Tuyển chọn các đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12 (có lời giải)

NGUYỄN VĂN XÁ


MỘT SỐ ðỀ THI
HỌC SINH GIỎI




BẮC NINH – 2013






Việc học vấn cần ghi ba lẽ
Cho hoàn toàn chớ ñể sót quên
Con chăm, cha thực, thầy nghiêm
Ba ñiều có trọn mới nên ñại thành.
(Trích “Minh ñạo gia huấn”)

Nguyễn Văn Xá ðề 01

ðỀ THI HSG LỚP 12 – BẮC NINH (1999 - 2000)

Bài 1
(5 ñiểm)
1) Chứng minh rằng phương trình
3 2
6 1 1 0
2
x
x x x− − − + + =
không thể có nghiệm
âm.
2) Tìm a sao cho với mọi x ≠ 0 ta luôn có
2
2
1 1
( ) (1 3sin )( ) 3sin 0x a x a
x x
+ + + + + >
.
Bài 2 (4 ñiểm)
1) Cho sáu số thực dương a, b, c, x, y, z thỏa mãn 4xyz – (a
2
x + b
2
y + c
2
z) = abc.
Chứng minh tồn tại các số
,

α β
thỏa mãn
0 ,0
2 2
π π
α β
< < < <
, sao cho
a = 2
sinyz
α
, b = 2
sinzx
β
, và c = 2
os( + )xyc
α β
.
2) Cho trước ba số dương a, b, c. Tìm các số dương x, y, z theo a, b, c, biết
2 2 2
x + y + z = a + b + c
4xyz (a x+b y+c z) = abc


−

.
Bài 3 (5 ñiểm)
1) Chứng minh rằng sinA + sinB + sinC ≤
3 3

2
.
2) Cho ∆ABC không vuông, tìm giá trị nhỏ nhất của
P =
sin sin sin
log sin log sin log sin
sin sin sin sin sin sin
A B C
B C A
A B B C C A
+ +
+ + +
.
Bài 4 (6 ñiểm) Cho tứ diện ABCD có BC = DA = a, CA = DB = b, AB = DC = c.
Gọi G là trọng tâm tứ diện và x, y, z, t lần lượt là khoảng cách từ G ñến các mặt
phẳng (DBC), (DCA), (DAB), (ABC).
a. Tìm mối liên hệ giữa a, b, c ñể GA + GB + GC + GD = 3(x + y + z + t).
b. Gọi
, ,
α β γ
là góc giữa các cặp ñường thẳng tương ứng BC và DA, CA và DB,
AB và DC. Giả sử
c < b < a
. Hỏi ba ñoạn thẳng
os , os , osa c b c c c
α β γ
có thể
dựng ñược một tam giác hay không ?
Nguyễn Văn Xá ðề 02

THI HSG LỚP 11 TỈNH BẮC NINH (10 – 4 – 2001)

Bài 1
(4 ñiểm) Giải phương trình
1. (2 ñiểm) sinx(cos2x + cos6x) + cos
2
x = 2.
2. (2 ñiểm)
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5 20 4 5 15 3 4 12 3
x x x x x x x x x
− + + − + = + +
.

Bài 2
(4 ñiểm) Cho dãy (u
n
) thỏa mãn u
1
= - 2,
1
,
1
n
n
n
u
u n

u
+
= ∈
−
N*.
1. Chứng minh u
n
< 0, ∀n∈N*.
2. Với mỗi n∈N* ñặt v
n
=
1
n
n
u
u
+
. Chứng minh (v
n
) là một cấp số cộng và suy ra
biểu thức của v
n
và u
n
.

Bài 3 (4 ñiểm) Giải hệ
27 4
1 1 5
4 27 6

1
log log
6
27 4 1
x x
y
x
y x

+ =



− ≥


− ≤



.

Bài 4 (4 ñiểm) Chứng minh rằng nếu ba số nguyên tố tạo thành một cấp số cộng
có công sai không chia hết cho 6 thì số bé nhất trong chúng là 3.

Bài 5 (4 ñiểm) Cho hình chóp S.ABC có SA = 1cm, SB = 2cm, Sc = 3cm, thể tích
bằng 1cm
3
. Chứng minh rằng SA, SB, SC ñôi một vuông góc.
Nguyễn Văn Xá ðề 03

ðỀ THI HSG BẮC NINH (10 – 04 – 2002)


Bài 1 (2 ñiểm)

1/ Tìm giới hạn a.

3
sin3
lim
1 2cos
x
x
x
π
→
−
. b.
2
0
ln(cosx)
lim
x
x→
.
2/ Cho
3 3 2
os( n. n 3 1)
n

a c n n
π
= + + +
,
n∈
N*. Tìm

lim
n
n
a
→ ∞
.
Bài 2 (1.5 ñiểm)
Tính các tổng sau:
a) S
n
= sinx + sin2x + … + sinnx.
b) C
n
= cosx + 2cos2x + … + ncosnx.
Bài 3 (2 ñiểm)
1) Giải phương trình
)1(2)1(
2323
xxxx −=−+
.
2) Giải hệ phương trình
3 2
3 2

