tổng hợp đề luyện thi học sinh giỏi toán lớp 12 chọn lọc

Hoàng hà linh
ĐỀ 2 (Học sinh giỏi Toán 12)
1, Cho hàm số:
mxxy ++= 2cos2sin
a. Tìm cực đại và cực tiểu của hàm số khi m =1
b. Tìm m để hàm số có cực đại trên






2
;0
π
2, Tìm trên Oy các điểm kẻ được ít nhất 1 tiếp tuyến tới đồ thị hàm số:

124
2
+++= xxxy
3,






−∈∀ 1
2
;0:
π

xCMR
thì
333
cos)1cos(cos)1sin(sin)1cos( xxxxxx +>+−+
4, Cho hệ phương trình:





=+−−+−
++=++
0742
11
232
3
33
3
33
mxxxyy
yyxx
a. Giải hệ với m = 0
b. Tìm m để hệ có 3 nghiệm phân biệt.
Hoàng Hà linh
Hoàng hà linh
ĐỀ 3 (Học sinh giỏi Toán 12)
1, Cho hàm số:
4 3 ( )
4 3
C

y x x= − +
c. Tính diện tích tam giác có các cạnh là các tiếp tuyến tại cực trị và điểm uốn
d. Tìm tiếp tuyến tiếp xuúc với (C) tại hai điểm. Tìm tiếp điểm.
2, Cho:
2 2 2 2
16, 25, 20x y u v xu yv+ = + = + ≥
. Tìm Max, Min P = x + v
3, Cho (C ):
2 2
2 4 4 0x y x y+ − + + =
và hai đường thẳng (C’):
2 2
2 4 4 0x y x y+ + − − =

Tìm điểm trên (d): 2x + y + 1 = 0 kẻ được tiếp tuyến T
1
tới (C), kẻ được tiếp tuyến T
2

tới (C’) sao cho
1 2
T T⊥
4, Giải pt:
3 2 3
3 2 ( 2) 6 0x x x x− + + − =
5, Cho hệ:
2 2
2 2
40 8 10
12 4 6

3 2 13
a b a b
c d c d
x y

+ + = +

+ + = +


= +

Tìm min
2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )P x a y b x c y d= − + − + − + −
Hoàng Hà linh
Hoàng hà linh
ĐỀ 4 (Học sinh giỏi Toán 12)
C âu I: Cho hàm số
2x2xmx2y
2
+−+−=
1,/ Với m = 3 hãy xác định các tiệm cận về bên phải và về bên trái của đồ thị
2,/ Tìm m để hàm số đạt cực đại tại điểm x
o
< -2
Câu II: 1./ Giải phương trình :
22)xsin3(log
x
3

1
−=+
2,/ Tính
∫
π
π
−
+
=
2
2
dx
21
xcosx
I
x
2

Câu III: Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, đường cao SO = h.
1,/ Tính theo a, h bán kính R của nặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
2,/ Tính diện tích toàn phần hình chóp S.ABCD; từ đó tính bán kính r của mặt cầu nội tiếp hình chóp
( theo a và h )
Câu IV: Cho (H):
1
94
22
=−
yx
, gọi (d) là đường thẳng qua O có hệ số góc k, (d') là đường thẳng qua
O và vuông góc với (d).

1) Tìm k để (d) và (d') cắt (H) tại 4 điểm A,B,C,D
2) Khi đó tính diện tích tứ giác ABCD, Tìm k để diện tích đó nhỏ nhât.
Câu V: Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn điều kiện
1
c
1
b
1
a
1
=++
. Chứng minh rằng:
cbaabcabccabbca +++≥+++++
ĐỀ 4 (Học sinh giỏi Toán 12)
C âu I: Cho hàm số
2x2xmx2y
2
+−+−=
1,/ Với m = 3 hãy xác định các tiệm cận về bên phải và về bên trái của đồ thị
2,/ Tìm m để hàm số đạt cực đại tại điểm x
o
< -2
Câu II: 1./ Giải phương trình :
22)xsin3(log
x
3
1
−=+
2,/ Tính
∫

π
π
−
+
=
2
2
dx
21
xcosx
I
x
2

Câu III: Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, đường cao SO = h.
1,/ Tính theo a, h bán kính R của nặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
2,/ Tính diện tích toàn phần hình chóp S.ABCD; từ đó tính bán kính r của mặt cầu nội tiếp hình chóp
( theo a và h )
Câu IV: Cho (H):
1
94
22
=−
yx
, gọi (d) là đường thẳng qua O có hệ số góc k, (d') là đường thẳng qua
O và vuông góc với (d).
1) Tìm k để (d) và (d') cắt (H) tại 4 điểm A,B,C,D
2) Khi đó tính diện tích tứ giác ABCD, Tìm k để diện tích đó nhỏ nhât.
Câu V: Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn điều kiện
1

c
1
b
1
a
1
=++
. Chứng minh rằng:
cbaabcabccabbca +++≥+++++
Hoàng Hà linh
Hoàng hà linh
ĐỀ 6 (Học sinh giỏi Toán 12)
1. Cho Hàm số:
3 2
3 1 ( )y x x mx Cm= + + −
a. Chứng minh (Cm ) cắt
3 2
2 7y x x= + +
tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm quỹ tích
trung điểm AB
b. Xác định m để (Cm) cắt y =1 tại C(0;1) và D, E sao cho tiếp tuyến tại D, E vuông
góc với nhau
2. Tìm m để miny= {x
2
- 5x + 4} + mx lớn hơn 1
3 . Cho pt:
2
2
3
3tan (t cot ) 1 0

sin
x m gx gx
x
+ + + − =
. Tìm m để pt có nghiệm
4. Tìm min
sin cosy a x a x= + + +
, a
1≥
5. Tìm m để
1
2
0
2 5x x mdx− + =
∫
6. Tìm m để hệ có nghiệm
2
2
2
4 2 2
4
5
( 2)
8 16 16 32 16 0
x
x
x
x x mx m m

