19 ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 CỰC HAY

19 ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 CỰC HAY
ĐỀ 1
Câu1(3điểm).Choa,b,clà ba số thực dương, thoả mãn điều kiện:
b
bac
a
acb
c
cba
−+
=
−+
=
−+
. Hãy
tính giá trị của biểu thức






+






+







+=
b
c
c
a
a
b
B 111
.
Câu 2. (5điểm)
1) Cho:
d
c
c
b
b
a
==
. Chứng minh:
d
a
dcb
cba
=







++
++
3
.
2)Cho
6
5
4
3
2
1 −
=
+
=
− cba
và 5a - 3b - 4 c = 46 . xác định a,b,c
3) Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng mua một số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp
tỉ lệ với 5:6:7 nhưng sau đó chia theo tỉ lệ 4:5:6 nên có một lớp nhận nhiều hơn dự định 4 gói. Tính
tổng số gói tăm mà ba lớp đã mua.
Câu 3. (2 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =
2 2 2 2013x x− + −
với x là số nguyên
Câu 4. (7 điểm)
Cho

∧
xAy
=60
0
có tia phân giác Az . Từ điểm B trên Ax kẻ BH vuông góc với Ay tại H, kẻ BK
vuông góc với Az và Bt song song với Ay, Bt cắt Az tại C. Từ C kẻ CM vuông góc với Ay tại M .
Chứng minh :
a ) K là trung điểm của AC.
b )
∆
KMC là tam giác đều
c)Cho BK = 2cm. Tính các cạnh
∆
AKM.
Câu 5. (3 điểm)
Cho biết(x-1).f(x)=(x+4) .f(x+8) với mọi x .Chứng minh rằng f(x) có ít nhất 2 nghiệm
Trường THCS Liên Châu
Câu Nội dung Điểm
Vì a,b,c là các số dương nên a+b+c
≠
0,ta có:
b
bac
a
acb
c
cba
−+
=
−+

=
−+
=
a b c b c a c a b
a b c
+ − + + − + + −
+ +
= 1
mà
1 1 1
a b c b c a c a b
c a b
+ − + − + −
+ = + = +
= 2=>
a b b c c a
c a b
+ + +
= =
=2
Vậy B =
1 1 1 ( )( )( )
b a c b a c a b c
a c b a c b
+ + +
   
+ + + =
 ÷ ÷ ÷
   
=8

1)Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau:
a b c a b c
b c d b c d
+ +
= = =
+ +
Do đó:
3
. .
a b c a b c a b c a b c
b c d b c d b c d b c d
+ + + + + + + +
 
=
 ÷
+ + + + + + + +
 
. .
a b c a
b c d d
= =
1
1
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
1
19 ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 CỰC HAY
Câu2(5
đ)
2)
6

5
4
3
2
1 −
=
+
=
− cba
=
2
241210
2095435
24
)5(4
12
)3(3
10
)1(5
−=
−−
+−−−−
=
−
−−
=
−
+−
=
− cbacba

=> a = -3 ; b = -11; c = -7.
0,5
0,5
3)Gọi tổng số gói tăm 3 lớp cùng mua là x ( x là số tự nhiên khác 0)
số gói tăm dự định chia chia cho 3 lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu lần lượt là: a, b,c
Ta có:
5 6 7
; ;
5 6 7 18 18 18 18 3 18
a b c a b c x x x x x
a b c
+ +
= = = = ⇒ = = = =
(1)
Số gói tăm sau đó chia cho 3 lớp lần lượt là a’, b’, c’, ta có:
, , , , , ,
, , ,
4 5 6
; ;
4 5 6 15 15 15 15 3 15
a b c a b c x x x x x
a b c
+ +
= = = = ⇒ = = = =
(2)
So sánh (1) và (2) ta có: a > a’; b=b’; c < c’ nên lớp 7C nhận nhiều hơn lúc
đầu
Vây: c’ – c = 4 hay
6 7
4 4 360

15 18 90
x x x
x− = ⇒ = ⇒ =
Vậy số gói tăm 3 lớp đã mua là 360 gói.
0,25

0,5
0,5
0,75
0,75
0,25
Câu 3
(2điểm)
a) Ta có:
2 2 2 2013 2 2 2013 2A x x x x= − + − = − + −

2 2 2013 2 2011x x≥ − + − =

Dấu “=” xảy ra khi
2013
(2 2)(2013 2 ) 0 1
2
x x x− − ≥ ⇔ ≤ ≤
1
0,75
0,25
Câu 4
(7điểm)
V ẽ hình , GT - KL
a,

∆
ABC cân tại B do
)(
∧∧∧
== MACACBCAB
và BK là đường cao
⇒
BK là đường trung
tuyến

⇒
K là trung điểm của AC
b,
∆
ABH =
∆
BAK ( cạnh huyền + góc nhọn )

⇒
BH = AK ( hai cạnh t. ư ) mà AK =
1
2
AC
⇒
BH =
1
2
AC
Ta có : BH = CM (
∆

BHM =
∆
MCB ) mà CK = BH =
1
2
AC
⇒
CM = CK
⇒

∆
MKC là
tam giác cân ( 1 )
Mặt khác :
∧
MCB
= 90
0
và
∧
ACB
= 30
0
0,5
1,5
0,5
0,5
0,5
0,5
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm

2
19 ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 CỰC HAY

⇒
∧
MCK
= 60
0
(2)
Từ (1) và (2)
⇒

∆
MKC là tam giác đều
c) Vì
∆
ABK vuông tại K mà góc KAB = 30
0
=> AB = 2BK =2.2 = 4cm
Vì
∆
ABK vuông tại K nên theo Pitago ta có:
AK =
2 2
16 4 12AB BK− = − =
Mà KC =
1
2
AC => KC = AK =
12

∆
KCM đều => KC = KM =
12
Theo phần b) AB = BC = 4; AH = BK = 2; HM = BC (
∆
BHM =
∆
MCB)Suy ra
AM=AH+HM=6
0,5
0,5
0,25
0,5
Câu 5
(3điểm
)
Vì (x-1).f(x)=(x+4).f(x+8) với mọi x nên:
+khi x=-4 thì -5.f(-4)=0.f(4)=>f(-4)=0.vậy x= -4 là 1 nghiệm của f(x)
+khi x=-12 thì -13.f(-12)=-8.f(-4) = >f(-12)=f(-4)=0.vậy x=-12 là 1 nghiệm của f(x)
Do đó f(x) có it nhất 2 nghiệm là -4 va -12
1,25
1,25
0,5
ĐỀ 2
Bài 1: (5,0 điểm) Cho a,b,c,d là 4 số khác 0, thoả mãn điều kiện: b
2
= ac; c
2
= bd;
b

3
+ c
3
+ d
3
≠ 0Chứng minh rằng:
3 3 3
3 3 3
a b c a
b c d d
+ +
=
+ +
2) Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng mua một số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba
lớp tỉ lệ với 5:6:7 nhưng sau đó chia theo tỉ lệ 4:5:6 nên có một lớp nhận nhiều hơn dự định 4 gói.
Tính tổng số gói tăm mà ba lớp đã mua.
Bài 2: (6,0 điểm)1) Cho hai đa thức:
2 2 2
5xy 6x – 3x y 7y 1A = + + +
2 2 2
5x 13xy 3y – 6x y 5B = + + +
. Tính A+B; A-B
2) Cho đa thức f(x) = (m - 2)x + 2m - 3
a) Tìm nghiệm của f(x) khi m = 1.
b) Tìm giá trị của m khi f(x) có nghiệm là -4.
c) Tìm giá trị của m khi f(x) có nghiệm nguyên, tìm nghiệm nguyên đó.
Bài 3: (2,0 điểm) Tìm GTNN của biểu thức
2013 2014 2015A x x x= − + − + −
Câu 4. (7,0 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E
sao cho ME = MA. Chứng minh rằng:

- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
3
19 ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 CỰC HAY
a) AC = EB và AC // BE
b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M
, K thẳng hàng
c) Từ E kẻ
EH BC
⊥

( )
H BC
∈
. Biết
·
HBE
= 50
o
;
·
MEB
=25
o
.
Tính
·
HEM
và
·
BME

d) Từ H kẻ
HF BE
⊥
( )
F BE
∈
. CMR:
HF BE BH HE
+ > +
Hết
Bài Nội dung Điểm
Từ giả thiết: b
2
= ac; c
2
= bd ⇒
a b c
b c d
= =
Ta có:
3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3
a b c a b c
b c d b c d
+ +
= = =
+ +
(1)
Lại có:
3