3 2
9 27 27
9 27 27
9 27 27
x z z
y x x
z y y

− + =

− + =


− + =

.
Bài 4 (1.5 ñiểm) Cho dãy số vô hạn phần tử {a
n
}. Chứng minh rằng nếu
2 1
2 ,
n n n
a a a n
+ +
+ ≥ ∀ ∈
N*, thì
1 3 2 1 2 4 2

,
1

n n
a a a a a a
n
n n
+
+ + + + + +
≥ ∀ ∈
+
N*.
Bài 5 (3 ñiểm)
1) Chứng minh rằng nếu mỗi cạnh của một tam giác nào ñó ñều nhỏ hơn 1 thì
diện tích của tam giác ñó nhỏ hơn
4
3
.
2) Trong tứ diện chỉ có một cạnh có ñộ dài lớn hơn 1, chứng minh rằng thể tích tứ
diện ấy không vượt quá
1
8
. Hãy chỉ ra một tứ diện như thế.

Nguyễn Văn Xá ðề 04

ðỀ THI CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN BẮC NINH
DỰ THI HSG QUỐC GIA ( 2001 – 2002)
Ngày thi 26 -11-2001 (buổi 2)
Bài 1 (2 ñiểm) Giải hệ phương trình






=++
+=+=+
1
)
1
(5)
1
(4)
1
(3
zxyzxy
z
z
y
y
x
x
.
Bài 2
(2 ñiểm) Cho ∆ABC không có góc tù. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
E =
C
B
A
CBA
coscoscos
sinsinsin
++

++
.
Bài 3 (2 ñiểm) Cho hàm số f : N → N và ñồng thời thỏa mãn hai hệ thức
(1) f(f(n)) = 4n + 9 với mọi n ∈ N;
(2) f(2
n
) = 3 + 2
n + 1
với mọi n ∈ N*
.

Tính f(1789).
Bài 4 (2 ñiểm) Chứng minh rằng mọi mặt phẳng ñi qua ñường thẳng nối hai
trung ñiểm của hai cạnh ñối của một tứ diện chia tứ diện ñó thành hai phần có thể
tích bằng nhau.
Bài 5 (2 ñiểm) Cho n hình vuông bất kì (n ∈N*). Chứng minh rằng có thể cắt n
hình vuông ñó thành những ña giác mà với những ña giác này có thể ghép lại
ñược một hình vuông mới.

Nguyễn Văn Xá ðề 05

ðỀ THI CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN BẮC NINH
DỰ THI HSG QUỐC GIA ( 2002 – 2003)
Ngày thi 16 -10 -2002 (buổi 1)


Bài 1 (2 ñiểm)
Chứng minh rằng
3 3
5 2 7 5 2 7 2+ − − =

.
Bài 2 (2 ñiểm) Cho dãy {a
n
} gồm vô hạn số tự nhiên thỏa mãn
1 1
1 1
2
n n
n
n n
a a
a
a a
− +
− +
=
+
,
n∈
N*,
n
> 1.
Chứng minh rằng
1 2

n
a a a
= = =
.
Bài 3 (2 ñiểm) Cho ∆ABC. Chứng minh rằng

2
2 2 2
1 1 1 1 1
( )
sin sin sin
2sin sin sin 4sin sin sin
2 2 2 2 2 2
A B C A B C
A B C
≤ + + ≤
.
Bài 4 (2 ñiểm) Tồn tại hay không hàm số f : R→R thỏa mãn
(f(x) – f(y))
2
≤ |x – y|
3
, ∀x, y ∈ ℝ, và f không phải là hằng số?
Bài 5 (2 ñiểm) Cho hình chóp cụt ABC.A’B’C’. Chứng minh rằng các mặt phẳng
(ABC’), (BCA’), (CAB’) cắt nhau tại một ñiểm.

Nguyễn Văn Xá ðề 06

ðỀ THI HSG BẮC NINH (2003)

Bài 1 (2 ñiểm)
Tìm các giới hạn sau:
1)

2
tanx

lim (sinx)
x
π
→
; 2)

1 1
lim (sin os )
x
x
x
c
x
→ ∞
+
.
Bài 2 (2.5 ñiểm) Cho hàm số f(x) = x
3
– 3x – 1.
1. Gọi
1 2 3
, ,
x x x
là hoành ñộ giao ñiểm của ñồ thị hàm số với trục hoành. Tính giá
trị của biểu thức
3 3 3 3 3 3 2 2 2
1 2 2 3 3 1 1 2 3
4A x x x x x x x x x= + + +
.
2. Xét số nghiệm của phương trình f(f(x)) = 0.

Bài 3 (1.5 ñiểm)
1. Giải hệ phương trình
2 2
2 2 ( )( 2)
2
y
x
y x xy
x y

− = − +

+ =

.
2. Tìm số k lớn nhất ñể với mọi ∆ABC ta luôn có sin
2
A + sin
2
B > ksin
2
C.
Bài 4 (2.75 ñiểm) Cho hình chóp SABC, SA ⊥ SB, chân ñường cao hạ từ S ñến
mặt phẳng (ABC) trùng với trực tâm ∆ABC.
1. Gọi
, ,
α β γ
lần lượt là góc tạo bởi các mặt phẳng (SAB), (SBC), (SCA) với
ñáy (ABC). Tính giá trị của biểu thức
os2 +cos2 +cos2T c

α β γ
=
.
2. Gọi m là cạnh lớn nhất trong các cạnh bên và r là bán kính hình cầu nội tiếp
hình chóp SABC, tính tỉ số
m
r
.
Bài 5 (1.25 ñiểm) Cho hàm số f(tanx) = sin2x, với mọi |x| <
2
π
. Tìm giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = f(sin
3
2x).f(cos
3
2x).

