CHUYÊN ĐỀ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TUYỂN TẬP LÍ THUYẾT VÀ CÁC BÀI TẬP CÓ ĐÁP ÁN PHẦN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN DÀNH CHO HỌC SINH LỚP 12 CHO ÔN TẬP THI ĐẠI HỌC.

/>


 !"
#$%&'
()*+

,+-*.
/> />/#$

 !"#$%&'()
*+,-,./0 12
3.456$5)
74 !"#$$1.8&9
./:;2<= 1,7$
>).452"1-?-@$)A
5B$1='70 C.45D1
.45B,2E.4547F
G)B,'(,H)
F7. !I$>)+F
JK+%G9+./>L7
4?8M/0N$$(.:(@K
G=2</ C$5&&6O !4)=
:8+7+/G0*?4 K
F+..::=@/ C?7$+M
-P?9:=@-P2<! !4
:=@+Q45$.. K.
F8B84)HC1 C)+2
R@8N:8:S@- KFT
/> />.45+$, !U:(@+)+2
R)+G-)+)U

&::M:,7.)+:
..2?:K0=)+
 KF$=:84 C
)+@:2"70 C.45
4)+$5-. !B,2</
0 C.454F70 C
,H)2$,.6
,H)>./ 402</
,))+1VWXY:*!
+.1 KF),+ 9$G&+.G
..9F):,1VWXY>
.&,))+27
)119.,.H'*G)
$:=./Z

 !"
#$%&'
()*+

R7)=$K[
/> />
 !"
#$%&'
()*+

%&')*+
'0 
%1
*2345675849:;<=7>?<=7@A=B34CDE<=
R

ABCD
,\\X !\E !
2Z
+2345675849:;<=7>?<=7@A=B3475:F<=
/>\
] R
X E

( )

2 2 2
BC AB AC Pitago= +

. .AH BC AB AC=


2 2
. , .AB BH BC AC CH CB= =


2
2 2 2
1 1 1
, .AH HB HC
AH AB AC
= + =

2
BC
AM =

/>^<*M$++
G^<*M$++
^R,8M4M-$.
/>\
R
]
_
`_G.:M !6∆\]R^
G


\
] R
G

aQ
aG.:M !6

\
] R
G




2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2

2 2 2
2 cos cos
2
2 cos cos
2
2 cos cos
2
b c a
a b c bc A A
bc
a c b
b a c ac B B
ac
a b c
c a b ab C C
ab
+ -
* = + - Þ =
+ -
* = + - Þ =
+ -
* = + - Þ =
/>4^R,8M4 !-$.

2 2 2
2
2 4
AB AC BC
AM
+

* = -
2

2 2 2
2
2 4
BA BC AC
BN
+
* = -
2

2 2 2
2
2 4
CA CB AB
CK
+
* = -
2
G2H<59I@9J7
/>\
] R
#b
E


2
2
/ /

AMN
ABC
AM AN MN
MN BC k
AB AC BC
S
AM
k
S AB
D
D
* Þ = = =
æ ö
÷
ç
÷
* = =
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
`c4MGIcGF K
\
] R
#E
/>K2B6<7I454L@M@=B34
@2B6<7I457@A=B34CDE<=
 dM$.,

GIeMW
,2
N2B6<7I457@A=B34MOD
 dM$.?Z

2 3
4
S
D
=
 R?$.?Z

2 3
2
h
D
=
42B6<7I455P<5CDE<=CQ
5P<545R<5S7
 dMF,GI
/>\
R
]
1
.
2
ABC
S AB AC
D
Þ =

\
]
R
a
h
2
3
4
3
2
ABC
a
S
a
h
D
ì
ï
ï
=
ï
ï
ï
Þ
í
ï
ï
=
ï
ï

ï
î
\ ]
Rd
a
f
2
2
HV
S a
AC BD a
ì
=
ï
ï
ï
Þ
í
ï
= =
ï
ï
î
`^
W
?
`^
?
/>GF K2
 < !TF,

GI7
2
2
 dMFJ
GI472
/> />T2B6<7I455P<575@<=
 dMFZ
g
XF
1
2
=
2`.1h.
GT^?
J2B6<7I4578=B344U5@B
M:F<=45V?CDE<==U4
 dM8.
 !T,
GIeM !
T2
 XF !
T,
/$-$i !2
:DWZM.4M/.
JFK=4jM4M+
/>\
] X R
d
( )
.