3
. . . .
a a a a a b c a
b b b b b c d d
= = =
(2)
Từ (1) và (2): ⇒
3 3 3
3 3 3
a b c a
b c d d
+ +
=
+ +
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
2) Gọi tổng số gói tăm 3 lớp cùng mua là x ( x là số tự nhiên khác 0)
Số gói tăm dự định chia chia cho 3 lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu lần lượt là: a, b, c
Ta có:
5 6 7
; ;
5 6 7 18 18 18 18 3 18
a b c a b c x x x x x
a b c
+ +
= = = = ⇒ = = = =
(1)
Số gói tăm sau đó chia cho 3 lớp lần lượt là a’, b’, c’, ta có:

, , , , , ,
, , ,
4 5 6
; ;
4 5 6 15 15 15 15 3 15
a b c a b c x x x x x
a b c
+ +
= = = = ⇒ = = = =
(2)
So sánh (1) và (2) ta có: a > a’; b=b’; c < c’ nên lớp 7C nhận nhiều hơn lúc đầu
Vây: c’ – c = 4 hay
6 7
4 4 360
15 18 90
x x x
x− = ⇒ = ⇒ =
Vậy số gói tăm 3 lớp đã mua là 360 gói.
0,5 đ

0,5đ
0,25đ
0,5đ
Bài 2
(6 điểm)
1.A + B =18xy
2
– 9x
2
y + 10y

2
+ 11x + 6 ; A - B = -8xy
2
+ 3x
2
y + 4y
2
+ x – 4
2.a)khi m = 1 :
f(x) = (1 – 2)x + 2.1 – 3 = –x – 1f(x) = 0=>–x – 1 = 0=>x = – 1
vậy : nghiệm của f(x) là – 1 khi m = 1
b) khi f(x) có nghiệm là -4 ,ta có :
(m – 2)(-4) + 2m – 3 = 0=>–2m + 5 = 0=> m =
c) f(x) có nghiệm khi : f(x) = 0
(m – 2)x + 2m – 3 = 0=>(m – 2)x + 2m – 3 = 0=>(m – 2)x = –2m + 3
1đ
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
4
19 ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 CỰC HAY
+ Nếu m – 2 = 0 => m = 2ta được : 0.x = -1 < 0 vô lí , f(x) không có nghiệm.
+ Nếu m – 2 ≠ 0 => m ≠ 2=>x =
x nguyên khi : m - 2 ∈ Ư(1) = {-1, 1}.
• m – 2 = -1 => m = 1 => x = -2 -(-1) = -1
• m – 2 = 1 => m = 3 => x = -2 -1 = -3
vậy: m = 1 thì x = -1; m = 3 thì x = -3
1đ
Bài 3
(2 điểm)
( 2013 2015 ) 2014A x x x= − + + − + −
2013 2015 2014 2 2014 2A x x x x≥ − + + − + − = + − ≥

A= 2 khi và chỉ khi
( 2013)( 2015) 0x x− + − ≥
và
2014 0x − =
2013 2015; 2014
2014
x x
x
⇔ ≤ ≤ =
⇔ =
Vậy Min(A) = 2 khi x=2014
0.5đ
0.5đ
Bài 7
(7 điểm)
Vẽ đúng hình và ghi GT, KL được 0,5đ
a/ Xét
AMC
∆
và
EMB
∆
có :
AM = EM (gt )
·
AMC
=
·
EMB
(đối đỉnh )

BM = MC (gt )
Nên :
AMC
∆
=
EMB
∆
(c.g.c ) 0,5 điểm
⇒
AC = EB
Vì
AMC
∆
=
EMB
∆

·
MAC
⇒
=
·
MEB
(2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE ) Suy
ra AC // BE .
b/ Xét
AMI
∆
và
EMK

∆
có :
AM = EM (gt )
·
MAI
=
·
MEK
( vì
AMC EMB
∆ = ∆
)
AI = EK (gt )
Nên
AMI EMK
∆ = ∆
( c.g.c ) Suy ra
·
AMI
=
·
EMK

Mà
·
AMI
+
·
IME
= 180

o
( tính chất hai góc kề bù )
⇒

·
EMK
+
·
IME
= 180
o

⇒
Ba điểm I;M;K thẳng hàng 0,5 điểm
c/ Trong tam giác vuông BHE (
µ
H
= 90
o
) có
·
HBE
= 50
o
·
HBE⇒
= 90
o
-
·

HBE
= 90
o
- 50
o
=40
o

·
HEM
⇒
=
·
HEB
-
·
MEB
= 40
o
- 25
o
= 15
o

·
BME
là
góc ngoài tại đỉnh M của
HEM
∆

Nên
·
BME
=
·
HEM
+
·
MHE
= 15
o
+ 90
o
= 105
o
(định lý góc ngoài của tam giác )
d/Tam giác BHE vuông tại H nên BE>HE; EF<HE, do đó trên BE tồn tại điểm Q nằm giữa
B và F sao cho QE=HE.Ta có
QHE
∆
cân tại E nên
·
·
HQE QHE=
Mà
·
·
·
·
0

0
90
90
BHQ QHE
HQE QHF
+ =
+ =
·
·
BHQ QHF⇒ =
Kẻ
QJ BH
⊥
Ta có:
( )QJH QFH ch gn
∆ = ∆ −
Suy ra HF = JH, BQ>BJ
Do đó: FH+BE = FH+BQ+QE > JH+BJ+HE = HB+HE
1đ
0.5đ
1đ
0.5đ
1đ
1đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
5
K

H
E
M
B
A
C
I
F
Q
J
19 ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 CỰC HAY
Vậy FH+BE > HB+HE 0.5đ
ĐỀ 3
Bài 1 ( 5 điểm)
a) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo
5
2
:
4
3
:
6
1
. Biết tổng các bình phương của ba số
đó bằng 24309. Tìm số A
b) Cho
c
a
=
b

c
. Chứng minh rằng :
22
22
cb
ca
+
+
=
b
a
Bài 2 ( 4 điểm) a) Cho
tzy
x
++
=
xtz
y
++
=
yxt
z
++
=
zyx
t
++
CMR: Biểu thức sau có giá trị nguyên
A=
tz

yx
+
+
+
xt
zy
+
+
+
yx
tz
+
+
+
zy
zt
+
+
b)Chứng minh rằng: B =
3
1
+
2
3
1
+
3
3
1
+….+

2012
3
1
+
2013
3
1
<
1
2
Bài 3:(2 điểm)Cho đa thức f(x) = x
14
– 14x
13
+ 14x
12
- … + 13x
2
– 14x + 14
Tính f(13)
Bài 4:(7 điểm)Cho tam giác ABC có AB<AC. Gọi M là trung điểm của BC , từ M kẻ đường thẳng vuông
góc với phân giác của góc A , cắt tia này tại N, cắt tia AB tại E và cắt tia AC tại F. Chứng minh rằng :
a) BE = CF b) AE =
2
ACAB +
c) Tính AE, BE theo AC = b, AB = c
Bài 5:Tìm số nguyên x để M đạt giá trị nhỏ nhất ,tìm giá trị nhỏ nhất đóM =
14
4
x

x
−
−

TRƯỜNG THCS THANH THÙY
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
6
19 ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 CỰC HAY
TT Ý Nội dung Điểm
Bài 1
(.5điểm)
1a
Ta có
2 3 1 24 45 10
: : : :
5 4 6 60 60 60
=
= 24 : 45 : 10Giả sử số A được chia thành 3 phần x,y,z
Theo đề bài ta có
24 45 10
x y z
= = ⇒
x,y,z cùng dấu
Và
2 2
2
2
2
2
2 2 2 2 2

2
24309
2701
24 45 10 45 10
24
y y
x
z
x
z
+ +
= = = =
+ +
= 9 = 3
2
⇒
x
2
= 24
2
. 3
2
= 72
2

⇒
x =
±
72
Hs tính tương tự y =

±
135 ; z =
±
30
…. Vậy A = 237 hoặc A = - 237
0.5
0,5
0.5
1.0
0,5
1b
Ta có
c
a
=
b
c

⇒

2 2 2 2
2 2 2 2
a c a c
c b c b
+
= =
+
( 1)Lại có
2
2

.
a c a
c b b
a
c
= =
(2)
Từ (1) và (2) suy ra ĐPCM
0.5
0.75
Bài2
(.4điểm)
2a
Ta có
tzy
x
++
=
xtz
y
++
=
yxt
z
++
=
zyx
t
++
=