Nguyễn Văn Xá ðề 07

ðỀ THI HSG BẮC NINH (2004 - 2005)
Ngày thi 12 – 04 - 2005

Câu 1
(2 ñiểm) Tìm giới hạn:
1) A =
a
1
sinx
lim ( )

sina
x
x a
→
−
; 2) B =
0
os( osx)
2
lim
sin(tanx)
x
c c
π
→
.
Câu 2
(2 ñiểm)
1. Tính ñạo hàm của hàm số f(x) = x
x

( x > 0), từ ñó tìm nguyên hàm của hàm số
ϕ
(x) = x
x
(1 + lnx).
2. Tính tích phân J =
0
n -1
sin x.cos(n+1)x.dx

π
∫
, trong ñó n là số nguyên dương
không nhỏ hơn 2.
Câu 3 (2 ñiểm) Cho ∆ABC có ñộ dài 3 cạnh là a, b, c. Giải hệ phương trình
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
b x c x a
c y a y b
a z b z c

− + − =


− + − =


− + − =


.
Câu 4 (2 ñiểm) Cho ∆ABC có ñộ dài 3 cạnh là a, b, c, bán kính ñường tròn ngoại
tiếp và nội tiếp là R, r, chu vi là 2p.
1. Chứng minh rằng ab + bc + ca = p
2
+ r
2
+ 4Rr.
2. Tính tổng

1 1 1
a b c
+ +
qua p, R, r.
3. Chứng minh rằng p
2
+ r
2
≥ 14Rr.
Câu 4 (2 ñiểm) Cho elip (E)
2 2
( 19) ( 98)
1998
19 98
x y
− −
+ =
. Gọi R
1
, R
2
, R
3
, R
4
lần
lượt là diện tích các phần của (E) nằm trong góc phần tư thứ nhất, thứ hai, thứ ba,
thứ tư tương ứng trên ñồ thị. Hãy xác ñịnh giá trị T = R
1
- R

2
+ R
3
- R
4
.

Nguyễn Văn Xá ðề 08

THI HSG 11 BẮC NINH (2004 – 2005)

Bài 1
(2,5 ñiểm) Tính giá trị của: cos5
0
- cos31
0
- cos41
0
+ cos67
0
+ cos77
0
.
Bài 2
(2,0 ñiểm) Cho dãy số {a
n
} thỏa a
1
= 1, a
n+1

=
n
n
a
a
1
2
+
với n =1, 2, 3, …
Chứng minh biểu thức
2
2
2
−
n
a
là số nguyên, với mọi giá trị nguyên n > 1.
Bài 3 (2,5 ñiểm) Cho tứ diện ABCD, ñường vuông góc chung của AC và BD ñi
qua trung ñiểm BD và S
ABD
= S
BCD
=
2
1
S
ABC
. Giả sử tồn tại ñiểm O trong tứ
diện sao cho tổng khoảng cách từ O ñến B và D bằng tổng khoảng cách từ O ñến
bốn mặt tứ diện. Chứng minh:

1) ðường vuông góc chung của AC và BD ñi qua trung ñiểm AC.
2) AC ⊥ BD.
Bài 4 (2,0 ñiểm) Gọi r, R là bán kính ñường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác
ABC, và r
1
là bán kính ñường tròn nội tiếp tam giác có các ñỉnh là tiếp ñiểm của
ñường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng r ≤
1
Rr
.
Bài 5 (1, 0 ñiểm) Giải phương trình x
3
- 3x =
2+x
.

Nguyễn Văn Xá ðề 09

ðỀ THI HSG LỚP 12 QUỐC GIA – BẢNG A (11 – 03 – 2004)

Bài 1
Giải hệ phương trình
3 2
3 2
3 2
( ) 2
( ) 30
( ) 16
x x y z
y y z x

z z x y

+ − =

+ − =


+ − =

.
Bài 2 Trong mặt phẳng, cho ∆ABC, gọi D là giao ñiểm của cạnh AB và ñường phân giác
trong của ∠ACB. Xét một ñường tròn (O) ñi qua hai ñiểm C, D và không tiếp xúc với các
ñường thẳng BC, CA. ðường tròn này cắt lại các ñường thẳng BC, CA tại M, N tương ứng.
1/ Chứng minh rằng có một ñường tròn (S) tiếp xúc với ñường thẳng DM tại M và tiếp xúc
với DN tại N.
2/ ðường tròn (S) cắt lại các ñường thẳng BC, CA lần lượt tại P, Q. Chứng minh rằng các
ñoạn thẳng MP, NQ có ñộ dài không ñổi, khi ñường tròn (O) thay ñổi.
Bài 3
Cho tập A gồm 16 số nguyên dương ñầu tiên. Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ nhất có
tính chất: trong mỗi tập con có k phần tử của A ñều tồn tại hai số phân biệt a, b sao cho a
2
+
b
2
là một số nguyên tố.

