp đáy góc 30
o
.
b. Mặt bên hợp với đáy góc 60
0
.
c. Các góc mặt bên đỉnh S bằng 60
o
.

Bài 4. Đường cao SH hợp với mặt bên góc 45
o
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có I là trung điểm
BC, cạnh bên bằng a .Tính V biết:
a. Cạnh bên hợp đáy góc 45
o
.
b. Mặt bên hợp với đáy góc 30
0
.
c. Các góc mặt bên đỉnh S bằng 60
o
.
d. Đường cao SH hợp với mặt bên góc 30
o
.
Bài 5. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Tính V biết:
a. Cạnh bên bằng
5a
.
b. Cạnh bên hợp đáy góc 60
o
.
c. Mặt bên hợp với đáy góc 30
0
.
d. Các góc mặt bên đỉnh S bằng 60
o
.
e. Đường cao SH hợp với mặt bên góc 30

0
.
Bài 6. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vng tâm O, đường cao bằng h. Tính V biết:
a. Cạnh bên bằng 2h.
b. Cạnh bên hợp đáy góc 45
o
.
c. Mặt bên hợp với đáy góc 30
o
.
d. Các góc mặt bên đỉnh S bằng 60
o
.
e. Góc giữa hai mặt bên bằng 120
o
.
f. Đường cao SO hợp với mặt bên góc 30
o
.
Bài 7. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vng tâm O, cạnh bên bằng a. Tính V
biết:Cạnh bên hợp đáy góc 30
o
.
KIẾN THỨC ÔN THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN 2015

Trần Quang – 01674718379 Perfection does not exist - you can always do better and you can always grow.

a. Mặt bên hợp với đáy góc 60
o
.

b. Góc giữa hai mặt bên bằng 120
o
.
c. Các góc mặt bên đỉnh S bằng 60
o
.
DẠNG 3: Khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy.
Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có (SBC) ⊥ (ABC). Tính V biết:
a. Tam giác SBC và ABC đều, cạnh SA bằng a.
b. Tam giác ABC đều cạnh a, △ SBC cân tại S và SA tạo với đáy góc 60
o
.
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có có (SAB) ⊥ (ABCD). Tính V biết:
a. Tứ giác ABCD là hình vng có cạnh a, △ SAB đều.
b. Tứ giác ABCD là hình vng, △ SAB đều có đường cao SH = h.
c. Tứ giác ABCD là hình chữ nhật , AB = 2a, tam giác SAB cân tại S có đường cao SH = a ,
   


SAC ; ABCD 60
o

.
d. Tứ giác ABCD là hình chữ nhật có AB = 2a , BC = 4a, hai mặt (SBC) và (SAD) cùng hợp với đáy ABCD
một góc 30
o
.
e. Tứ giác ABCD là hình thoi với AC = 2BD = 2a và tam giác SAB vng cân tại S.
f. Tứ giác ABCD là hình vng cạnh a, △ SAB cân tại S, (SBM) hợp với đáy góc 60
o

, với M là trung điểm CD.

Chương 3: Hình giải tích
PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

Bài 1. Viết phương trình mặt cầu có tâm I và đi qua điểm A:
a)
4 4 2 0 0 0IA( ; ; ), ( ; ; )
b)
4 1 2 1 2 4IA( ; ; ), ( ; ; )  

Bài 2. Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB, với:
a)
4 3 3 2 1 5AB( ; ; ), ( ; ; )
b)
2 3 5 4 1 3AB( ; ; ), ( ; ; )
c)
6 2 5 4 0 7AB( ; ; ), ( ; ; )

Bài 3. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, với:
a)
2 31 4 1 2 6 3 7 5 4 8A B C D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )  
b)
5 7 2 31 1 9 4 4 1 5 0A B C D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )  

Bài 4. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P) cho trước:
a)
11 2 2 2 3 0I P x y z( ; ; ), ( ):    
b)
2 11 2 2 5 0I P x y z( ; ; ), ( ):    

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Bài 1. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB cho trước, với:
2 5 6 1 3 2AB( ; ; ), ( ; ; )  

Bài 2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và có cặp VTCP
ab,
cho trước, với:
4 0 5 6 1 3 3 2 1M a b( ; ; ), ( ; ; ); ( ; ; )   

Bài 3. Viết pt () đi qua điểm M và song song với
 

cho trước:
111 10 10 20 40 0M x y z( ; ; ), ( ):

   

Bài 4. Viết phương trình mặt phẳng () đi qua ba điểm:
2 4 0 51 7 1 1 1A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )   

Bài 5. Viết pt () đi qua điểm A và vuông góc với đt đi qua B, C cho trước
2 4 0 51 7 1 1 1A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )   

Bài 6. Viết pt () đi qua A, B và vuông góc với () cho trước, với:
 
3 1 2 3 1 2
2 2 2 5 0
AB
x y z

( ; ; ), ( ; ; )
:


  

   


Bài 7. Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) cho trước:
KIẾN THỨC ÔN THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN 2015

Trần Quang – 01674718379 Perfection does not exist - you can always do better and you can always grow.

