Đề kiểm tra học kì II môn toán 9 năm học 2014 - 2015(Đề số 1 có đáp án)

KIỂM TRA HỌC KÌ II
NĂM HỌC 2014-2015
MÔN: TOÁN 9
Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề)
ĐỀ SỐ 1:
Bài 1: (2 đ ) Không dùng máy tính, hãy giải hệ phương trình và phương trình sau:
3 3
/
2 7
x y
a
x y
+ =


− =

2
/ 3 5 1 0b x x+ + =
Bài 2: (2 đ ) Cho phương trình:
( )
2
2 1 0 1x mx− − =
(m là tham số)
a/ Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m?
b/ Gọi
1 2
;x x
là 2 nghiệm của phương trình (1). Tìm m để
2 2
1 2 1 2

7x x x x+ − =
Bài 3: (2,5 đ ) Hai đội thợ quét sơn một ngôi nhà. Nếu họ cùng làm thì trong 4 ngày xong việc.
Nếu họ làm riêng thì đội I hoàn thành công việc nhanh hơn đội II là 6 ngày. Hỏi nếu làm riêng
thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu ngày thì xong việc?
Bài 4: (3,5 đ ) Cho 2 đường tròn (O; R) và (O’: r) cắt nhau tại A và B. Vẽ các đường kính AOC,
AO’D. Đường thẳng AC cắt đường tròn (O’: r) tại E (A nằm giữa E và C). Đường thẳng AD cắt
đường tròn (O: R) tại F (A nằm giữa F và D). Chứng minh rằng:
a/ Ba điểm C, B, D thẳng hàng.
b/ Tứ giác CDEF nội tiếp được một đường tròn.
c/ Quay tam giác ACD quanh CD cố định. Tính thể tích hình tạo thành, biết AB = R =
5cm; r = 3cm.
ĐÁP ÁN
Bài 1: (2 điểm) Không dùng máy tính, hãy giải hệ phương trình và phương trình sau:
3 3 5 10 2 2
/
2 7 3 3 6 3 3
x y x x x
a
x y x y y y
+ = = = =
   
⇔ ⇔ ⇔
   
− = + = + = = −
   
Vậy hệ phương trình có nghiệm
( ) ( )
; 2; 3x y = −
(1đ)
2

/ 3 5 1 0b x x+ + =
Phương trình có các hệ số
3; 5; 1a b c= = =
Ta có
2
5 4.3.1 13 13∆ = − = ⇒ ∆ =
Vì
0
∆ >
nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
1
5 13 5 13
2.3 6
x
− + − +
= =
;
2
5 13 5 13
2.3 6
x
− − − −
= =
(1đ)
Bài 2: (2 điểm) Cho phương trình:
( )
2
2 1 0 1x mx− − =
(m là tham số)
a/ Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m?

Phương trình có các hệ số
1; 2 ; 1; 'a b m c b m= = − = − = −
Ta có
( ) ( )
2
2
' 1 1m m∆ = − − − = +
Vì
2
' 1 0m∆ = + >
với mọi m nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt (1đ)
b/ Gọi
1 2
;x x
là 2 nghiệm của phương trình (1). Tìm m để
2 2
1 2 1 2
7x x x x+ − =
Gọi
1 2
;x x
là 2 nghiệm của phương trình (1). Theo hệ thức Vi – ét, ta có:
1 2
1 2
2
. 1
x x m
x x
+ =



= −

Để
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
7 3 7 2 3 1 7 4 4 1 1x x x x x x x x m m m m+ − = ⇔ + − = ⇔ − − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ±
Vậy
1m
= ±
thì
2 2
1 2 1 2
7x x x x+ − =
(1đ)
Bài 3: Gọi x (ngày) là thời gian đội I làm một mình xong việc
ĐK:
4x >
Thời gian đội II làm một mình xong việc là:
6x +
(ngày)
Mỗi ngày, đội I làm được:
1
x
(công việc)
Mỗi ngày, đội II làm được:
1
6x +

(công việc)
Mỗi ngày, cả 2 đội làm được:
1
4
(công việc)
Theo đề bài, ta có phương trình:
1 1 1
6 4x x
+ =
+
(1đ)
( ) ( )
2 2
4 6 4 6 4 24 4 6 2 24 0x x x x x x x x x x⇔ + + = + ⇔ + + = + ⇔ − − =
( ) ( )
2
' 1 24 25 ' 5∆ = − − − = ⇒ ∆ =
Vì
' 0
∆ >
nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
1
1 5
6
1
x
+
= =
(thỏa);
2

1 5
4
1
x
−
= = −
(loại) (1đ)
Trả lời: Đội I làm một mình xong việc trong 6 ngày
Đội II làm một mình xong việc trong 12 ngày (0,5đ)
Bài 4: Vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận: 0,5đ
a/ Chứng minh: Ba điểm C, B, D thẳng hàng.
Ta có:
·
0
90ABC =
(Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O;R))
·
0
90ABD =
(Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O’;r))
·
·
·
0 0 0
90 90 180CBD ABC ABD⇒ = + = + =
Do đó 3 điểm C, B, D thẳng hàng (1 điểm)
b/ Chứng minh: Tứ giác CDEF nội tiếp được một đường tròn
Ta có:
·
0

90AFC =
(Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O;R))
Hay
·
0
90DFC =
F
⇒
thuộc cung chứa góc 90
0
dựng trên đoạn thẳng CD (1)
·
0
90AED =
(Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O’;r))
Hay
·
0
90CED =
E
⇒
thuộc cung chứa góc 90
0
dựng trên đoạn thẳng CD (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác CDEF nội tiếp được một đường tròn (1 điểm)
c/ Tính thể tích hình tạo thành khi quay tam giác ACD quanh CD cố định.
ABC∆
vuông tại B có:
2 2 2
AC AB BC= +

(Định lý Pytago)
( )
2 2 2 2 2
10 5 75 75 5 3BC AC AB BC cm= − = − = ⇒ = =
Thể tích của hình nón tạo bởi
ABC
∆
là:
( )
2 2 2
1 1 1
1 1 125 3
5 5 3
3 3 3
V R h cm
π π π
= = =
ABD∆
vuông tại B có:
2 2 2
AD AB BD= +
(Định lý Pytago)
( )
2 2 2 2 2
6 5 11 11BD AD AB BD cm= − = − = ⇒ =
Thể tích của hình nón tạo bởi
ABD∆
là:
( )
2 2 2

2 2 2
1 1 25 11
5 11
3 3 3
V R h cm
π π π
= = =
Vậy thể tích hình tạo thành khi quay tam giác ACD quanh CD cố định.
( )
( )
2
1 2
125 3 25 11 25
5 11
3 3 3
V V V cm
π
π π
= + = + = +
2 đường tròn (O;R) và (O’;r) cắt nhau
tại A và B. AOC, AO’D là các đường
kính , AC cắt đường tròn (O’: r) tại E,
AD cắt đường tròn (O: R) tại F
AB = R = 5cm; r = 3cm.
a/ Ba điểm C, B, D thẳng hàng.
b/ Tứ giác CDEF nội tiếp được một
đường tròn
c/ Tính thể tích hình tạo thành khi
quay tam giác ACD quanh CD cố
định.

GT
KL
B
O
O'
A
C
D
F
E