1
2( ) 3
x y z t
x y z t
+ + +
=
+ + +
Suy ra 3x = y+z+t ; 3y = z+t+x; 3z = t+x+y; 3t = x+y+z
Từ đó HS suy ra được x+y = (z+t); y+z = (t+x)
Z+t = (x+y); t+x = (y+z)
Khi đó tính được A = 4 Vậy A có giá giá trị nguyên
0.5
1,5
0,5
2b
B =
3
1
+
2
3
1
+
3
3
1
+….+
2012
3
1

+
2013
3
1
3B = 1+
3
1
+
2
3
1
+
3
3
1
+….+
2012
3
1
3B – B = 1 -
2013
3
1
hay 2B = 1 -
2013
3
1
Suy ra B =
2013
1 1

2
2.
3
−
<
1
2
Vậy B <
2
1
0.5
0.5
0,5
Bài 3
(2 điểm)
Ta có f(x) = x
14
–(13+1).x
13
+(13+1).x
12
- …+(13+1).x
2
–(13+1).x+(13+1)
= x
14
- (x+1).x
13
+(x+1).x
12

- …+ (x+1).x
2
– (x+1).x + (x+1)
= x
14
– x
14
- x
13
+ x
13
+x
12
- … +x
3
+ x
2
– x
2
– x + x +1
= 1
( Vì thay 14 = 13 + 1 = x+1 ) . Vậy f(13) = 1
0,5
1,0
0,5
Bài 4
(5 điểm)
4a Vẽ hình đúng A
Kẻ BI song song AC ( I
∈

È F)
Chứng minh được 1 2


∆
BIM =
∆
CFM (g.c.g) F
⇒
BI = CF (1) B
N M C
E I

CM được
∆
BEI cân tại B
⇒
BE = BI (2)
Từ (1) và (2) ta có ĐPCM
0.25
1,0
0,25
1,0
0,5
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
7
19 ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 CỰC HAY
4b
CM được
∆

ANE =
∆
AN F (g.c.g)
⇒
AE = A F
Ta có AE = AB + BE ; A F = AC – C F
⇒
AE+A F = AB + BE + AC – C F
Hay 2 AE = AB +AC ( do AE = A F; BE = FC)
⇒
AE =
2
ACAB +
0.5
0.5
0.75
0,5
4c
Từ câu b)
⇒
AE =
2
b c+
Chứng minh được BE =
2
AC AB−
Vậy BE =
2
b c−
Bài 5

(2 điểm)
M =
14
4
x
x
−
−
=
10 (4 ) 10
1
4 4
x
x x
− − − −
= −
− −
M nhỏ nhât khi và chỉ khi
10
4 x
−
−
nhỏ nhất
Xét x < 4 thì
10
4 x
−
−
< 0 ; x > 4 thì
10

4 x
−
−
> 0
Ta chỉ xét x < 4 thì
10
4 x
−
−
nhỏ nhất
⇔

10
4 x−
lớn nhất
Nên suy ra 4 – x =1( vì mẫu nguyên,dương nhỏ nhất)
Vây x = 3 khi đó Min M = -11
THCS TAM HƯNG
Bài 1 (3đ) Tìm x
Z∈
sao cho
a,
x 5 2+ ≤
b,
2 2 2 2
(x 20)(x 15)(x 10)(x 5) 0− − − − <
Bài 2 (4đ) Tìm tất cả các cặp số nguyên (m,n) thỏa mãn
a,
m n
2 2 2048− =

b,
3m 4n mn 16+ − =
Bài 3 (4đ) a, Cho x, y, z, t là 4 số khác 0 và thỏa mãn các điều kiện sau:
+ +
= = + + ≠ => =
+ +
3 3 3
2 2 3 3 3
3 3 3
y z x x
y xz, z yt v y z t 0 CM : à
y z t t
b, Cho x+y – z = a-b; x - y + z = b – c ; -x+y + z = c – a. Chứng minh : x+y+z=0
Bài 4 (4đ) a, Cho đa thức
2015 2014 2013 2012
f(x) x 2000x 2000x 2000x 2000x 1= − + − + + −
Tính giá trị của đa thức tại x=1999
b, Cho đa thức
2
f(x) ax bx c= + +
chứng tỏ rằng:
f( 2).f(3) 0− ≤
nếu
13a b 2c 0+ + =
Bài 5 (5đ)
a,Cho tam giác ABC, đường cao AH. Vẽ ra phía ngoài của tam giác ABC các tam giác vuông cân ABD,
ACE
·
·
0

ABD ACE 9O= =
1, Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với BE cắt đường thẳng AH tại K. Chứng minh CD vuông góc với
BK
2, Chứng minh ba đường thẳng AH, BE, CD đồng quy.
b, Cho 2 điểm B và C nằm trên đoạn thẳng AD sao cho AB=CD. Lấy điểm M tùy ý trong mặt phẳng.
Chứng minh rằng:
MA MD MB MC
+ ≥ +
ĐÁP ÁN
Bài 1 (3đ)
a, - Chỉ rõ được
{ }
x 5 0,1,2+ ∈
(0.25đ)
- Chỉ rõ từng trường hợp và kết luận đúng
x 5 0
x 5 1
x 5 2
+ =
+ =
+ =

b, Lý luận để có
2 2 2 2
(x 20) (x 15) (x 10) (x 5)− < − < − < −
(0.25đ)
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
8
19 ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 CỰC HAY
Xét đủ 2 trường hợp

- Trường hợp có 1 số âm tính được
x 4= ±
(0.75đ)
- Trường hợp có 3 số âm tính được
x 3
= ±
(0.75đ)
- Kết luận đúng (0.25đ)
Bài 2: Ta có
+ − + − − − − −
⇔ − − = ⇔ − − = ⇒ − − =
m 11 11 n 11 11 11 11 m 11 n 11 m 11 n 11
2 2 2 0 2 (2 2 1) 0 (2 2 1) 0
Lý luận tìm được
= =m 12; n 11

b, Biến đổi được
(3 n)(m 4) 4− − =
(1đ)
Xác định được tích 2 số nguyên bằng 4 (6 trường hợp) (0.75đ)
Kết luận được:
(m,n) (8,2); (0,4); (5, 1); (3,7); (6,1); (2,5)= −
(0.25đ)
Bài 3: Từ giả thiết suy ra
x y z
y z t
= =
(0.5đ)
Lập phương các tỉ số trên và áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để có
3 3 3

3 3 3
x y z
y z t
+ +
+ +
Mặt khác ta có
3
3
x x x x x y z x
. . . .
y y y y y z t t
= = =
Suy được điều cần chứng minh (0.25đ)
b, Cộng vế với vế suy được điều cần chứng minh (2đ)
Bài 4
2015 2014 2013 2012
a,f(x) x (1999 1)x (1999 1)x (1999 1)x (1999 1)x 1= − + + + − + + + + −
(0.75đ)
Thay 1999=x ta được
2015 2015 2014 2014 2013 2013 2
f(x) x x x x x x x x 1= − + − + − + − + −
(0.75đ)
Tính được kết quả và kết luận f(1999) = 1998 (0.5đ)
b, Tính
f( 2) v f(3)à−
f( 2) f(3)=13a+b+2c⇒ − +
f( 2) f(3)⇒ − = −
[ ]
2
f( 2)f(3)=-f(3)f(3)=- f(3) 0⇒ − ≤

(0.5đ)
Bài 5 (5đ)
a1, Vẽ hình và chứng minh đúng đến hết (1đ)
2, Chỉ ra được AH, BE, CD là 3 đường cao của
BCK
∆
(1đ)
b,Xét 2 trường hợp
* Trường hợp điểm
M AD∈
thì ta có
MA MD MB MC+ > +

* Trường hợp
M AD∉
- Gọi I là trung điểm của BC (0.75đ)
- Trên tia đối của tia IM lấy điểm N sao cho IM=IN (0.5đ)

IB IC
=
Vì
AB CD
AB IB IC CD
=
+ = +
AI ID⇒ =
* Chứng minh được
IMA IND (c.g.c)∆ = ∆
MA ND⇒ =
- Điểm C nằm trong