2
AD BC AH
S
+
Þ =
\
]
d
R
.
1
.
2
H Thoi
S AC BDÞ =
/>.4M C C4M
.2
%&'
*XD@<6(?<=(?<=
@258<=AB<5M:F<=75Y<=
kk ( )d mp a
CZB
( )
( )d aË
 R8$Z
kk 'd d

' ( )d aÌ
 R8$Z
( )d bÌ


( )
kk( )b a
Gk58<=AB<5
( )
kk( )mp mpa b
 R8$
( )mp a
8 !lL+
+1
( )
mp b
2
 R8$
( )mp a

( )
mp b
H++1V$m
lmH,1V !l2
k58<=AB<55@BM:F<=75Y<=[?<=[?<=Zn45$
.*M+
 X
( )
( ),mp a b
/$g9 C8W !
l++
,a b
F
( )

kk kk( ) Sx a ba bÇ =
2

( )
( )
kk
kk
( )
( )
a mp
b a
a mp
a
a b
b
ì
ï
ï
ï
Þ Ç =
í
ï
Ì
ï
ï
î
2
+XD@<6!DE<=U4
@258<=AB<5M:F<=75Y<=
( )

d mp a^
 R8$
d
,1 !lL
8
( )mp a
2
/> /> R8$Z
( )
kk '
'
d d
d mp a
ì
ï
ï
ï
Þ
í
ï
^
ï
ï
î
( )
d mp a^
 R8$Z
( )
( ) ( )
kk

d mp
mp mp
b
b a
ì
ï
^
ï
ï
Þ
í
ï
ï
ï
î
( )
d mp a^
 X$mlLH,1$ml
8oF->,1$ml
8oZ
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
P
P d P
d
a
b
a b

ì
ï
^
ï
ï
ï
ï
^ Þ ^
í
ï
ï
ï
Ç =
ï
ï
î
N258<=AB<5M:F<=75Y<=
'd d^
 R8$
( )
d a^

( )
'da É
2
 gQ45*'G !,2
 R8OJ
d

'd

GI
0
90
2
4258<=AB<5
( ) ( )
mp mpa b^
 R8$
( )
( )
( ) ( )
d
mp mp
d
a
a b
b
ì
ï
É
ï
ï
Þ ^
í
ï
^
ï
ï
î
`8$$8

V !l,1$:^
 R8OJ$mlGI
0
90
2
G2U4!Q&5?\<=345
@2U4=BR@5@BM:F<=75Y<=
 pG% !lL9 Cq
H K
/> />1 !lZ
ả
ã
kk
kk
'
( , ) ( ', ')
'
a a
a b a b
b b
f
ỡ
ù
ù
ị = =
ớ
ù
ù
ợ

N2U4=BR@M:F<=75Y<=
d
CQA]7^5Y<=
( )
mp a
pG% !lF-&
$ml2
( )
ã
ã
, ( , ')d d da f
ộ ự
= =
ờ ỳ
ờ ỳ
ở ỷ
`1
'd
F,-
d
&
( )mp a
^2
42U4=BR@5@B
( )
mp a
CQ
( )
mp b
pcI$&

u

W-9 CI$&
W$mlH,12
( )
ã
( )
ả
( ); ( , )a ba b f= =
T2&5?\<=43457_A`7MBaAMb<A`7M:F<=75Y<=c
/>

d
'd


a
b
u
M
D
H

a
b
'a
'b
/> p4,qr/$ !
l
( )