+ ≥


+


+ + + + + =

7. Tìm Max, Min
2 2
1 1 , 1y x y y x x y= + + + + =
8. Cho hs:
3 2 2
3( 1) 2( 4 1) 4 ( 1)y x m x m m x m m= − + + + + − +
a. Tìm điểm cố định của hàm số.
b. Tìm m để hàm số có hai cực trị nằm về hai phía của Ox
9. Tìm Max, min của:
2 2
2 4
1
1 1
x x
y cos cos
x x
= + +
+ +
Tìm m để pt có nghiệm:
2 2
2 4
1 0
1 1
x x

mcos cos
x x
+ + =
+ +
10. Cho hs:
2 2 3
( 1) 4mx m x m m
y
x m
+ + + +
=
+
a. Với m= -1 tìm trên hai nhánh của đồ thị hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất
b. Tìm m để hàm số có hai cực trị nằm ở góc phần tư thứ hai và thứ tư
11. Cho pt:
2 2
1 1x x x x m+ + − − + =

a. GiảI pt với m=-1/2 Tìm m pt có nghiệm?
12. Tìm a, b, c để pt:
[ ]
3 2
4 1, 1;1x ax bx c x+ + + ≤ ∀ ∈ −
13. Cho hàm số:
2 2 2
( 1) 1x m m x m
y
x m
+ − − +
=

−
a. Chứng minh với mọi m hàm số luôn có cực đại, cực tiểu
b. Tìm điểm mà tại đó có duy nhất 1 giá trị của m để nó là cực đại và có duy nhất
giá trị của m để nó là cực tiểu
14. Cho (E)
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
. Tìm hình chữ nhật ngoại tiếp (E) có diện tích lớn nhất,
Nhỏ nhất, Chu vi lớn nhất, Nhỏ nhất
Hoàng Hà linh
Hoàng hà linh
15. Tìm cực trị theo m của hàm số:
2
1
x m
y
x
+
=
+
Biện luận theo m số nghiệm của pt:
2
1x m m x+ = +
16. Cho PT:
3
3

2 2x m x m+ = −
a. GiảI pt với m= 1
b. Tìm m để pt có nghiệm
Hoàng Hà linh
Hong h linh
THI CHN HOC SINH GII TNH 12
(Thời gian làm bài 180 phút)
Bi 1: Cho h phng trỡnh:




=+
=++
83
22
axyyx
axyyx
Vi iu kin no ca a thỡ h cú nghim.
Bi 2: Cho tam giỏc ABC cú 3 gúc nhn. Chng minh:


( ) ( )

+++++ tanCtanBAtan
3
1
sinsinsin
3
2

CBA
Bi 3: Tỡm iu kin ca m phng trỡnh cú nghim:

( )
mxx =+
4
4
cos1cos
Bi 4: Cho hỡnh chúp t giỏc u SABCD cú cnh ỏy bng a, ng cao bng h.
(P) l mt phng
i qua A vuụng gúc vi SC, (P) ct SB,SC,SD ln lt
,,,
,, DCB
.
1. h phải thỏa mãn điều kiện gì để
,
C
thuộc cạnh SC khi đó tính diện tích thiết diện.

2. Tính thể tích hình chóp
,,,
DCSAB
.
Bài 5: a, b, c là ba số thực
0
chứng minh rằng :

a
c
c

b
b
a
a
c
c
b
b
a
++++
2
2
2
2
2
2
Sơ lợc đáp án đề thi chọn học sinh giỏi 12
Năm học 2008-2009

Đáp án
Bài 1 (4 điểm)
Hong H linh
Hong h linh



=+
=++
83
22

axyyx
axyyx

( )



=+
=++
83ayxxy
axyyx
Đặt



=
=+
pxy
syx

điều kiện
PS 4
2

*



=
=+

83aps
asp
đa về phơng trình
083
2
=+ aatt
điều kiện để phơng trình có nghiệm
0
( )
84032120834
22
+ aaaaaa
(1)
S
1
=
2
;
2
2

=
+ a
s
a
1/ a
8

s,p
0

S=
4
2
;4
2


=
+ a
p
a
thỏa mãn
2/a<
0
3
8
sp
khi đó S=
0
2
;0
2


=
+ a
p

a
thỏa mãn
3/
0;4
3
8
psa
khi đó S=
2
;
2

=
+ a
p
a
thế vào
ps 4*
2
(
2
+a
)
2
( ) ( ) ( ) ( )
081348244
2
4
2
22

+









aaaaaa
a

8
3313
3
8 +
a
Vậy với những giá trị:
8
3313
3
8 +
a
hoặc a

8
Bài2 (4 điểm) :
( ) ( )

+++++ tanCtanBAtan
3
1
sinsinsin
3
2
CBA
AAA + tan
3
1
sin
3
2
+
0tansin
3
2
tan
3
1
3
2
+++ CCCBBSinB
Vai trò nh nhau
Đăt f(x) =
xxx + tan
3
1
sin
3