ðỀ THI HSG LỚP 12 QUỐC GIA – BẢNG A (12 – 03 – 2004)
Bài 4 Xét dãy số thực (x
n
), n = 1, 2, 3, …, xác ñịnh bởi x

1
= 1,
2
n
n + 1
n
(2 + cos2 )x os
x
(2 2cos2 )x 2 cos2
c
α α
α α
+
=
− + −
, với mọi n =1, 2, 3, …, trong ñó
α
là một tham số thực.
Hãy xác ñịnh tất cả các giá trị của
α
ñể dãy (y
n
) với
n
n
k=1
k
1
y , n = 1, 2, 3,
2x 1

=
+
∑
, có giới
hạn hữu hạn khi n → +
∞
. Tìm giới hạn của dãy (y
n
) trong các trường hợp ñó.
Bài 5 Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn ñiều kiện (x + y + z)
3
= 32xyz. Hãy tìm giá trị
nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P =
4 4 4
4
x y
(x y )
z
z
+ +
+ +
.
Bài 6 Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu S(n) là tổng tất cả các chữ số trong biểu diễn thập
phân của n. Xét các số nguyên dương m là bội của 2003. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của S(m).

Nguyễn Văn Xá ðề 10

ðỀ THI HSG BẮC NINH (2005 - 2006)
Ngày thi 05 – 04 – 2006

Bài 1
Tìm giới hạn
1)
sinx
lim
x+sinx
x
x
→∞
−
; 2)
2
9
0
( 2005) 1 5 2005
lim
x
x x
x
→
+ − −
.
Bài 2
1) Cho hàm số f(x) = x
3
– 3x – 1. Tính số nghiệm của phương trình f(f(x)) = 0.
2) Tìm m ñể phương trình |x|
3
– 3|x| – 2 = m(x – 2) có 4 nghiệm thực phân biệt.
Bài 3 Cho hình chóp SABC có ñáy ABCD là tứ giác nội tiếp ñường tròn ñường

kính AC, SA = 2BD,

60
o
BAD =
, SA ⊥ (ABCD). Kẻ AH, AK lần lượt vuông góc
với SB, SD tại H, K. Hãy tính góc giữa hai mặt phẳng (AHK) và (ABCD).
Bài 4 Cho các số không âm x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1. Chứng minh rằng x
2
+
y
2
+ z
2
+ 4xyz ≥
13
27
. Dấu ñẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 5 Cho hàm số f xác ñịnh bởi f(x) = f(x + 3).f(x – 3), ∀ x ∈ ℝ. Chứng minh f là
hàm tuần hoàn.

Nguyễn Văn Xá ðề 11

ðỀ THI CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN BẮC NINH
DỰ THI HSG QUỐC GIA ( 2005 – 2006)
Ngày thi 20 -10 -2005

Câu 1
(4 ñiểm) Giải hệ phương trình
4 2

2
2 2 0
1 0
x y xy y
x y x

− + + =

+ − − =

.
Câu 2
(4 ñiểm) Cho ∆ABC, tìm giá trị nhỏ nhất của
T =
2 2 2
tan 3(tan tan )
2 2 2
A B C
+ +
.
Câu 3 (4 ñiểm) Tìm tất cả các hàm số f(x) xác ñịnh và có ñạo hàm trên ℝ, thỏa
mãn f(x + y) = f(x) + f(y) + 2xy, ∀ x, y ∈ ℝ.
Câu 4 (4 ñiểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp ñường tròn (O). Tiếp tuyến của (O) tại
A và C cắt nhau ở Q, tiếp tuyến của (O) tại B và D cắt nhau ở P. Chứng minh
rằng P ∈ AC ⇔ Q ∈ BD.
Câu 5 (4 ñiểm) Chứng minh rằng hai số 2005
n

và (2005
n

+ 5
n
)
có số chữ số
bằng nhau với mọi n nguyên dương.

Nguyễn Văn Xá ðề 12

CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN 2005

Bài 1

Tìm tất cả các hàm số
:
f
ℕ*→ℕ* thỏa mãn với mọi cặp số nguyên dương
(x, y) ñều tồn tại số nguyên dương z sao cho
2 2
( ( )) ( ). ( ) ( ( ))
( ). ( ) ( )
3
f x f x f y f y
f x f y f z
+ +
≤ ≤
.
Bài 2
Cho dãy số dương không tăng {a
n
} có tính chất: tổng của một số hữu hạn bất

kì các số hạng của dãy ñều nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng
lim ( ) 0.
n
n
na
→+∞
=

Bài 3
Trong mặt phẳng cho ba ñiểm A, B, C phân biệt, thẳng hàng, B nằm giữa A, C
nhưng không trùng với ñiểm của AC. Vẽ hai ñường tròn
1
(ω )
và
2
(ω )
thay ñổi
tương ứng ñi qua các cặp ñiểm A, B và B, C. Hai ñường tròn này cắt nhau tại
ñiểm thứ hai D khác B. Gọi E là trung ñiểm của cung
DA
⌢
không chứa ñiểm B của
1
(ω )
và F là trung ñiểm của cung
DC
⌢
không chứa B của
2
(ω )

. Chứng minh trung
ñiểm của ñoạn thẳng EF luôn nằm trên một ñường thẳng cố ñịnh.