,d M MHD =
J2&5?\<=4345=BR@5@BM:F<=75Y<=[?<=[?<=Z
 p:=.r$/$& !l`$m
l^
 !l`$ml^:2
d2&5?\<=4345=BR@A`7M:F<=75Y<=CQA`7A]7^5Y<=
[?<=[?<=
 p:=.r$/$& !l$m
l2
=2&5?\<=4345=BR@5@BM:F<=75Y<=45V?<5@D
 p4,-W !l2
 p:=.EXr$/$E&
d

( )
mp a
8
'd
++1
d
2
/>M
d
'd
M
M
d
/> p:=.J$ml++
( ) ( )
,a b

9 C8
d

'd
2
/>'d
S
A
B
C
H
O
/>K2B<55U^OD
kH<5<=5e@2
EF C)F?M3f9Q
A`7M@=B34MOD4U45g<M:F<=4@?7>h<=CZB7gA
4L@M@=B34M3f2
#TZ
 XF?.$mG&J$.7
GI2R.$mG&1..GI2
 R.G&-F?1$m..
GI2
Gk@B5P<545U^MOD75:F<==]^
* Hnh chp tam gic đu:RF$.?
.S A BC
2bZ
 <.
ABC
$.?2
 R.$mG&.$.7

S
2
 R?Z
SO
2
/>A
B C
D
S
O
H
/> 3JG&$m.Z
·
·
·
SAO SBO SCO= =
2
 3J$mG&$m.Z
·
SHO
2
 M0Z
 
2 1 3
, ,
3 3 2
AB
AO AH OH AH AH= = =
2
 p 'ZXF$.?:.184?2

+ 84?.$m.$.?2
+ 84?F$.?G&
GI.2
* Hnh chp t gic đuZRF$.?
.S ABCD
2
 <.
AB CD
F,2
 R.$mG&.$.7
S
2
 R?Z
SO
2
 3JG&$m.Z
·
·
·
·
SAO SBO SCO SDO= = =
2
 3J$mG&$m.Z
·
SHO
2
/> />.2i34H<5:F<=@?P<55U^
@2P<545U^4UA`74j<5
Nk<CDE<==U4CZBM3fZ
R?-F

4G&,
1.2
!ITlZXF
.S AB C

G&
( )
SA ABC^
F
?
SA
2
N2P<545U^4UA`7A]7Nk<
CDE<==U4CZBA]7M3fZ
R?-F
?-$.8
$mG&,1
.2
!ITlZXF
.S ABCD

$mG&
( )
SAB
,
1$m.
( )
ABCD
F
?-F

?-
SABD
2
42P<545U^4U5@BA]7Nk<
CDE<==U4CZBM3fZ
R?-F
-$mG&
H,1.2
!ITlZXF
.S ABCD

$mG&
( )
SAB

( )
SAD
H,1$m
.
( )
ABCD
F?

SA
2
T2P<545U^MODZ
R?-F
!ITlZXF8.
?
.S ABCD

7$$m
l./$
/>A
B
/>lc7$
-.2
- !TF
,
ABCD
F !

SO
2
m25aI45&5nB@B6<
*25a7I45o5nB45U^Z
1
.
3
V B h=
:B
dM$m.2

:h
R?-:
2
+25a7I45o5nB9p<=7>lZ
/>R
d
g
f

R
\
]
]s
\s Rs
\
]
R
\s
]s
Rs
/>.V B h=
:B
dM$m.2

:h
R?-:
2
p 'Zp@58
?t
G&2
G25a7I455P<55`^45R
<5S7Z
. .V abc=
Þ
5a7I45o5nB9S^
^5:q<=Z
3
V a=
K2r[n75a7I45Z

/>
G




g
\
s
]
s
R
s
\
]
R
/>. ' ' '
.
' ' '
. .
S A B C
S ABC
V
SA SB SC
V SA SB SC
=
.2P<545U^4l7
's"ss'"
( )
' '

3
h
V B B BB= + +
"1
, ',B B h
4M
.?2
""t
5ITl*2Cho hnh chp
.S ABC
c đy là
tam gic vuông tại
·
0
, 30 ,B BAC SA AC a= = =
và
SA
vuông gc với
( )
mp ABC
.Tính th! tích kh#i
chp
.S AB C
và khoảng cch
"QB=B\B75@Ao5\?
M/M:
.S AB C
2
uZ
( )