2
x







2
,0

( )
1
cos3
1
cos
3
2
2
,
+=
x
xxf
=
1
cos
1
cos2
3

1
2







+
x
x
áp dụng bất đẳng thức côsi cosx+cosx+
3
cos
1
2

x

( )
0
'
xf
f(x) hàm đồng biến x

2
,0


f(x)

f(0) =o Thay x=A,x=B, x=C
A.B,C nhọn do đó f(A)>0;f(B)>0,f(C)>0 vậy bất đẳng thứ đợc chứng minh
Bài 3 (4 điểm )
Hong H linh
Hong h linh
( )
mxx =+
4
4
cos1cos

Đặt t =

cosx điều kiện
1t
Xét hàm số f(x)= t
4
+(1-t)
4

Tìm giá trị lớn và nhỏ nhất trên
1t

f(x)=4t
3
- 4(1-t)
3
f(x)=0 khi t=
2
1
f(1) =1; f(-1) = 17 ; f(
2
1
) =
8
1
vậy phơng trình có nghiệm
17
8
1
m
Mặt phẳng đi qua A vuông góc với SCsẽ cắt (SAC) theo đờng
cao AC của tam giác SAC muốn cho điểm C năm trên SC thi
góc SAC nhọn suy

ra

HSC <45
0
. Vậy ta có SH>HC


2

2
ah
2 gọi k là giao điểm của đờng cao SH của hình chóp với ACta có:
( )
( )
P
SCBD
SCP






//BDVậy (P) cắt (SBD) theo BD đi qua K và //BD .Nên (P) cát hình
chóp SABCD theo thiết diện là tứ giác ABCD có 2 đờng chéo vuông góc là AC và
BD (Do BD vuông góc (SAC vì BD//BD)
Vậy diện tích thiết diện ABCD là
S =
2
1
AC BD mà AC.SC = SH.AC = dt (tg SAC) suy ra
AC =
2
2
2
2
a
h
ha

+
=
22
2
2
ha
ah
+

Từ tính chất trực tâm tam giác SAC có : HK.HS = HA.HC
HK =
h
ah
SK
h
a
2
2
2
222

=

theo tính chất 2 tam giác đồng dạng SBD và SBD
( )
2
2222
2
22
''

2
2''
h
aha
DB
h
ah
SB
SK
BD
DB
=

==

Vậy S =
( )
( )
22
222
22
2
ahh
aha
+

2/ Hình chóp SAB CD có chiều cao là SC với SC.SC = SH.SK( vì tứ giác HCCK
nội tiếp đợc) nên:
SC =
)2(2

2
22
22
ah
ah
+

Vầy thể tích hình chóp SABCD
Hong H linh
S
B
H
K
C


D
A
C
Bài 4 (5 điểm)
Hong h linh
2V =
3
1
SC.dt(ABCD) =
3
1
)2(2
2
22

22
ah
ah
+

( )
( )
22
222
22
2
ahh
aha
+

=
( )
( )
22
2
222
26
2
ahh
aha
+


(ĐVTT)
Bài 5( 3 Điểm)

a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
++++
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2

2
2
2
2
2
22
2
+






+++++








++

++








+
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
a
a
a
c
c
c

c
b
b
b
b
a
(1)








+
22
2
b
b
b
a
b
a
a
b
b
a
2.2 =

+
2
2
2
2
c
c
c
b
c
b
c
c
c
b
2.2 =

+
2
2
2
2
a
a
a
c
a
c
a
a
b
c
2.2 =






++++

++








++








+
a
c
c
b
b
a
a
c
c

b
b
a
a
a
a
c
c
c
c
b
b
b
b
a
2)(2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
(*)
Mặt khác
++
2

2
2
2
2
2
a
c
c
b
b
a
3
3.
2
2
2
2
3
2
2
=
a
c
c
b
b
a
(**)
Cộng vế cho vế ta đợc (1) điều phải chứng minh
Hong H linh

Hồng hà linh
S GI O D C & O T O K L KỞ Á Ụ ĐÀ Ạ ĐĂ Ă
TR NG THPT VI T C ƯỜ Ệ ĐỨ

THI H C SINH GI I C P TR NG ĐỀ Ọ Ỏ Ấ ƯỜ
Mơn Tốn Lớp 12
Th i gian: 180 phút ( Khơng k th i gian giao )ờ ể ờ đề
Câu 1: (3,0 điểm )
Tìm i u ki n c a tham s m th c a h m s sau c t tr c ho nh t i ít nh t m t i mđề ệ ủ ố đểđồ ị ủ à ố ắ ụ à ạ ấ ộ để
y=(m - 3)
x
+ ( 2- m)x + 3 - m
Câu 2: (3,0 điểm ) Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m