Bài 4
Có 2005 cái hộp xếp quanh một sân vận ñộng. Giả sử ta có trong tay một số
lượng ñủ lớn các quả bóng. Thực hiện một trò chơi như sau: Lần thứ nhất bỏ vào
một số hộp nào ñó một số quả bóng một cách tùy ý, lần thứ hai trở ñi mỗi lần cho
phép ta chọn 6 cái hộp nằm liên tiếp và bỏ thêm vào mỗi hộp 1 quả bóng. Hỏi có
thể làm cho 2005 hộp ñó có số lượng bóng bằng nhau ñược không? Bài toán sẽ
thay ñổi thế nào nếu xung quanh sân vận ñộng không phải 2005 mà là 2006 cái
hộp? Giải thích.
Nguyễn Văn Xá ðề 13

ðỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 12 (2006-2007)

Bài 1
: (4ñ) Giải phương trình :
1
( 3) 2 1
x x−
− =
.
Bài 2: (4ñ) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
22
yx +
nếu :
3 2 6
7 3 4
x y
x y

+ ≤
− ≤





.
Bài 3
: (4ñ) Cho dãy
n21
x, ,x,x
, với





=+=
=
+
, )2,1n(,xxx
2
1
x
n
2
n1n
1
. Hãy tìm

phần nguyên của A biết
1x
1

1x
1
1x
1
A
10021
+
++
+
+
+
=
.
Bài 4: (4ñ) Cho dãy (a
n
) với :







−−
=
=

+
2
a11
a
2
1
a
2
n
1n
1
. Chứng minh tổng tất cả
các số hạng của dãy nhỏ hơn 1,03.

Bài 5: (4ñ) Cho tứ diện ABCD trong tam giác BCD chọn ñiểm M và kẻ qua M
các ñường thẳng song song với các cạnh AB,AC,AD cắt các mặt (ACD), (ABD)
và (ABC) tại
111
C,B,A
. Tìm v
ị
trí c
ủ
a M
ñể
th
ể
tích hình t
ứ
di

ệ
n
111
CBMA

l
ớ
n nh
ấ
t.
Nguyễn Văn Xá ðề 14

KÌ THI CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN BẮC NINH
DỰ THI HSG QUỐC GIA LỚP 12 NĂM 2006 - 2007

Câu 1:
(4 ñiểm)
Giải hệ phương trình:
3 2 cos cos
3 2 cos cos
3 2 cos cos
x y z
y z x
z x y
+ = +


+ = +



+ = +

.
Câu 2:
(4 ñiểm)
Cho dãy số
{
}
n
x
thoả mãn:
0
3
1 1
3
3 2
n n n
x
x x x
+ +
=



− = +


. Tìm
lim
n

n
x
→+∞
.
Câu 3: (4 ñiểm)
Tìm tất cả các hàm số f(x) liên tục trên
*
+
R
và thoả mãn:
2 2
2
(1) 5
4
( ) ( ) 4 , 0.
f
f x x f x x x
x
=



− = − ∀ >



Câu 4: (4 ñiểm)

Trên mặt phẳng cho hình vuông ABCD cạnh a và ñiểm M thay ñổi. Tìm giá
trị nhỏ nhất của mỗi tổng sau:

1) T
2
= 2.MA
2
+ MB
2
+ MC
2
+ MD
2
.
2) T
1
= 2.MA + MB + MC + MD.
Câu 5: (4 ñiểm)
Cho tập hợp A = {0,1,2,…,2006}. Một tập con T của A ñược gọi là tập con
“ngoan ngoãn” nếu với bất kì x, y
∈
T (có thể x = y) thì | x – y |
∈
T.
1) Tìm tập con “ngoan ngoãn” lớn nhất của A và khác A.
2) Tìm tập con “ngoan ngoãn” bé nhất của A chứa 2002 và 2005.


Nguyn Vn Xỏ 15

UBND tỉnh Bắc Ninh

Sở giáo dục và đào tạo

==========


Kì thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh
Năm học 2007 2008
Môn thi: Toán THPT
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể giao đề)
Ngày thi: 2 tháng 4 năm 2008
==============

Câu1(5 điểm)

Tìm tất cả các giá trị của a để tập xác định của hàm số :

f(x) =
2a x
2a x
+

chứa tập giá trịcủa hàm số g(x) =
2
1
x 2x 4a 2+ +
.

Câu2(3điểm)

Giải hệ :

x

4
x
3
y+ x
2
y
2
= 1
x
3
y x
2
+ xy = -1

Câu 3(5 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số :
f ( x,y,z ) =
yz x 1 xz y 2 xy z 3
xyz
+ +
;
Trên miền D =
{
}
(x,y,z) : x 1;y 2;z 3


Câu4(3 điểm)
Gọi V và S lần lợt là thể tích và diện tích toàn phần của một tứ diện
ABCD . Chứng minh rằng :

3
2
S
V
> 288
Câu 5(2 điểm)
Tìm nghiệm nguyên của phơng trình :
x
2
y
2
x
2
8y
2
= 2xy

Câu 6(2 điểm)
Tìm tất cả các hàm số f(x) khả vi trên khoảng ( -1; 1) sao cho

f(x) + f(y) = f
x y
1 xy

+

+

.