MDN∆
chứng minh được
ND MD NC MC+ > +
(0.5đ)
- Chứng minh
IBM ICN (c.g.c)∆ = ∆
(0.25đ)
- Suy ra
MA MD MB MC
+ > +
(0.5đ)
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
9
19 ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 CỰC HAY
ĐỀ 4
Câu 1: (5 điểm) Cho
a c
c b
=
chứng minh rằng:a)
2 2
2 2
a c a
b c b
+
=
+
b)
2 2
2 2

b a b a
a c a
− −
=
+
Câu 2 : (6điểm)
a) Các số a,b và c làm cho giá trị các biểu thức
b
ac
và
a
cb
c
ba +++
,
bằng nhau . Tính giá trị đó?
b)Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo
2 3 1
: :
5 4 6
. Biết rằng tổng các bình phương của ba số đó bằng 24309.
Tìm số A.
Câu 3 : (2 điểm)
Cho biểu thức A =
x
x
−
−
14
2014

. Tìm giá trị nguyên của x để A đạt giá trị lớn nhất .Tìm Giá trị lớn nhất đó
Câu 4 (7điểm)
Cho góc xAy = 60
0
vẽ tia phân giác Az của góc đó . Từ một điểm B trên Ax vẽ đường
thẳng song song với Ay cắt Az tại C. vẽ BH ⊥ Ay, CM ⊥Ay, BK ⊥ AC. Chứng minh
rằng:
a, K là trung điển của AC. b, BH =
2
AC
c,
ΔKMC
đều
HƯỚNG DẪN CHẤM OLYMPIC TOÁN 7
Câu 1 (5 điểm):
a) Từ
a c
c b
=
suy ra
2
.c a b
=
khi đó
2 2 2
2 2 2
.
.
a c a a b
b c b a b

+ +
=
+ +
=
( )
( )
a a b a
b a b b
+
=
+
1đ
b) Theo câu a) ta có:
2 2 2 2
2 2 2 2
a c a b c b
b c b a c a
+ +
= ⇒ =
+ +
từ
2 2 2 2
2 2 2 2
1 1
b c b b c b
a c a a c a
+ +
= ⇒ − = −
+ +

hay
2 2 2 2
2 2
b c a c b a
a c a
+ − − −
=
+
vậy
2 2
2 2
b a b a
a c a
− −
=
+
Câu 2
a)(3 điểm)Giả sử
b
ac
a
cb
c
ba +
=
+
=
+
= x ,
Khi đó a+b = cx, b+c= ax, c+a = bx 0,5

Cộng các đẳng thức ta có 2(a+b+c) =(a+b+c )x 0,5
Đẳng thức này chia làm 2 trường hợp:
1) Nếu a+b+c ≠ 0 , khi đó x
c
c
c
ba −
=
+
= -1 0,5
2) Nếu a+b+c = 0, khi đó x = 2 0,5
Vậy giá trị của biểu thức là 2 hay -1 0,5
b)
Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A.
Theo đề bài ta có: a : b : c =
2 3 1
: :
5 4 6
(1) 0,5
và a
2
+b
2
+c
2
= 24309 (2) Từ (1)
⇒
2 3 1
5 4 6
a b c

= =
= k
⇒
2 3
; ;
5 4 6
k
a k b k c
= = =
Do đó (2)
⇔
2
4 9 1
( ) 24309
25 16 36
k
+ + =
0,5
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
10
19 ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 CỰC HAY
⇒
k = 180 và k =
180
−
0,5
+ Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30.
Khi đó ta có số A = a + b + c = 237. 0,5
+ Với k =
180

−
, ta được: a =
72
−
; b =
135
−
; c =
30
−
Khi đó ta có só A =
72
−
+(
135
−
) + (
30
−
) =
237
−
. 0,5
Câu 3 : (2điểm)A = 1 +
x
−
14
2000
0,5
A

Max
⇔ 14 – x > 0 và nhỏ nhất ⇒ 14 – x = 1 ⇒ x = 13.
Vậy x = 13 thoả mãn điều kiện bài toán khi đó A
Max
= 2001 0,5
Câu4 (7điểm)
Vẽ được hình, ghi GT, KL được 0,5đ
a, ∆ABC cÓ Â
1
=Â
2
(Az là tia phân giác của  )

11
ˆˆ
CA =
(Ay // BC, so le trong)
⇒
12
ˆˆ
CA =
=>
∆
ABC cân tại B ( 1đ)
mà BK ⊥ AC ⇒ BK là đường cao của tam giác cân ∆ c©n ABC
⇒ BK cũng là trung tuyến của ∆ cân ABC (0,5đ)
hay K là trung điểm AC
b, Xét ∆ vuông ABH và ∆ vuông BAK.
Có AB là cạnh huyền (cạnh chung)
Â

1
=Â
2
( AZ là phân giác)
⇒ ∆ vuông ABH = ∆ vuông BAK (cạnh huyền góc nhọn ) (1đ)
⇒ BH = AK mà AK =
2 2
AC AC
BH⇒ =
(1đ)
c, ∆AMC vu«ng t¹i M cã AK = KC = AC/2 (1) ⇒ MK là trung tuyến thuộc cạnh huyền ⇒
KM = AC/2 (2) (1đ)
Tõ (10 vµ (2) ⇒ KM = KC ⇒ ∆KMC c©n. ( 0.5đ)
Mặt khác ∆AMC cã
0
90
ˆ
=M
, Â
1
=30
0
=>
CKM
ˆ
=90
0
-30
0
=60

0

(0,5đ)⇒ ∆AMC ®Òu (1®)
ĐỀ 5
Câu 1: (5 điểm) Cho
d
c
b
a
=
Chứng minh rằng:
a) (a + 2c) . (b + d) = (a + c) . (b + 2d) b)
( )
( )
1005
1005
10051005
10051005
dc
ba
dc
ba
+
+
=
+
+
Câu 2: (6 điểm)
a) Tìm nghiệm của đa thức sau: x
2

+ 8x + 25.
b) Cho ba số dương
10 ≤≤≤≤ zyx
. Chứng minh:
2
111
≤
+
+
+
+
+ xy
z
xz
y
yz
x
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
11
19 ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 CỰC HAY
Câu 3: (2 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2013222 −+−= xxA
Câu 4: (7 điểm)
Cho  ABC vuông tại A, đường cao AH trung tuyến AM. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao
cho DM = MA. Trên đia đối của tia CD, lấy điểm I sao cho CI = CA. Qua I vẽ đường thẳng song song với
AC cắt đường thẳng AH tại E. Chứng minh: AE = BC.
TRƯỜNG THCS TÂN ƯỚC
Câu 1: (5 điểm)
a) Vì
⇒=

d
c
b
a

db
ca
d
c
b
a
2
2
2
2
+
+
==
(1);
db
ca
d
c
b
a
+
+
==
(2)
Từ (1) và (2)

)2).(()).(2(
2
2
dbcadbca
db
ca
db
ca
++=++⇒
+
+
=
+
+
⇒
(1đ)
b)
( )
( )
1005 1005 1005
1005
1005 1005 1005 1005 1005 1005
1005 1005 1005 1005 1005 1005 1005
a c a b a b a b a b
b d c d c d c d c d
a b
a b a b a b
Mà
c d c d c d
c d

+ +
     
= ⇒ = = ⇒ = =
 ÷  ÷  ÷
+ +
     
+
+
⇒ = = = =
+
+
(1) (Theo t/c DTSBN) (1đ)
Từ (1) (2)
( )
( )
1005
1005
10051005
10051005
dc
ba
dc
ba
+
+
=
+
+
Câu 2: (6 điểm)
a) x

2
+ 8x + 25 = x
2
+ 4x + 4x + 16 + 9 = x (x + 4) + 4 (x +4) + 9
= (x + 4) (x + 4) + 9 = (x + 4)
2
+ 9 (2đ)
Vì (x + 4)
2
≥ 0 với ∀ x ⇒ (x + 4)
2
+ 9 > 0 với ∀x
⇒ Đa thức x
2
+ 8x + 25 Vô nghiệm (1đ)
b) Vì 0≤ x ≤ y ≤ z ≤ 1 ⇒ x - 1 ≤ 0, y - 1 ≤ 0
⇒ (x - 1) (y - 1) ≥ 0 ⇒ xy + 1 ≥ x + y ⇒ ≤ ⇒ ≤ (1)
(1đ)
Chứng minh tương tự : ≤ (2) ; ≤ (3)
Cộng từng vế của (1) (2) (3) ta có :
+ + ≤ + + (4) (0,5đ)
Mà ≤ ⇒ ≤
Chứng minh tương tự ≤ ; ≤ (1đ)
⇒ + + ≤ ≤ 2 (5) 0,5đ)
Từ (4) (5) ⇒ đpcm
Câu 3: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất
2013222 −+−= xxA
201122013222201322 =−+−≥−+−= xxxx
Dấu “=” xảy ra ⇔ (2x - 2) . (2013 - 2x) ≥ 0Vậy min A = 2011 ⇔ 1≤ x≤ 1006,5
(1đ)