2 2
2 2 2 4 2 2
5 5 2
x mx x mx m
x mx m
+ + + + +
− = + +
.
Câu 3: (3,0 điểm )
Cho tứ giác lồi ABCD có các góc A, B, C, D không vuông và
0 0
90 ; 270A B A B+ ≠ + ≠
. Chứng minh rằng:

tan tan tan tan
cot cot cot cot

tan .tan .tan .tan
A B C D
A B C D
A B C D
+ + +
= + + +
.
Câu 4: (3,0 điểm)
Từ một điểm O bên trong tam giác đều ABC, ta vẽ các đường vuông góc OP, ON,
OM xuống các cạnh AB, AC, BC.
Chứng minh rằng tổng độ dài AP + BM + CN không phụ thuộc vào vò trí của điểm
O.
Câu 5:( 4,0 điểm )
Chứng minh rằng với mọi số thực bất kì a và b đều thỏa mãn bất đẳng thức sau:
2 2 3 3 6 6
. .
2 2 2 2
a b a b a b a b+ + + +
≤
.
Câu 6: (4,0 điểm)
Cho dãy số
{ }
n
U
được xác đònh như sau:

( ) ( ) ( )
2 2 2
2

1 2 3 , 1,2,3,
n
U n n n n n= + + + + + + =
Tìm tất cả các số hạng của dãy chia hết cho 10.
Hồng Hà linh
CH NH TH C ĐỀ Í Ứ
Hoàng hà linh
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 12
MÔN: TOÁN
THỜI GIAN: 180' (không kể thời gian giao đề)
ĐỀ BÀI:
Bài 1: (5 điểm) Cho hàm số: y =
1
1
2
+
++
x
mxx
1) Khi m = 1: a) Khảo sát hàm số (C
1
) 2đ
b) Tìm trên 2 nhánh của (C
1
) 2 diểm A và B sao cho AB
bé nhất 2đ
2) Xác định m để hàm số có y
CĐ
, y
CT

và y
CĐ
.y
CT
> 0 1đ
Bài 2: (4 điểm)
a) Giải phương trình:
6 2
33
111
−=−−+
xxx
2đ
b) Tìm ∀ x, y ∈ Z thoả mãn 2đ
( )
yyxxlog
y
3732
2
8
2
2
2
+−≤++
+
Bài 3: (4 điểm) Cho dãy số
∫
=
π
0

2
sin xdxeI
x
n
(n = 1, 2, )
a) CMR:
, ,n
n
e
I
n
21
2
2
=∀≤
π
3đ
b) Tính
n
n
Ilim
∞→
1đ
Bài 4: (4 điểm) Cho Elíp
1
2
2
2
2
=+

b
y
a
x
có a > b
Xét M
o
(X
o
, Y
o
) ∈ E ; O là gốc toạ độ
1) CMR: a ≥ OM ≥ b 2đ
2) CMR: tiếp tuyến với E tại M
O
(x
0
> 0;y
0
> 0)cắt chiều dương OX và OY ở A, B
thì tồn tại vị trí M
O
để độ dài AB min. 2đ
Hoàng Hà linh
Hoàng hà linh
Bài 5: (3 điểm) Cho hình chóp ∆SABC có góc tam diện đỉnh S vuông và SA = 1;
SB = 2; SC = 3. M là 1 điểm thuộc ∆ABC. Gọi P là tổng các khoảng cách từ A, B, C
lên đường thẳng SM tìm vị trí M để P
min
.

Hướng dẫn đáp án:
Bài 1:
1) m = 1:
a) Khảo sát hàm số: có dạng y = x +
1
1
+x
→ TXĐ: R - {-1) 0,5đ
b) y' = 1
( )
2
1
1
+
−
x
→ y' = 0
khi x = -2 hoặc x = 0 → dấu y'
- 2 - 1 0 x 0,25đ
Hàm số đồng biến trong (-∞, -2) ∪ (0 + ∞) hàm số nghịch biến trên (-2, -1) ∪ (-1,
0)
Có x
LĐ
= -2, → y
CĐ
= -3 và x
CT
= 0 → y
CT
= 1 0,5đ

Tiệm cận: đứng x = -1 vì
∞=






+
+
→
1
1
1
x
xlim
x
Tiệm cận xiên y = x vì
1
1
+
∞→
x
lim
x
= 0
Bảng biến thiên:
Hoàng Hà linh
+ - - +
1

x
y'
y
-∞
-2 -1 0
+∞
+ 0 - 0 +-
-∞ -∞
+∞
+∞
-3
Hoàng hà linh
Vẽ đồ thị (0,5d) y
x
- 3
b) Gọi A ∈ nhánh phải; B ∈ nhánh trái. 0,5đ
→ A (-1 +α, -1 + α +
α
1
) và β(-1 -β, -1 -β -
β
1
) với α và β dương
→ BA
2
= AB
2
= (α + β)
2
+ (α + β)

2
2
1
1






αβ
+
= (α + β)
2






βα
+
αβ
+αβ≥















αβ
++
22
2
12
24
1
11
= 8αβ
αβ
+
4
+ 8
288 +≥
=>
288 +=
min
AB
1điểm
Hoàng Hà linh
- 1
-1-2

1
0
y = x
Hoàng hà linh
tại α = β =
4
2
1
→






++−+−
4
44
2
2
1
1
2
1
1 ;A







−−−−−
4
44
2
2
1
1
2
1
1 ;B
0,5đ
Bài 2:
a) x = ± 1 không phải nghiệm phương trình 0,5đ
chia 2 vế cho
6
2
1−x
ta có:
1
1
1
1
1
66
=
+
−
−
−