=========Hết==========
Đề này có 01 trang
Chú ý : học sinhBổ túcTHPT không phải làm câu 5 , 6

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Đề chính thức
Nguyễn Văn Xá ðề 16

CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN BẮC NINH
DỰ THI HSG 12 TOÀN QUỐC (2007 – 2008)

Bài 1

Tìm m ñể
2 3 4 3 ,
x x x
mx x+ + ≥ + ∀ ∈
R.

Bài 2

Trên mặt phẳng Oxy cho ñường tròn (C) x
2
+ y
2
-2x – 4y – 20 = 0 và hai ñiểm
A(
29
4
;2), B(- 9 ; - 6). Tìm ñiểm M∈(C) sao cho 4MA + 5MB ñạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 3
Giải phương trình nghiệm nguyên
2 2
24( ) 10( ) 5 2 1040 2 3 2x y x y y x+ + + + + = + +
.

Bài 4
Cho △ABC có góc
ˆ
A
tù. Dựng △ABD vuông cân tại D và △ACE vuông cân
tại E sao cho C, D khác phía so với AB còn B, E cùng phía so với AC. Gọi I, K
lần lượt là các tâm ñường tròn nội tiếp △ABD và △ACE. Tính tỉ số
IK
BC
và góc
giữa hai ñường IK, BC.

Bài 5
Tìm giới hạn của dãy
( )
n
x
cho bởi
1
2
1
1
2

, *.
2 1
n
n
n
x
x
x n N
x
+

≠




= ∀ ∈

−



Bài 6
Xác ñịnh hàm số f(x) liên tục trên R
+
và thỏa mãn
f(x
24
) + f(x
10

) = 2007(x
24
+ x
10
), ∀x∈R.

Bài 7
Trên bàn có 2007 viên bi gồm 667 bi xanh, 669 bi ñỏ, 671 bi vàng. Cứ mỗi lần
lấy ñi 2 viên bi khác màu, người ta lại thêm vào 2 viên bi có màu còn lại. Hỏi có
thể ñến một lúc nào ñó trên bàn chỉ còn các bi cùng màu hay không ?
Nguyn Vn Xỏ 17

UBND tỉnh Bắc Ninh

Sở giáo dục và đào tạo
==========


đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh
Năm học 2008 2009
Môn thi: Toán THPT
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể giao đề)
Ngày thi: 7 tháng 4 năm 2009
==============
Bài 1 (6 điểm)
1/ So sánh hai số: 2009
2010
và 2010
2009

2/Tính giới hạn sau:

2
0 3
3
1 1
lim
3 ( 1 4 1)
2 ( (1 6 ) 1 6 1)
x
x x
x x x






+ +


+ + + +




Bài 2 (4 điểm)
1/ Cho ba số thực không âm x, y, z thoả mãn: x
2009
+ y

2009
+ z
2009
= 3
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: F=
2 2 2
x y z
+ +

2/ Cho số nguyên dơng n. Chứng minh rằng:

1 2 1
2009 2010 2009+n
1 1 1 1
+ + + <
C C C 2007
n+

Bài 3 (4 điểm)
Hình chóp S.ABC có tổng các mặt (góc ở đỉnh) của tam diện đỉnh S bằng
180


và các cạnh bên SA=SB=SC=1. Chứng minh rằng diện tích toàn phần của hình chóp
này không lớn hơn
3
.
Bài 4 (4 điểm)
1/ Gọi m, n, p là 3 nghiệm thực của phơng trình:
3 2

ax +bx +cx-a=0

)0( a

Chứng minh rằng:

222
3221
pnm
pnm
++
+
+
. Dấu
''"=
xảy ra khi nào?
2/ Giải hệ phơng trình:
3 3 2
3 3 2
3 3 2
( ) 14
( ) 21
( ) 7
x y x y z xyz
y z y z x xyz
z x z x y xyz

+ + + = +

+ + + =

+ + + = +


Bài 5(2 điểm)
1/ Chứng minh rằng bốn hình tròn có các đờng kính là bốn cạnh của một tứ
giác lồi thì phủ kín miền tứ giác đó.
2/ Cho
3 5 2n+1
0 1 2 n
y=a x+a x +a x + +a x +
với
( 1;1)
x
thỏa mãn:

2
(1- ) - 1
x y xy

=
với
( 1;1)
x
. Tìm các hệ số:
0 1 2 n
a ,a ,a , ,a .

Hết

(Đề gồm 01 trang)

Đề chính thức

Nguyễn Văn Xá ðề 18



ðỀ THI CHỌN ðỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI TỈNH 2008 – 2009

Bài 1
: (8 ñiểm)
a. Giải phương trình
4 4 4 6x x x x+ − + + − = .
b. Tìm các giá trị của a ñể hệ sau có ñúng 2 nghiệm
2 2
2
2(1 )
( ) 4
x y a
x y

+ = +


+ =


.