a.
S x y z x y z
2 2 2
( ): 6 2 4 5 0      
tại
4 3 0M( ; ; )

b.
2 2 2
2 4 4 0S x y z x y z( ):      
và song song với mặt phẳng
2 2 5 0x y z   
.
Bài 8. Viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm A và đường thẳng d:
a)
42

2 3 1 2 3
3
xt
A d y t
zt
( ; ; ), :



  




b)
3 2 1
2 1 5
2 1 3
x y z
Ad( ; ; ), :
  
  

Bài 9. Viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua hai đường thẳng song song d
1
, d
2
:
a)


12
2 1 3
2 3 4 2 1
3 2 1
x y z
d x t y t z t d: ; ; ; :
  
       

Bài 10. Viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua hai đường thẳng cắt nhau d
1
, d
2
:
a)
 
12
3 1 2 3 1 2 4d x t y t z t d x t y t z t: ; ; ; : '; '; '         

Bài 11. Cho hai đường thẳng chéo nhau d
1
, d
2
. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d
1
và song song
với d
2
với
 

12
1 2 3 2 3 2 1 3 2d x t y t z t d x t y t z t: ; ; ; : '; '; '           

Bài 12. Tìm toạ độ hình chiếu H của điểm
2 3 5( ; ; )M
trên (P) và điểm M đối xứng với M qua mặt
phẳng
2 2 6 0   ( ): ,P x y z

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Bài 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A, B cho trước:
a)
   
2 1 0 0 1 2A , B; ; ; ;
b)
   
1 2 7 1 2 4A , B; ; ; ;
c)
   
2 1 3 4 2 2A , B; ; ; ;

Bài 2. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và song song với đường thẳng  cho trước:

a)
23
2 5 3 3 4
52
xt
A y t
zt

( ; ; ), :




  




b)
2 5 2
4 2 2
4 2 3
x y z
A( ; ; ), :

  
  

Bài 3. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước:
a)
 
3 2 1 2 5 4 0A P x y; ; , ( ):   
b)
2 3 6 2 3 6 19 0A P x y z( ; ; ), ( ):    

Bài 4. Viết phương trình tham số của đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q) cho trước:
a)
2 3 0

10
P x y z
Q x y z
( ):
( ):

   

   

b)
10
20
P x z
Qy
( ):
( ):

  



c)
2 1 0
10
P x y z
Q x z
( ):
( ):


   

  


Bài 5. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với hai đường thẳng d
1
, d
2

cho trước: a)
12
1 3 2
2 1 3 1 3 4
2 2 2
x t x t
A d y t d y t
z t z t
( ; ; ), : , :

  

      


    


Bài 6. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A, vuông góc và cắt đường thẳng  cho trước:
a)

1
1 2 3 2 2
33
xt
A y t
zt
( ; ; ), :




   




b)
1
2 11 2
3
xt
A y t
z
( ; ; ), :




   






Bài 7. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và cắt cả hai đường thẳng d
1
, d
2
cho trước:

KIẾN THỨC ÔN THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN 2015

Trần Quang – 01674718379 Perfection does not exist - you can always do better and you can always grow.

a)
12
2 4 3
2 3 1 1 2 1
1 3 2 3
x t x t
A d y t d y t
z t z t
( ; ; ), : , :

    

    


    


b)
12
3 3 3 2
3 2 5 1 4 1
2 2 2 3
x t x t
A d y t d y t
z t z t
( ; ; ), : , :

    

    


   


Bài 8. Viết phương trình tham số của đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng d
1
, d
2

cho trước:
a)
12
2 3 3 4 0
7 3 1
4 2 9 2

4 3 12
P x y z
x t x t
d y t d y t
z t z t
( ):
: , :

   



    


    



    



b)
12
3 3 4 7 0
11
2 2 2
3 3 3
P x y z

x t x
d y t d y t
z t z t
( ):
: , :

   



  


     



   





Bài 9. Viết phương trình tham số của đường thẳng song song với đường thẳng  và cắt cả hai đường thẳng d
1
,
d
2
cho trước:
a)

12
1 2 2 1 2 2 4 7
: ; : ; :
1 4 3 1 4 3 5 9 1
x y z x y z x y z
dd
       
      

Bài 10. Viết phương trình tham số của đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d
1
, d
2

cho trước:
a)
12
2 2 1
13
3 1 2
x t x t
d y t d y t
z t z t
: , :

   

   



   

b)
12
2 3 1 2
3 1 2
1 2 2
x t x t
d y t d y t
z t z t
: , :

    

    


   


Bài 11. Viết phương trình tham số của đường thẳng d là hình chiếu của đường thẳng  trên mặt phẳng (P) cho
trước với
5 4 2 5 0
2 1 0
2 2 0


   
   


  

: ;( ):
x y z
P x y z
xz

Bài 12. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d
1
và cắt
đường thẳng d
2
cho trước:
12
1
12
0 11
3 1 1
1
x
x y z
A d d y t
zt
( ; ; ), : , :




  






Bài 13. Tìm toạ độ hình chiếu H của điểm M trên đường thẳng d và điểm M đối xứng với M qua đường
thẳng d: a)
2
2 1 3 1
12
xt
M d y t
zt
( ; ; ), :



  


  

b)
1 2 3
2 5 2
2 2 1
x y z
Md( ; ; ), :
  