+
x
x
x
x
đặt
)t(
x
x
t 0
1
1
6
>
−
+
=
ta có:
01
1
=−=
t
t
→ t
2
- t - 1 = 0
→
)i¹lot(t
2
51

2
51 −
=
+
=
0,5đ
=








−








+
⇒









+
=
−
+
⇒ 1
2
51
2
51
1
1
66
x
x
x
1
2
51
2
51
1
2
51
1
6
6

6
−








+








+
+
=⇒









+
+= x
1đ
b) Nhận xét rằng: x
2
+ 2x + 3 = (x + 1)
2
+ 2 ≥ 2
→ log
2
(x
2
+ 2x + 3) ≥ 1 ∀ x ∈ R 0,75đ
→ điều kiện cần phải có
8+
7+3+
2
2
y
yy -
≥ 1
→
2
1
≤ y ≤ 1 y ∈ Z → y = 1 0,5đ
→ x
2
+ 2x + 3 ≤ 2 → x = -1 0,5đ
Hoàng Hà linh
Hoàng hà linh

→ BPT có nghiệm



=
−=
1
1
y
x
(∈ Z) 0,25
Bài 3: Đặt
∫
π
=
0
2
nxdxsin.eI
x
n
∫
−==ν=→= nxcos
n
nxdxsin,dxxedueu
xx
1
2
22
→
∫

π
π
+−=
0
0
22
21
nxdxcosxe
n
xncose
n
I
xx
n
1,0đ
→
( )
∫
π
π
=+−−=
0
22
2
11
1
nxdxcosxeJ;J
n
e.)(
n

I
x
nn
n
n
=>
nn
n
n
J
nn
e
J
nn
e)(
I
21211
22
+
+
≤+
−−
=
ππ
1,0đ
mặt khác có:
∫∫∫
πππ
≤→≤=


000
222
dxxeJnxdxcosxenxdxcosxeJ
x
n
xx
n
=
n
e
I
e
n
22
2
2
1
ππ
≤→
−
1,0đ
Do
0
2
0
2
22
→→−
ππ
n

e
vµ
n
e
nên I
n
→0 theo nguyên lí kẹp (1đ)
Bài 4:
1) 2 điểm: từ M
O
∈ E →
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
OO
và OM
2
=
22
OO
yx +
và từ a > b ta có: 1,0đ
1=

2
2
0
2
2
0
+
b
y
a
x
≤
2
2
0
2
2
0
+
b
y
b
x
⇒
2
b
≤
2
0
2

0
+ yx
(1)
Hoàng Hà linh
Hoàng hà linh
và 1=
2
2
0
2
2
0
+
b
y
a
x
≥
2
2
0
2
2
0
+
a
y
a
x
⇒

2
a
≥
2
0
2
0
+ yx
(2)
từ (1) và (2) → a
2
≥ OM
2
≥ b
2
→ a ≥ OM ≥ b 1,0đ
2) Đường thẳng AB có dạng
1=+
n
y
m
x
với A(m,o); B(n,o)
theo t/c tiếp tuyến →
1
2
2
2
2
=+

n
b
m
a
=> 0,5đ
vậy AB
2
= m
2
+ n
2
= (m
2
+ n
2
).1 =
=
( )
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
22

a
m
n
b
n
m
ba
n
b
m
a
nm +++=






++
0,5đ
≥ a
2
+ b
2
+ 2ab = (a + b)
2
dấu = có khi
2
2
2

2
2
2
a
m
n
b
n
m
=

→





=+
=
1
2
2
2
2
22
n
b
m
a
anbm

→ AB
min
= a + b khi





+=
+=
abbn
abam
2
2
1đ
Bài 5: Đặt ASM = α, BSM = β, CSM = γ
Ta có: P = sinα + 2sinβ + 3sinγ
sẽ tính được sin
2
α + sin
2
β + sin
2
γ = 2 0,5đ
→ sinα + sinβ + sinγ ≥ sin
2
α + sin
2
β + sin
2

γ = 2
=> sinβ + sinγ - 1 ≥ 1 - sinα
→ 2(sinβ + sinγ) - 2 ≥ 1 - sinα 0,5đ
→ 2sinβ + 3sinγ + sinα ≥ 2 + 1 = 3 1,0đ
P
min
= 3 khi sinα = sin
2
α; sinβ = sin
2
β; sinγ = sin
2
γ 0,5đ
=> sin γ = 0, sinα = sinβ = 1 → α = 90
0
, β = 90
0
, γ = 0
0
P
min
= 3 khi M ≡ C.
Hoàng Hà linh
A
B
C
S
M
γ
α

β
Hoàng hà linh
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
CâuI (2 điểm):
Cho hàm số: y = x
3
+mx
2
+9x+4 (Cm)
1. Tìm m để (Cm) có cực đại, cực tiểu?
2. Tìm m để (Cm) có 1cặp điểm đối xứng qua O(0; 0)?
CâuII (2 điểm):
1. Tính:
I=
∫
3/
4/
4
π
π
xdxtg
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x
2
; y= 4x
2
; y = 4.
CâuIII (2 điểm):
1.Cho phương trình: (m+3)x