Bài 2:
(6
ñ
i
ể
m) Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng to
ạ

ñộ
Oxy cho A (1;2), B(0;1), C(-2;1).
a. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
ñườ
ng tròn (T) ngo
ạ
i ti
ế
p tam giác ABC.
b. Gi
ả
s
ử
M là

ñ
i
ể
m chuy
ể
n
ñộ
ng trên (T). Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng tr
ọ
ng tâm G c
ủ
a tam giác ABC
thu
ộ
c m
ộ
t
ñườ
ng tròn c
ố

ñị
nh. Vi
ế
t ph
ươ

ng trình
ñườ
ng tròn
ñ
ó.

Bài 3:
(2
ñ
i
ể
m) Cho tam giác ABC. G
ọ
i m
a
, m
b
, m
c
l
ầ
n l
ượ
t là
ñộ
dài các
ñườ
ng trung tuy
ế
n

thu
ộ
c các c
ạ
nh BC = a, CA = b, AB = c và có m
c
=
3
2
c
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
m
a
+ m
b
+ m
c
=
3
( )
2
a b c+ +
.

Bài 4
: (4 ñiểm) Cho hai số thực x, y dương thoả mãn ñiều kiện x + y ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức:
2 2
1 1
4
P xy
x y xy
= + +
+
.
Nguyễn Văn Xá ðề 19

THI HSG GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY
LỚP 12 BẮC NINH 2008


Bài 1

Tính gần ñúng giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của f(x) = 5x – 3 +
2
10 8x x− −
.
Bài 2
Tính gần ñúng (ñến ñộ, phút, giây) nghiệm của phương trình
3cos2x + 4cos3x = 1.
Bài 3

Với mỗi n∈N* ñặt f(n) = (n
2
+ n + 1)
2

+ 1 và a
n
=
(1). (3) (2 1)
(2). (4) (2 )
f f n
f f f n
−
. Tính gần
ñúng 2009a
2008
.
Bài 4
Dự ñoán lim(
sin
1)
n
n
n
+
.
Bài 5
Giải gần ñúng phương trình
2
3 0
2
x
x
e sinx
− + − =

.
Bài 6
Một ñất nước có 80 sân bay mà khoảng cách giữa các cặp sân bay bất kì ñều
khác nhau và không có ba sân bay nào thẳng hàng. Cùng một thời ñiểm từ mỗi sân
bay có một chiếc máy bay cất cánh và bay ñến sân bay nào gần nhất. Trên bất kì
sân bay nào cũng không thể có quá n máy bay bay ñến. Tìm n.
Bài 7
Hình chóp tứ giác ñều có tâm mặt cầu ngoại tiếp trùng với tâm mặt cầu nội
tiếp. Tính gần ñúng góc giữa mặt bên và mặt ñáy.
Bài 8
Giải gần ñúng hệ phương trình
( ) 6
( ) 30
( ) 12
xy x y
yz y z
zx z x
+ =


+ =


+ =

.
Bài 9
Trên bảng có 2008 số
1 2 2008
, , ,

2008 2008 2008
. Mỗi lần xóa ñi hai số a và b ở bảng
ñó người ta viết vào bảng số (a + b – 2ab). Hỏi sau 2007 lần xóa như vậy số còn
lại trên bảng là số nào ?
Bài 10
Cho hai ñường tròn (O
1
; R
1
), (O
2
; R
2
) cắt nhau. Biết rằng O
2
nằm trên (O
1
;
R
1
) và diện tích phần chung của hai hình tròn này bằng nửa diện tích của hình tròn
(O
1
; R
1
). Tính gần ñúng tỉ số
1
2
R
R

.
Nguyễn Văn Xá ðề 20

THI HSG LỚP 12 QUỐC GIA 2008


Câu 1

Hãy xác ñịnh số nghiệm của hệ phương trình
2 3
3 2
29
log .log 1
x y
x y

+ =

=

.
Câu 2
Cho △ABC có
BEC
∠
là góc nhọn, với E là trung ñiểm của AB. Trên tia EC
lấy ñiểm M sao cho
BME ECA
∠ = ∠
. Kí hiệu

BEC
α
= ∠
. Tính tỉ số
MC
AB
theo
α
.
Câu 3
ðặt m =
2008
2007
. Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên n mà n < m và n(2n +
1)(5n + 2) chia hết cho m?

Câu 4
Cho dãy số thực
( )
n
x
xác ñịnh bởi
1 2 2
1
0; 2; 2 ,
2
n
n
x
x x x n

+
−
= = = + ∀ ∈
ℕ*. Chứng
minh dãy số có giới hạn hữu khi n → +
∞
. Tìm giới hạn ñó.

Câu 5
Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 9 mà mỗi số gồm tối ña 2008 chữ
số và trong ñó có ít nhất 2 chữ số 9 ?

Câu 6
Cho ba số thực không âm x, y, z ñôi một khác nhau. Chứng minh rằng
2 2 2
1 1 1
( )( 4.
( ) ( ) ( )
xy yz zx
x y y z z x
+ + + + ≥
− − −

Dấu bằng xảy ra khi nào ?