Câu 4: (7 điểm)
I
(Vẽ hình đúng 0,5đ) A

B H M C
Gọi giao của AB và EI là F
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
12
(2)
19 ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 CỰC HAY
 ABM = DCM (cgc) ⇒ ⇒ BF//DI D (2đ )
⇒ = = 90
0
⇒ ID ⊥ AC (1đ)
BF // DI ⇒ =
IE // AC ⇒ =
⇒

CAI =  FIA (gcg) ⇒ IC = AF = AC (1,5đ)
Mà = (đối đỉnh) ⇒ = (cùng phụ với )
⇒ = ⇒  AFE =  CAB (gcg) ⇒ AE = BC
ĐỀ 6
Câu 1:( 5điểm): Cho
a c
c b
=
chứng minh rằng:
a)
a c c b
a c c b

− −
=
+ +
b)
2 2
2 2
a c a
b c b
+
=
+
b)
2 2
2 2
b a b a
a c a
− −
=
+
Câu 2: (2 điểm): Tìm x; y biết:
= =

1+3y 1+5y 1+7y

12 5x 4x
Câu 3:(4 điểm)a).Chứng minh rằng :
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1

6 5 6 7 100 4

< + + + + <
.
b) Tìm số nguyên a để:
2 9 5 17 3
3 3 3
a a a
a a a
+ +
+ −
+ + +
là số nguyên.
Câu 4: (2 điểm): Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
1996
1997
x
A
+
=
−

Câu 5: (7 điểm)
Cho tam giác ABC vuông ở A, có góc C=30
0
, đường cao AH. Trên đoạn HC lấy điểm D sao cho HD=HB.
Từ C kẻ CE vuông góc với AD. Chứng minh:
a) Tam giác ABD là tam giác đều.
b) AH = CE.
c) EH song song với AC.
ĐÁP ÁN
Câu 1:( 5điểm)

a) Từ
a c a c a c
c b c b c b
− +
= = =
− +
a c c b
a c c b
− −
⇒ =
+ +

- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
13
19 ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 CỰC HAY
b) Từ
a c
c b
=
suy ra
2
.c a b
=
khi đó
2 2 2
2 2 2
.
.
a c a a b
b c b a b

+ +
=
+ +
(0,5
điểm )=
( )
( )
a a b a
b a b b
+
=
+
( 1 điểm)
c) Theo câu b) ta có:
2 2 2 2
2 2 2 2
a c a b c b
b c b a c a
+ +
= ⇒ =
+ +
từ
2 2 2 2
2 2 2 2
1 1
b c b b c b
a c a a c a
+ +
= ⇒ − = −
+ +

hay
2 2 2 2
2 2
b c a c b a
a c a
+ − − −
=
+
vậy
2 2
2 2
b a b a
a c a
− −
=
+
Câu 2: (2điểm)Tìm các số x;y biết.
= =
1+3y 1+5y 1+7y

12 5x 4x
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
+ − − + − −
= = = = = =
− − − −
1+3y 1+5y 1+7y 1 7y 1 5y 2y 1 5y 1 3y 2y
12 5x 4x 4x 5x x 5x 12 5x 12

=>

2 2
5 12
y y
x x
=
− −
=> -x = 5x -12=> x = 2. Thay x= 2 vào trên ta được
(0,5điểm)
=>1+ 3y = -12y=> 1 = -15y=> y =
1
15
−
Vậy x = 2, y =
1
15
−
thỏa mãn đề bài.
Câu 3:(4 điểm)a). §Æt : A =
2 2 2 2
1 1 1 1

5 6 7 100
+ + + +
Ta cã :
* A <
1 1 1 1

4.5 5.6 6.7 99.100
+ + + +
=

1 1 1 1 1 1

4 5 5 6 99 100
− + − + + −
=
1 1 1
4 100 4
− <
(0,75điểm)
* A >
1 1 1 1 1 1 1

5.6 6.7 99.100 100.101 5 101 6
+ + + + = − >
. (0,75điểm)
Vậy:
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1

6 5 6 7 100 4
< + + + + <
(0, 5điểm)
b. Ta cã :
2 9 5 17 3
3 3 3
a a a
a a a
+ +
+ −
+ + +

=
4 26
3
a
a
+
+
=
=
4 12 14 4( 3) 14 14
4
3 3 3
a a
a a a
+ + + +
= = +
+ + +
là số nguyên (1 điểm)
Khi đó (a + 3) là ước của 14 mµ ¦(14) =
1; 2; 7; 14
± ± ± ±
.
Ta có : a = -2;- 4;- 1; - 5; 4 ; - 10; 11 ; -17. (1 điểm)
Câu 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
1996
1997
x
A
+
=

−
A < 0 với mọi giá trị của x nên A đạt giá trị lớn nhất khi
A
đạt giá trị nhỏ nhất
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
14
1 3 2
12 2
y y
y
+
= = −
−
19 ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 CỰC HAY

1996 1996
1997 1997
0 ên x 1996 1996
x x
A
x xn
+ +
= =
−
≥ ∀ + ≥
( 1 điểm)
Vậy
A
nhỏ nhất bằng
1996

1997
khi x=0
(0,5 điểm)
Suy ra GTLN của A =
1996 1996
1997 1997
−
=
−
khi x=0 (0,5 điểm)
Câu 5: (7 điểm)
Vẽ hình ghi GT,KL (0,5điểm)
Chứng minh:
a) (2điểm)
Tam giác ABD có AH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên tam giác ABD cân ở A.Lại có :
∠
B = 90
0
– 30
0
= 60
0
nên tam giác ABD là tam giác đều.
b) (2 điểm)
0 0 0
90 60 30EAC BAC BAD ACH
∠ = ∠ −∠ = − = = ∠

AHC CEA
∆ = ∆

(cạnh huyền –góc nhọn)Do đó AH=CE
c) (2,5 điểm)
AHC CEA
∆ = ∆
(cmt)nên HC=EA
ADC
∆
cân ở D vì có
0
( 30 ) ên DA=DC

ADC DCA n
∠ = ∠ =

Suy ra : DE=DH.Tam giác DEH
cân ở D.
Hai tam giác cân ADC và DEH có

ADC EDH
∠ =∠
(hai góc đối đỉnh).
do đó

ACD DHE
∠ =∠
Ở vị trí so le trong, suy ra EH // AC.
ĐỀ 7
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
15
19 ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 CỰC HAY

Câu 1 : ( điểm)
(1) Cho tỉ lệ thức
d
c
b
a
=
Cmr : ta có tỉ lệ thức sau (giả thiết các tỉ lệ thức đều có nghĩa)
a)
cd
dc
ab
ba
2222
−
=
−
b)
22
2
22
2
)()(
dc
dc
ba
ba
+
+
=

+
+
(2) Cho a, b, c đôi một khác nhau và
0≠
. Biết
ab
là số nguyên tố và
c
b
bc
ab
=
. Tìm
abc
Câu 2 : ( điểm)
1) Tìm x, y biết :
a)
65
2
+− xx
b)
16
22
+− yx
(x, y là số nguyên tố)
2) Chứng minh rằng đa thức f(x) =
1
258
+−+− xxxx
không có nghiệm.