2
- 3mx + 2m = 0
Xác định m để phương trình có 2 nghiệm x
1
và x
2
sao cho 2x
1
- x
2
= 3.
2 Xác định m để tam thức bậc hai:
f(x)= x
2
+(3-m)x -2m + 3 luôn luôn dương với
∀
x
4−≤
Câu IV (2 điểm):
1. giải hệ phương trình: x + y + xy = 11
x
2
+ y
2
+ 3(x + y) = 28
2. Giải và biện luận phương trình:
mxmxx
+=−
2
Câu V (2 điểm):

Cho phương trình: 2Cos
2
x - (2m+1)Cosx +m = 0
1. Giải phương trình với m =
2
3
2. Tìm m để phương trình có nghiệm x sao cho x ∈






2
3
;
2
ππ
Câu VI (2 điểm):
1. CMR trong ∆ABC ta có: tgA + tgB + tgC = tgAtgBtgC
2. nếu ∆ABC là ∆ nhọn, c/m tgA + tgB + tgC ≥
33
Câu VII (2 điểm):
1.
Tìm:
1
23
lim
3
1

−
−−
→
x
xx
x
2.
Giả phương trình: 8.3
x
+ 3.2
x
= 24 + 6
x
Câu XIII (2 điểm):
Hoàng Hà linh
Hoàng hà linh
1. giải phương trình: log
2
(3.2
x
- 1) = 2x + 1
2. Cho (H) có phương trình: x
2
- 3y
2
= 1 và đường thẳng ∆: kx + 3y -1 = 0
a, Xác định k để ∆ tiếp xúc với (H)
b, Tìm tọa độ tiếp điểm.
Câu IX (2 điểm):
1. Cho 3 mp (P), (Q), (R) có các phương trình lần lượt là:

(P): Ax + By + Cz + D
1
= 0 (1)
(Q): Bx + Cy + Az + D
2
= 0 (2)
(P): Cx + Ay + Bz + D
3
= 0 (3)
Với điều kiện A
2
+ B
2
+ C
2
> 0 và AB + BC + CA = 0
CMR: 3mp (P), (Q), (R) đôi một vuông góc.
2. Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ mp(BCD), ∆BCD vuông tại C
CMR 4 mặt của tứ diện là những ∆ vuông.
Câu X (2 điểm):
1. Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác .
CMR: a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ac)
2. Có bao nhiêu số tự nhiên (được viết trong hệ đếm thập phân) gồm 5 chữ số
mà các chữ số đều lớn hơn 4 và đôi 1 khác nhau.

Hoàng Hà linh
Hoàng hà linh
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12
Năm học:
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
Môn: Toán- Đề số I
(Bản hướng dẫn chấm gồm 7 trang)
Câu I:
1. y' = 3x
2
+ 2mx + 9
Hàm số có CĐ CT' ⇔ y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt (0,5đ)
⇔ ∆' = m
2
- 27 > 0
⇔ m ∈(-∞;
33−
) ∪ (
33−
;+∞) (0,5đ)
2. Giả sử A(x
1
; y
1
) và B(-x
1
; -y
1
) đối xứng nhau qua gốc tọa độ và cùng thuộc
(Cm) (0,25đ)

Khi đó: y
1
=
49
1
2
1
3
1
+++ xmxx
(1)
-y
1
=
49
1
2
1
3
1
+−+−
xmxx
(2) (0,25đ)
Lấy (1) cộng với (2) (vế với vế) ta có p/t:
04
2
1
=+
mx
(0,25đ)

⇔
4
2
1
−=mx
có nghiệm ⇔ m < 0 (0,25đ)
Câu II:
1. Ta có:
I =
dx
x
x
2
3/
4/
2
2
cos
sin
∫








π
π

=
( )
dx
x
x
∫
−
3/
4/
4
2
2
cos
cos1
π
π
(0,25đ)
=
dxdx
x
dx
dx
x
dx
∫∫∫
+−
3/
4/
3/
4/

2
3/
4/
4
cos
2
cos
π
π
π
π
π
π
(0,25đ)
=
( )
3/
4/
3/
4/
3/
4/
2
2)(1
π
π
π
π
π
π

xtgxtgxdxtg
+−+
∫
(0,25đ)
Hoàng Hà linh

y = 4

y = x

2

y = 4x

2

y

x

Hoàng hà linh
=
123
2
2
3
1
3/
4/
3/

4/
3/
4/
3
π
π
π
π
π
π
π
+=+−






+
xtgxxtgtgx
(0,25đ)
2. Giao điểm hai đường y=x
2
có hoành độ là : x
±
2
Giao điểm y=4 với y = 4x
2
có hoành độ là x=
±

1
Giao điểm hai đường y=x
2
và y= 4x
2
có hoành độ x=0 (0,5đ)
Diện tích miền cần tính (miền gạch chéo như hình vẽ) là :
S=2








−+−
∫∫
dxxdxxx
2
1
2
1
0
22
44
= 2









−+
∫ ∫∫
1
0
2
1
2
2
1
2
43 dxxdxdxx
= 2






−+
2
1
3
2
1
1

0
3
3
1
4 xxx
=
3
16
(đv dt) (0,5đ)
Câu III
1. Giả sử phương trình có 2 nghiệm x
1
,x
2
ta có :