Câu 7
Cho △ABC, trung tuyến AD. Cho ñường thẳng d vuông góc với AD. Xét
ñiểm M ∈ d. Gọi E, F lần lượt là trung ñiểm của MB, MC. ðường thẳng ñi qua
E và vuông góc với d, cắt AB ở P. ðường thẳng ñi qua F, vuông góc với d, cắt
AC tại Q. Chứng minh ñường thẳng ñi qua M vuông góc với PQ luôn ñi qua một

ñiểm cố ñịnh khi M di ñộng trên d.
Nguyn Vn Xỏ 21

UBND TỉNH BắC NINH
Sở giáo dục Và Đào tạo


đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh
Năm học: 2009-2010
môn thi: toán - lớp 12 - thpt
Thời gian làm bài: 180 phút ( không kể thời gian giao đề)
Ngày thi 14 tháng 4 năm 2010

Câu 1 (3,0 điểm)
1/ Giải phơng trình:
sin x sin 2x sin3x
3
cosx cos2x cos3x
+
=
+

2/ Cho bất phơng trình:
2
5 5 5
log (5x) log x log (25x )
4 6 m.3
(với m là tham số).
a) Giải bất phơng trình đã cho, khi m = 2.
b) Xác định m để bất phơng trình đã cho có nghiệm x > 1.

Câu 2 (4,0 điểm)
Cho hàm số y =
2
2
x 3x 1
x 1
+
+

1/ Chứng minh rằng hàm số đã cho có duy nhất điểm cực trị, đó là điểm cực tiểu.
2/ Đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành Ox tại hai điểm phân biệt A và B. Tính
cosin của góc tạo bởi các tiếp tuyến tại A và tại B của đồ thị hàm số đã cho (với kết
quả đợc rút gọn).

Câu 3 (3,0 điểm)
1/ Tìm tất cả các số nguyên dơng n thoả mãn:
n
0 1 n
n n n
1 1 ( 1) 1
C C C .
2 3 n 2 42

+ + =
+

2/ Giải hệ phơng trình:
1 2
2 3

3 4
4 1
6 3 cos(2 )
6 3 cos(2 )
6 3 cos(2 )
6 3 cos(2 )
x x
x x
x x
x x





=

=


=


=


Câu 4 (6,5 điểm)
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, với
AB = 1 và AA = a.
1/ Tính thể tích khối tứ diện BDBC. Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng DC

và AC.
2/ Khi a thay đổi, hãy tìm giá trị lớn nhất của góc tạo bởi đờng thẳng BD và mặt
phẳng (BDC).

Câu 5 (3,5 điểm)
1/ Chứng minh rằng với mọi
Rx
ta đều có: 3


2 2
sin x cos x
2
2 2 2
+
+
2/ Tìm
( )
2 2
lim cos cos sin sin
n
n n
x

+
+
với
(0; )
2

.
Hết
(Đề thi gồm 01 trang)
Họ và tên thí sinh: Chữ ký của giám thị 1:
Số báo danh : Chữ ký của giám thị 2:

Đ
ề chính thức

Nguyễn Văn Xá ðề 22

ð
Ề
CHÍNH TH
ỨC


Câu 1:(5 ñiểm)
1/ Cho hàm số
3
y x 3x 2= − +
có ñồ thị là (T). Giả sử A, B, C là ba ñiểm thẳng hàng trên
(T), tiếp tuyến của (T) tại các ñiểm A, B, C lần lượt cắt (T) tại các ñiểm A’, B’, C’ (tương
ứng khác A, B, C). Chứng minh rằng A’, B’, C’ thẳng hàng.
2/ Cho hàm số
2n 1
y x 2011x 2012 (1)
+

= + +
, chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n
ñồ thị hàm số (1) luôn cắt trục hoành tại ñúng một ñiểm.
Câu 2:(5 ñiểm)
1/ Giải phương trình:
( )
2 4 6 3 5 7
log x log x log x log x log x log x x+ + = + + ∈ℝ
.
2/ Giải phương trình:
( ) ( )
2
2
1 1
5x 6 x x
5x 7 x 1
− − = − ∈
− −
ℝ
.
Câu 3:(3 ñiểm)
Kí hiệu
k
n
C
là tổ hợp chập k của n phần tử
( )
0 k n; k,n≤ ≤ ∈ℤ
, tính tổng sau:
0 1 2 2009 2010

2010 2010 2010 2010 2010
S C 2C 3C 2010C 2011C= + + + + +
.
Câu 4:(5 ñiểm)
1/ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có ñáy ABCD là hình bình hành,
( )
AD 4a a 0= >
, các
cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng
a 6
. Tìm cosin của góc giữa hai mặt phẳng
(SBC) và (SCD) khi thể tích của khối chóp S.ABCD là lớn nhất.
2/ Cho tứ diện ABCD có


0 0
BAC 60 ,CAD 120= =
. Gọi E là chân ñường phân giác trong góc
A của tam giác ABD. Chứng minh rằng tam giác ACE vuông.
Câu 5:(2 ñiểm)
Cho hai số thực x, y thỏa mãn:
2 2
x y+ ≤ π
. Chứng minh rằng:
( )
cosx cosy 1 cos xy+ ≤ +
.
…………………… HẾT……………………
(ðề thi gồm có 01 trang)
UBND TỈNH BẮC NINH

SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO
ðỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2010 – 2011
MÔN THI: TOÁN – LỚP 12 – THPT
Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao ñề)
Ngày thi 22 tháng 3 năm 2011
================






Nguyễn Văn Xá ðề 23