Câu 3 : ( điểm)
Tìm x
∈
z để
x
x
A
−
−
=
11
232
đạt GTLN. Tìm GTLN của A.
Câu 4 : ( điểm)
Cho
∆
ABC nhọn, AD vuông góc với BC tại D. Xác định I ; J sao cho AB là trung trực của DI, AC
là trung trực của DJ ; IJ cắt AB ; AC lần lượt ở L và K. Chứng minh rằng :
a)
∆
AIJ cân
b) DA là tia phân giác của góc LDK
c) BK
⊥
AC ; CL
⊥
AB
d) Trực tâm của
∆
ABC chính là giao của 3 đường phân giác của

∆
DLK
e) Nếu D là một điểm tùy ý trên cạnh BC. Chứng minh rằng góc IAJ có số đo không đổi và tìm vị
trí điểm D trên cạnh BC để IJ có độ dài nhỏ nhất.
- HẾT -
ĐÁP ÁN
Câu 1 : (5 điểm)
1) (2 điểm)
a) Chứng minh đúng (1đ)
b) Chứng minh đúng (1đ)
2) (3 điểm)
- Từ gt hoán vị các trung tỉ và áp dụng tính chất dày tỉ số bằng nhau có
c
b
b
a
=
nên b
2
= ac.
- Đo
ab
là 1 số nguyên tố có hai chữ số nên b
∈
{ }
9;7;3;1
- Đo ac = b
2
ta xét các trường hợp :
b = 1 => a = c = 1 (loại do a

≠
c)
b = 3 => a.c = 9 = 1.9 (do a
≠
c) =>
13=ab
(do 93 không là số nguyên tố)
có
c
b
bc
ab
====
9
3
3
1
39
13
(chọn)
b = 7 và b = 9 điều bị loại do dẫn đến a = c
Vậy
139=abc
Câu 2 : (6 điểm)
(1) (4 điểm)a) x = 2 hoặc x = 3 (2 điểm)
b) x = 5 ; y = 2 (2 điểm)
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
16
19 ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 CỰC HAY
(2) Xét từng khoảng (2 điểm)

+ Xét x
≤
0
lập luận R
dẫn đến f(x)
≥
1 > 0
+ Xét 0 < x < 1 lập luận dẫn đến f(x) > 0
+ Xét x
≥
1 lập luận dẫn đến f (x) > 0
Trong cả ba khoảng trên đều có f(x)
≠
0 nên đa thức f(x) không có nghiệm.
Câu 3 : (2 điểm) Biến đổi A = 2 +
x−11
10
. Để
max
11
10
max
x
BA
−
=⇔
Xét 11 - x < 0 => B < 0
Xét 11 - x > 0 => B > 0 => B
max
<=> B > 0

Lập luận để có 11 - x là số nguyên dương nhỏ nhất.=> x = 10
=> GTLN của A bằng 12 khi và chỉ khi x = 10
Câu 4 : (7 điểm)
K
L
a) Do AB ; AC là trung trực của AB. (1đ)
=> AI = AD
AD = AJ => AI = AJ =>
AIJ∆
cân tại A.
b)
∆
ALI =
∆
ALD (c.c.c) =>
11
DI

=
TT :
∆
AKD =
∆
AKJ (c.c.c) =>
22
JD

=
Mà
∆

AIJ cân (câu a) =>
11
JI

=
(1,5đ)
=>
21
DD

=
=> DA là tia p/g của
KDL

c) CMTT câu b : CL ; BK là p/g trong của
DKL
ˆ
;
KLD

trong
∆
DKL
=> BK
⊥
AC (1,5 đ)
CL
⊥
AB
d) Từ câu c => trực tâm của

∆
ABC chính là giao của 3 đường phân giác trong
∆
DLK
(1 đ)
e) . * CM được
CABJAI
ˆ
2
ˆ
=
(không đổi) (1 đ)
*
∆
AIJ cân tại A có
JAI
ˆ
không đổi nên cạnh đáy IJ nhỏ nhất nếu cạnh bên AI nhỏ nhất.
Ta có AI = AD
≥
AH (AH là đường vuông góc kẻ từ A đến BC)
Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi D
≡
H (1đ)
Vậy khi D là chân dường vuông góc hạ từ A xuống BC thì IJ nhỏ nhất.
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
17
A
J
C

D
B
I
A
J
I
19 ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 CỰC HAY


Hết
ĐỀ 8
Câu 1(5 điểm) Cho tỉ lệ thức
a c
b d
=
với
; ; ; 0; ;a b c d a b c d≠ ≠ ± ±
. Chứng minh:
a)
à
b d c d c
v
b a d c a b a
+
= =
− − +
b)
2013
2013 2013
2013 2013

a b a b
c d c d
− +
 
=
 ÷
− +
 
Câu 2(6 điểm)
1)Tìm x thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
a)
2
3 3 810
x x+
+ =
b)
3 7 4x x x+ + + =
2) Chứng minh đa thức sau không có nghiệm
10 5 2
1C x x x x= − + − +
Câu 3 (2 điểm)a) Chứng minh với mọi a,b
∈
Q ta có
a b a b+ ≥ +

b) Áp dụng tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 8B x x= − + −
Câu 4 (7 điểm)1) Cho tam giác cân ABC, AB = AC. Trên tia đối của các tia BC và CB lấy theo thứ tự hai
điểm D và E sao cho BD=CE
a) Chứng minh tam giác ADE cân.

b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là tia phân giác của góc DAE.
c) Từ B và C kẻ BH
⊥
AD; CK
⊥
AE . Chứng minh BH = CK.
d) Chứng minh AM;BH;CK gặp nhau tại một điểm
2) Cho tam giác ABC có AB = AC; góc A bằng 100
0
. Điểm M nằm trong tam giác ABC sao cho
góc MBC bằng 10
0
; góc MCB bằng 20
0
. Tình số đo góc AMB.
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Câu Nội dung Điểm
Câu1(5đ)
1)
2)
Từ
1 1
a c a c b a d c
b d b d b c
− −
= ⇒ − = − ⇒ = ⇒
Kết luận
Từ
a c c d c d
b d a b a b

+
= ⇒ = =
+
Từ
2013 2013 2013
2013 2013
2013 2013
a c a b a b a b a b a b
b d c d c d c d c d
c d
− − +
     
= ⇒ = = ⇒ = = =
 ÷  ÷  ÷
− −
+
     
1,5 đ
1,5 đ
2đ
Câu 2(6đ)
1)
2)
a)
2 4
3 (3 1) 810 3 81 3 4
x x
x+ = ⇔ = = ⇔ =
b)- lập luận có x>0
- Với x>0 ta có x+3+x+7 =4x…… <=>x=5

Xét đa thức C = x
10
– x
5
+ x
2
– x + 1
- Nếu x = 0 => C = 1 > 0
- Nếu x < 0 => x
10
+ x
2
+ 1 > 0; - x
5
– x > 0 => C > 0
2đ
0,5đ
1,5đ
0,5đ
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
18
B
H D C
19 ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 CỰC HAY
- Nếu 0< x < 1 ta có C = x
10
+ x
2
(1 – x
3

) + ( 1 – x) > 0
- Nếu x
≥
1 ta có C = x
5
( x
5
– 1) + x(x – 1) + 1 > 0
- Vậy C > 0 với mọi x => kết luận
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Câu 3(2đ)
a)
b)
Chứng minh đúng BĐT
Ta có B =
2 8 6x x− + − ≥
dấu bằng xảy ra khi (x – 2)(8 – x)
≥
0

⇔
2
≤
x
≤
8
Vậy Min B = 6 khi 2
≤

x
≤
8
1đ
1đ
Câu 4(6đ)
1a)
1b)
1c)
1d)
2)
Vẽ hình ghi giả thiết, kết luận đúng
Chứng minh
∆
ABD =
∆
ACE (c.g.c) => Kết luận
Chứng minh
∆
MAD =
∆
MAE (c.c.c) => Kết luận
Chứng minh
∆
BHD =
∆
CKE (cạnh huyền. góc nhọn) => Kết luận
Gọi giao của BH và CK là O. Chứng minh AO là tia phân giác của góc DAE.
Mà AM là tia phân giác của góc DAE ( cmt) => Kết luận
Trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho CE = CB => góc BEC = góc BEC = 70

0

- Chứng minh
∆
ABM =
∆
ABE (c.g.c) => góc AMB = góc AEB = 70
0
0,5đ
1,5đ
2đ
1đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
ĐỀ 9
Câu 1. (5điểm )
1. Cho c
2
=ab Chứng minh rằng: a ;
b
a
cb
ca
=
+
+
22
22

b;
22
22
ca
ab
+
−
=
a
ab −
2. Ba phân số có tổng bằng
70
213
, các tử của chúng tỉ lệ vối 3;4;5, các mẫu của chúng tỉ lệ vối 5;1;2
.Tìm ba phân số đó.
Câu 2. (6 điểm )
1. Cho đa thức:f(x) = x
17
- 2000x
16
+ 2000x
15
- 2000x
14
+….+ 2000x – 1
Tính giá trị của đa thức tại x = 1999.
2. Chứng minh rằng nếu m và n là các số tự nhiên thì số:
A = (5m + n + 1) (3m – n + 4) là số chẵn.
Câu 3.(2 điểm ). Tìm số tự nhiên x để phân số
32