+
=
=−
+
=+
3
2
32

3
3
21
21
21
m
m
xx
xx
m
m
xx
(đk m≠-3) (0,25đ)
Từ (1) và (2) ta có : x
1
=
3
32
+
+
m
m
và x
2
=
3
3
+
−
m

m
(0,25đ)
Thay vào (3) ta được
1
99
3
)3(2)3)(32(
3
3
2
3
3
3
32
−=⇔



−=
≠
⇔



+=−+
−≠
⇔
+
=
+

−
×
+
+
m
m
m
mmmm
m
m
m
m
m
m
m
(0,25đ)
Với m=-1 phương trình viết : 2x
2
+3x -2 =0
⇒ x
1
=
2
1
, x
2
=-2. Vậy m=-1 là giá trị cần tìm. (0,25đ)
2. Tam thức đã cho dương với ∀x≤ - 4
Hoàng Hà linh
Hoàng hà linh

Khi và chỉ khi
















<−
>−
≥∆
<∆
⇔









<≤−
≥∆
<∆
2
4
0)4(
0
0
4
0
0
21
s
af
xx
(0,25đ)
⇔
2/7
132/7
13
5
2/7
13
13
0
2
5
072
032
032

2
2
−>⇒



>∨−≤<−
<<−
⇔












−>
−>
≥∨−≤
<<−
⇔

















>
+
>+
≥−+
<−+
m
mm
m
m
m
mm
m
m
m
mm
mm
(0,5đ)
Câu IV:

1. Đặt



=
=+
Pxy
Syx
⇔



=−+
=+
)2(2823
)1(11
2
PSS
PS
(0,25đ)
(1) ⇒ P = 11 - S thế vào (2) ta được: S
2
+ 5S - 50 = 0
giải được: S
1
= 5; S
2
= -10
* với S
1

=5 ⇒ P
1
= 6 ⇒ hệ (I)



=
=+
6
5
xy
yx
(0,25đ)
* với S
2
= -10 ⇒ P
2
= 21 ⇒ hệ (II)



=
−=+
21
10
xy
yx
(0,25đ)
* giải hệ (I) ta được 2 nghiệm (2; 3) và (3; 2)
* giải hệ (II) ta được 2 nghiệm (-3; -7) và (-7; -3)

vậy hệ phương trình có 4 nghiệm:
(2; 3); (3; 2); (-3; -7); (-7; -3) (0,25đ)
2. Giải và biện luận phương trình:
mxmxx +=−
2

Giải:
Phương trình tương đương với:



=−
−≥
⇔



+=−
≥+
)2(3
)1(
)()(
0
222
mmx
mx
mxmxx
mx
(0,25đ)
Xét hai trường hợp:

* m ≠ 0: ta có: x=
3
m−
theo điều kiện (1) ta phải có
3
m−
≥-m ⇔
0
3
2
>m
⇒ m>0 (0,25đ)
Hoàng Hà linh

-4
x
S/2
2

1

x
Hệ
(0,25 đ)
+ +
–
Hoàng hà linh
* m=0: ∀x đều thỏa mãn phương trình (2) so sánh với điều kiện (1) ta nhận x≥0
(0,25đ)
Vậy:

+ m<0 phương trình vô nghiệm
+ m>0 phương trình có nghiệm x=
3
m−
+ m=0 phương trình co nghiệm x ≥ 0 (0,25đ)
Câu V:
Cho phương trình : 2cos
2
x - (2m+1)cosx + m = 0
Đặt: cosx = t;
1
≤
t
p/t ⇔ 2t
2
- (2m+1)t + m =0
∆ = (2m-1)
2
≥0 ⇒ t
1
=
2
1
và t
2
=m (0,25đ)
a. với m =
2
3
thì:

* nghiệm t
2
= cosx =
2
3
(loại)
* vậy t
1
= cosx =
2
1
= cos
3
π
⇒ x= ±
π
π
2
3
k+
(k ∈Z) (0,5đ)
b. Để phương trình có nghiệm
)
2
3
;
2
(
ππ
∈

x
thì cosx < 0
⇔ -1 ≤ m < 0 (0,25đ)
Câu VI:
1. Trong ∆ABC ta có A=π-(B+C)
⇒tgA =tg(π-(B+C)) = -tg(B+C) (0,25đ)
⇔tgA=-
tgCtgB
tgCtgB
.1−
+
(0,25đ)
⇔tgA-tgA.tgB.tgC = -tgB -tgC (0,25đ)
⇔tgA+tgB+tgC = tgA.tgB.tgC (đpcm). (0,25đ)
2.∆ABC là ∆ nhọn nên tgA>0, tgB>0, tgC>0
áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 3 số dương ta có:
tgA+tgB+tgC ≥
3
tgC.tgA.tgB3
(0,25đ)
từ kết quả câu 1, ta có:
tgA+tgB+tgC ≥ 3
3
tgCtgBtgA
++
(0,25đ)
⇔ (tgA+tgB+tgC)
3
≥ 27(tgA+tgB+tgC) (0,25đ)
⇔ (tgA+tgB+tgC)

