Đề thi Olympic trại hè Phương Nam lần 1 năm 2014 môn toán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
SỞ GD & ĐT ĐỒNG THÁP
*****
TRẠI HÈ PHƯƠNG NAM 2014
Olympic Toán học
(Thời gian làm bài: 120 phút)
Câu 1. Cho bộ số gồm 8 số Đ = {T, R, A, I, H, E, P, N} và
T =

T + R
2
,
R + A
2
,
A + I
2
,
I + H
2
,
H + E
2
,
E + P
2
,
P + N
2
,
N + T

2

là một hoán vị của Đ. Biết rằng T +R+A+I +H +E +P +N = 2014.
Hãy xác định các giá trị của N.
Câu 2. Giải phương trình: x
2
+ x − 3 =
√
3 − 2x.
Câu 3. Giải hệ phương trình:

√
12 − 2x
2
= 4 + y

1 − 2y −y
2
= 5 − 2x
Câu 4. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Phân giác
trong của góc A cắt BC tại A
1
và cắt đường tròn tâm O tại A
2
. Tương
tự, ta thu được các điểm B
1
, B
2
và C

1
, C
2
, tương ứng. Chứng minh
rằng
A
1
A
2
BA
2
+ A
2
C
+
B
1
B
2
CB
2
+ B
2
A
+
C
1
C
2
AC

2
+ C
2
B
≥
3
4
.
Câu 5. Cho số nguyên tố có 4 chữ số p = abcd. Chứng minh rằng đa
thức P (x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d không phân tích được thành tích của
hai đa thức với hệ số nguyên.
——————————