87
−
−
x
x
có giá trị lớn nhất.
Câu 4. (7 điểm ). 1. Cho tam giác ABC cân tại A,
B∠
= 50
0
.Gọi K là điểm trong tam giác sao cho
KBC∠
=10
0
,
KCB∠
= 30
0.
a, Chứng minh BA=BK b, Tính số đo
BAK∠
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
19
19 ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 CỰC HAY
2. Cho
∠
xAy = 60
0
có tia phân giác Az. Từ điểm B trên Ax kẻ BH vuông góc với Ay tại H, kẻ BK
vuông góc với Az và Bt song song với Ay ,Bt cắt Az tại C. Từ C kẻ CM vuông góc với Ay tại M. Chứng
minh :

a, K là trung điểm của AC b,
∆
KMC là tam giác đều
c, Cho BK = 2 cm . Tính các cạnh
∆
AKM
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM OLYMPIC
Môn: Toán 7( Năm 2013-2014)
Câu 1 . (5đ)
1.(2đ) a, Từ c
2
=a.b
⇒=⇒
b
c
c
a
( )
( )
b
a
bab
baa
bba
baa
bc
ca
b
c
c

a
=
+
+
=
+
+
=
+
+
== .
.
.
2
2
22
22
2
2
2
2
b, Theo câu a ta có
a
b
ca
cb
b
a
bc
ca

=
+
+
⇒=
+
+
22
22
22
22
2
2
;
a
ab
ca
ab
a
b
ca
cb
a
b
ca
cb −
=
+
−
⇒⇒−=−
+

+
⇒=
+
+
22
22
22
22
22
22
11
2 .(3 đ) Gọi các phân số phải tìm là : a ; b ; c ta có : a+b+c =
70
213
Và a : b : c =
2
5
:
1
4
:
5
3
= 6 : 40 : 25 ……….Suy ra a =
35
9
; b =
7
12
; c =

14
15
Câu 2.(6điểm ) 1. (3đ)
f(x) =x
17
– 1999x
16
– x
16
+ 1999x
15
+ x
15
– 1999x
14
- x
14
+…+1999x + x – 1
f(1999) = 1999
17
- 1999
17
- 1999
16
+ 1999
16
+ 1999
15
- 1999
15

- 1999
14
+…+1999
2
+1999 – 1
= 1999 – 1 = 1998.
2.(3đ)
Ta xét hiệu (5m + n +1) – (3m – n + 4) = … = 2m + 2n – 3
Với m, n
∈
N thì 2m + 2n - 3 là một số lẻ . Do đó trong hai số
5m + n +1 và 3m – n +4 phải có một số chẵn.
Suy ra tích của chúng là một số chẵn .Vậy A là số chẵn.
Câu 3 . (2 đ)
.Đặt A=
)32(2
5
2
7
)32(2
5)32(7
)32(2
)87(2
32
87
−
+=
−
+−
=

−
−
=
−
−
xx
x
x
x
x
x
Đặt B=
)32(2
5
−x
Thì A lớn nhất khi và chỉ khi B lớn nhất
……GTLN của A=6 khi và chỉ khi x=2

Câu 4;(7 đ)
1.(4đ)
a,-vẽ tia phân giác
ABK∠
cắt CK ở I …. .Ta có
IBC∆
cân nên IB=IC
…
CIABIA
∆=∆
(ccc)
…nên

=∠BIA
CIA∠
=120
o
Do đó
BIKBIA ∆=∆
(gcg)
BKBA
=⇒
b, …… Từ phần a ta tính được
o
BAK 70=∠
2.(3đ)
V ẽ h ình , GT _ KL
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
20
19 ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 CỰC HAY
a,
∆
ABC cân tại B do
·
·
·
( )CAB ACB MAC
= =
và BK là đường cao
⇒
BK là đường trung tuyến
⇒
K là trung điểm của AC

b,
∆
ABH =
∆
BAK ( cạnh huyền + góc nhọn )
⇒
BH = AK ( hai
cạnh t. ư ) mà AK =
1
2
AC

⇒
BH =
1
2
AC
Ta có : BH = CM ( t/c cặp đoạn chắn ) mà CK = BH =
1
2
AC
⇒
CM = CK
⇒

∆
MKC là tam giác cân
( 1 )Mặt khác :
·
MCB

= 90
0
và
·
ACB
= 30
0

⇒
·
MCK
= 60
0
(2)
Từ (1) và (2)
⇒

∆
MKC là tam giác đều
c) Vì
∆
ABK vuông tại K mà góc KAB = 30
0
=> AB = 2BK =2.2 = 4cm
Vì
∆
ABK vuông tại K nên theo Pitago ta có:
AK =
2 2
16 4 12AB BK

− = − =
Mà KC =
1
2
AC => KC = AK =
12
∆
KCM đều => KC = KM =
12
Theo phần b) AB = BC = 4; AH = BK = 2; HM = BC ( HBCM là hình chữ nhật)
=> AM = AH + HM = 6
ĐỀ 10
Câu 1 (5 điểm)
a, Cho
b
a
=
d
c
. Chứng minh rằng:
66
66
3
3
db
ca
+
+
=
6

6
)(
)(
db
ca
+
+
(b +d
≠
0)
b, Tìm hai số dương, biết rằng tổng, hiệu, tích của chúng lần lượt tỉ lệ nghịch với 15; 60 và 8.
Câu 1 (3 điểm)
a, Tính giá trị của biểu thức:
ba
ba
3
52
−
−
với
b
a
=
5
3
.
b, Tìm các số a, b, c biết ab = 2, bc = 6 và ac = 3.
Câu 3 (3 điểm)
a, Tìm các số tự nhiên
abc

có ba chữ số khác nhau sao cho 3a + 5b = 8c.
b, Chứng minh đa thức x
2
+ 4x + 10 không có nghiệm.
Câu 4 (2 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =
x
x 2+
với x là số nguyên.
Câu 5 (7 điểm)
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
21
19 ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 CỰC HAY
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC < BC. Các tia phân giác của góc A và góc C cắt nhau tại O.
Gọi F là hình chiếu của O trên BC; H là hình chiếu của O trên AC. Lấy điểm I trên đoạn FC sao cho FI =
AH. Gọi K là giao điểm của FH và AI.
a/ Chứng minh tam giác FCH cân và AK = KI.
b/ Chứng minh ba điểm B, O, K thẳng hàng.
ĐÁP ÁN
Câu Nội dung Điểm
1.
(5điểm)
a, Từ
b
a
=
d
c

⇒

b
a
=
d
c
=
db
ca
+
+
⇒

6






b
a
=
6







d
c
=
6






+
+
db
ca
⇒

6
6
b
a
=
6
6
d
c
=
6
6
)(
)(

db
ca
+
+
⇒

6
6
3
3
b
a
=
6
6
d
c
=
6
6
)(
)(
db
ca
+
+

⇒

66

66
3
3
db
ca
+
+
=
6
6
)(
)(
db
ca
+
+

0,5đ
1,0đ
1,0đ
b, Gọi hai số phải tìm là a, b (a > b > 0), theo đầu bài ta có: 15(a + b) = 60(a – b) = 8ab.
Hay:
8
ba +
=
2
ba −
=
15
ab

= k. Giải ra được k = 1.
⇒
a = 5; b = 3
0,5đ
1,0đ
1,0đ
2.
(3điểm)
a,
ba
ba
3
52
−
−
=
3
52
−






−







b
a
b
a
=
3
4
3
5
4
3
.2
−
−
=
9
14
.
1,0đ
b, Theo đề bài: ab = 2, bc = 6 và ac = 3
ta có: ab . bc . ac = 2 . 6 . 3
⇔
a
2
b
2
c
2

= 36
⇔
(abc)
2
= 36
⇔
abc =
±
6
- Trường hợp 1:
abc = 6 mà ab = 2, nên c = 3
abc = 6 mà bc = 6, nên a = 1
abc = 6 mà ac = 3, nên b = 2
- Trường hợp 2:
abc = - 6 mà ab = 2, nên c = - 3
abc = - 6 mà bc = 6, nên a = - 1
abc = - 6 mà ac = 3, nên b = - 2Vậy





=
=
=
3
2
1
c
b

a
;





−=
−=
−=
3
2
1
c
b
a
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
3.
(3điểm)
a, 3a + 5b = 8c
⇔
3a - 3b = 8c – 8b
⇔
3(a – b) = 8(c – b)
Do đó 3(a – b)

8, từ đó a – b


8; Do a
≠
b nên a – b
{ }
8;8 −∈
- Trường hợp: a – b = 8 cho c – d = 3, ta có:
a = 8; b = 0; c = 3
a = 9; b = 1; c = 4.
- Trường hợp: a – b = - 8 cho c – b = 3, ta có:
a = 1; b = 9; c = 6.
Vậy tất cả có ba số thỏa mãn bài toán: 803, 914, 196.
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,75đ
b, x
2
+ 4x + 10 = x
2
+ 2x +2x +4 + 6= (x + 2)
2
+ 6 > 0 với mọi x. 0.75đ
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
22
19 ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 CỰC HAY
Do đó đa thức x
2
+ 4x + 10 không có nghiệm. 0,25đ
4.