2
≥ 27
⇔ tgA+tgB+tgC≥
33
(đpcm) (0,25đ)
Hoàng Hà linh
Hoàng hà linh
Câu VII
1.
1
23
lim
3
1
−
−−
→
x
xx
x
=
)23)(1(
23
lim
3
6
1
−+−
−−
→

xxx
xx
x
(0,5đ)
=
)23)(1(
)2)(1(
lim
3
12345
1
−+−
−++++−
→
xxx
xxxxxx
x
(0,25đ)
23
)2(
lim
3
12345
1
−+
−++++
→
xx
xxxxx
x

=
2
3
(0,25đ)
2. giải phương trình: 8.3
x
+ 3.2
x
=24 + 6
x
⇔ 8(3
x
-3) - 2
x
(3
x
-3) = 0 (0,25đ)
⇔ (3
x
-3)(8 - 2
x
) = 0 (0,25đ)
⇔



=
=
⇔





=
=
3
1
82
33
x
x
x
x
(0,25đ)
Vậy phương trình có 2 nghiệm x =1 và x =3 (0,25đ)
Câu VIII:
1. Giải phương trình: log
2
(3.2
x
-1)= 2x+1
⇔





=+−
>
⇔






=−
>−
+
012.32.2
3
1
2
212.3
012.3
2
12
xx
x
xx
x
đặt t= 2
x
(t>0) (0,5đ)
⇒












=
=
>
⇔





=+−
>
2
1
1
3
1
0132
3
1
2
2
1
2
t
t

t
tt
x
⇒





=
=
2
1
2
12
x
x
⇒



−=
=
1
0
x
x
(phương trình có 2 nghiệm) (0,5đ)
2. Giải a, (H) ⇔
1

3/11
22
=−
yx
đưởng thẳng (∆): kx+3y-1 = 0 tiếp xúc với (H) khi và chỉ khi:
A
2
a
2
- B
2
b
2
= C
2
⇔
2413.
3
1
1.
222
±=⇔=⇔=−
kkk
(0,25đ)
giải b: * Khi k=2 ta có (∆): 2x+3y-1=0 (1)
gọi M
0
(x
0
, y

0
) là tiếp điểm của (∆) và (H) áp dụng công thức phân đôi tọa độ ta có:
(∆): x
0
x-3y
0
y-1 = 0 (2)
Hoàng Hà linh
(thỏa)

A

B

C

D

Hoàng hà linh
so sánh (1) và (2) ta có:
1
1
1
3
3
2
00
=
−
=

−
=
yx
(0,25đ)
⇒



−=
=
1
2
0
0
y
x
⇒ tiếp điểm M
0
(2,
-1)
* khi k=-2 ta có (∆' ): -2x+3y-1=0 (3)
goi M
1
(x
1
, y
1
) là tiếp điểm của (∆') và (H).
theo công thức phân đôi tọa độ ta có:
(∆'): x

1
x- 3y
1
y-1 = 0 (4) (0,25đ)
Từ (3) và (4) ta có:



−=
−=
⇒=
−
−
=
−
=
−
1
2
1
1
1
3
3
2
1
1
11
y
x

yx
⇒ M
1
(-2, -1)
Vậy 2 tiếp điểm là



1)- (-2,M
1)- (2,M
1
0
(0,25đ)
Câu IX
1. Các véc tơ pháp tuyến của 3 mp' (P), (Q), (R) lần lượt là:
),,( CBAn
P
=
→
),,( ACBn
Q
=
→
(0,5đ)
),,( BACn
R
=
→
ta có:
0

=++===
→→→→→→
CABCABnnnnnn
PRRQQP
Vậy 3 mặt phẳng (P), (Q) ,(R) đôi một vuông góc. (0,5đ)
2. c/m: * AB ⊥ mp(BCD)
⇒



⊥
⊥
BDAB
BCAB
hay ∆ABC và ∆ABD vuông tại B.
gt cho ∆BCD vuông tại C và AB⊥(BCD) nên BC là
hình chiếu AC trên (BCD)
theo định lí 3 đường vuông góc ⇒ CD⊥AC
hay ∆ACD vuông tại C.
Câu X
1. Cho a, b, c là 3 cạnh của ∆. cm: a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab+bc+ca)
Giải: Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của ∆ nên:
a,b,c dương và:
Hoàng Hà linh

(0,5đ)
(0,5đ)
Hoàng hà linh





+<
+<
+<
⇒





+<
+<
+<
)3(
)2(
)1(
2
2
2
bcacc
abbcb
acaba
bac

acb
cba
(0,5đ)
cộng vế với vế 3 bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta có:
a
2
+ b
2
+ c
2
<2(ab+bc+ca) (đpcm) (0,5đ)
2. Giải: các chữ số lớn hơn 4 là 5, 6, 7, 8, 9 (0,25đ)
Số các số gồm 5 chữ số lập nên từ các chữ số đó là hoán vị của 5 phần tử. (0,5đ)
Tức là:
P
5
= 5! = 5.4.3.2.1 = 120 (0,25đ)
Đáp số: 120 số

Tài liệu:
* Sách giáo khoa môn toán THPT lớp 10, 11, 12
* Sách tham khảo nâng cao của Bộ giáo dục
* Sách ôn luyện thi tốt nghiệp BT THPT
* Toán nâng cao đại số 10 (NXB Bộ giáo dục)

Hoàng Hà linh