(2điểm)
Xét các trường hợp:+) x
≤
-2 thì A
≤
0.
+) x = -1 thì A = 1.+) x
≥
1 khi đó: A =
x
x 2+
= 1 +
x
2
.
A lớn nhất
⇔

x
2
lớn nhất.
Vì x là số nguyên dương, nên:
x
2
lớn nhất
⇔
x nhỏ nhất, tức là x = 1, khi đó A = 3.
Vậy giá trị lớn nhất của A bằng 3 khi và chỉ khi x = 1
0,5đ
0,5đ

0,5đ
0,5đ
5.
(7điểm)
a, - Chứng minh ∆CHO = ∆ CFO (cạnh huyền – góc nhọn)
suy ra: CH = CF. Kết luận ∆ FCH cân tại C.
-Vẽ IG //AC (G FH). Chứng minh ∆ FIG cân tại I.
- Suy ra: AH = IG, và IGK = AHK.
- Chứng minh ∆ AHK = ∆ IGK (g-c-g) Suy ra AK = KI
1,0đ
1,0đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
b,
Vẽ OE ⊥ AB tại E. Tương tự câu a ta có: ∆ AEH, ∆ BEF thứ tự cân tại A, B. Suy ra: BE = BF và
AE = AH.
BA = BE + EA = BF + AH = BF + FI = BI.
Suy ra: ∆ ABI cân tại B.
Mà BO là phân giác góc B, và BK là đường trung tuyến của ∆ ABI nên: B, O, K là ba điểm thẳng
hàng.
A
E H
K
O G
B F I C
1đ
1đ
0,5đ

0,5đ
ĐỀ 11
Câu 1 ( 5 điểm )
a)Cho tỉ lệ thức
d
c
b
a
=
Chứng minh rằng :
dc
c
ba
a
−
=
−
(a,b,c,d
≠
0; a
≠
b; c
≠
d)
b)cho 4 số a;b;c;d sao cho a+b+c+d
≠
0
Biết
k
d

cba
c
dba
b
adc
a
dcb
=
++
=
++
=
++
=
++
Tính giá trị của
k
?
Câu 2 ( 3 điểm )Cho đa thức f(x) thỏa mãn : f(x) + x.f(-x) = x+1 với mọi giá trị của x
Tính f(1) = ?
Câu 3 (3 điểm )Cho đa thức f(x) = x
2
+mx+2
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
23
19 ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 CỰC HAY
a) Xác định m để f(x) nhận -2 làm một nghiệm ?
b) Tìm tập hợp các nghiệm của f(x) ứng với giá trị vừa tìm được của m ?
Câu 4 (2 điểm )Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A=
5)32(

4
2
+−x
Câu 5 (7 điểm )Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH vuông góc với BC, kẻ HP vuông góc với AB và
kéo dài để có PE = PH. Kẻ HQ vuông góc với AC và kéo dài để có QE = QH.
a) Chứng minh rằng :
,APE APH AQH AQF∆ = ∆ ∆ = ∆
b) Chứng minh ba điểm E, A, F thẳng hàng
c) Chứng minh rằng : BE // CF
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
Câu 1 (5 điểm)
a) (2 điểm)
Xét tích
bcacbac
adacdca
−=−
−=−
)(
)(
Ta có :
d
c
b
a
=
cbad
=⇒
)()( bacdca −=−⇒
⇒
dc

c
ba
a
−
=
−
b) (3 điểm)
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
Câu 2 (3 diểm)
Thay x=1 vào ta được :f(1)+f(-1)=2
Thay x= -1 vào ta được :f(-1)-f(1)=0
⇒
f(1)+f(-1)+ f(-1)-f(1)=2+0
⇒
2f(1)=2
⇒
f(1)=1
Câu 3 (3 điểm)
a) f(x) nhận -2 làm một nghiệm
⇒
(-2)
2
+m(-2)+2=0
⇒
m=3 b)
f(x)=x
2
+3x+2, ta có : x
2
+3x+2=0

⇒
(x+1)(x+2)=0
⇒
x= -1 hoặc x= -2
Câu 4 (2 điểm)
Để A có GTLN thì (2x-3)
2
+5 đạt GTNN 1 đ
Mà (2x-3)
2
+5
≥
5
⇒
GTLN A=
5
4
khi x=
2
3
1 đ
Câu 5 (7 điểm)
Vẽ đúng hình, ghi đúng giả thiết, kết luận 0,5 đ
a) Chứng minh được
)( cgcAPHAPE −−∆=∆
1,5 đ

)( cgcAQFAQH −−∆=∆
1,5 đ
b) Chứng minh được góc EAF = 180

0
2 đ
c) Chứng minh được góc BEF=góc EFC = 90
0
1 đ
⇒
EB // FC 0,5 đ
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
24
3 3 3 3 3( )
3 3
b c d c d a a b d a b c a b c d a b c d
k
a b c d a b c d a b c d
+ + + + + + + + + + + + + +
= = = = = = ⇒ =
+ + + + + +
19 ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 CỰC HAY
ĐỀ 12
Câu1: (6đ)
a, Tính: B =
515032
3
1
3
1

3
1
3

1
3
1
−++−+−
b, Chứng minh :
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1

6 5 6 7 100 4
< + + + + <
.
Câu 2: (5đ)
a, Cho:
d
c
c
b
b
a
==
. Chứng minh:
d
a
dcb
cba
=







++
++
3
.
b, Tìm một số có ba chữ số, biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của nó tỉ lệ theo
1:2:3 ?
Câu 3: (7đ)
Cho góc xAy = 60
0
vẽ tia phân giác Az của góc đó . Từ một điểm B trên Ax vẽ đường thẳng song
song với Ay cắt Az tại C. Vẽ Bh ⊥ Ay,CM ⊥Ay,
BK ⊥ AC.
Chứng minh rằng:
a, K là trung điểm của AC.
b, BH =
2
AC
c,
ΔKMC
đều
Câu 4: ( 2đ)
Với giá trị nào của x thì biểu thức : P = -x
2
– 8x +5 có giá trị lớn nhất.
Tìm giá trị lớn nhất đó?
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Câu1: (6đ)
a, B = =

515032
3
1
3
1

3
1
3
1
3
1
−++−+−
=
2 3 50 51
1 1 1 1 1

( 3) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 )
+ + + + +
− − − − −
2 3 4 51 52
1 1 1 1 1 1

3 ( 3 ) ( 3 ) ( 3) ( 3 ) ( 3 )
B
− = + + + +
− − − − −
=>
4
3

B =

)3(
1
3
1
52
−
−
−
=
52
51
3
13
−−
=> B =
51
51
3.4
)13( −−
b, Đặt : A =
2 2 2 2
1 1 1 1

5 6 7 100
+ + + +
Ta có:* A <
1 1 1 1

4.5 5.6 6.7 99.100
+ + + +
=
1 1 1 1 1 1

4 5 5 6 99 100
− + − + + −
=
1 1 1
4 100 4
− <
* A >
1 1 1 1 1 1 1

5.6 6.7 99.100 100.101 5 101 6
+ + + + = − >
.
Câu 2: (5đ)
a, Ta có

d
a
d
c
c
b
b
a
=
(1) Ta lại có

.
acb
cba
d
c
c
b
b
a
++
++
===
(2)Từ (1) (2) =>
d
a
dcb
cba
=






++
++
3
.
b, Gọi a,b ,c là các chữ số của số có 3 chữ số cần tìm.
0,5đ

0,5đ
1đ
1đ
0,25đ
1 đ
0.75đ
1 đ
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
25