.
1
. . 1
3
S ABC ABC
V S SA
D
=
uZ
( )
 2SA a=
uF$
ABC
S
D
v
/>g
\
R
]
o
w
w

/>
ABCD
,
B
Z

0
0
0
0
.sin30
sin30
2
3
cos30
.cos30
2
a
BC
B C AC
AC
AB
a
AB AC
AC
ỡ
ỡ
ù
ù
ù
ù
= =
=
ù
ù
ù

ù
ù ù

ớ ớ
ù ù
ù ù
=
= =
ù ù
ù ù
ù
ợ
ù
ợ
( )

2
1 1 3 3
. . . 3
2 2 2 2 8
ABC
a a a
S AB BC
D
ị = = =
u
( ) ( )
2 , 3

( )

2 3
.
1 3 3
1 .
3 8 24
S ABC
a a
V aị = ì =
`^
( )
4
M:=.r
A

( )
mp SBC
2
uZ
( ) ( ) ( )

.
.
3.
1
, . , 5
3
S ABC
S ABC SBC
SBC
V

V d A SBC S d A SBC
S
D
D
ộ ự ộ ự
= ị =
ờ ỳ ờ ỳ
ở ỷ ở ỷ
uF$
SBCD
v
Z
( )
BC AB
B C mp SAB BC SB SBC
BC SA
ỡ
ù
^
ù
ị ^ ị ^ ị D
ớ
ù
^
ù
ợ
,
B
2
2 2

2 2 2 2 2 2
1 1 1 3 3
. . . . .
2 2 2 2 2
SBC
a a
S B C BS AC AB SA AB a a
D
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ị = = - + = - +
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
( )

2
1 7 7
6
2 2 2 8
a a a
= ì ì =
u

( ) ( )
4 , 6

( )
5
( )
3
2
3 8 21
, 3
24 7
7
a a
d A SBC
a
ộ ự
ị = ì ì =
ờ ỳ
ở ỷ
2
5ITl+2Cho hnh chp
.S ABCD
c y
ABCD
l hnh ch
nht c
, 2AB a BC a= =
. Hai
( )
mp SAB

v
( )
mp SAD
c'ng
vuụng gc vi m(t ph)ng y, cnh
SC
hp vi y
mt gc
0
60
. Tớnh th! tớch kh#i chp
.S ABCD
theo
a
.
/> />"QB=B\B75@Ao5\?

( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
SAB ABCD
SAD ABCD SA ABCD
SAB SAD SA
ỡ
ù
^
ù
ù
ù
^ ị ^

ớ
ù
ù
ầ =
ù
ù
ợ
2
ị
XF-
SC
&
( )
mp ABCD

AC
2
( )
ã
ã
0
, 60SC ABCD SCA
ộ ự
ị = =
ờ ỳ
ờ ỳ
ở ỷ
2
EZ
( )

.
1
. 1
3
S ABCD ACBD
V SA S=
2
F$
?SA

SACD
,
A
Z
ã ã
tan .tan
SA
SCA SA AC SCA
AC
= ị =
( )

2 2 0 2 2
.tan60 (2 ) . 3 15 2AB BC a a a= + = + =
2
Z
( )

2

. .2 2 3
ABCD
S AB BC a a a= = =
2

( ) ( )
2 , 3

( )
3
2
1 2 15
1 15 2
3 3
ABCD
a
V a aị = ì ì =
`^2
/>g
\
d
]
R
x
w
w
/>5ITlG2Hnh chp
.S ABC
c
2BC a=

, đy
ABC
là tam gic
vuông tại
,C SAB
là tam gic vuông cân tại
S
và nằm
trong m(t ph)ng vuông gc với m(t đy. Gọi
I
là
trung đi!m cạnh
AB
.
a/ Chng minh rằng, đường th)ng
( )
SI mp ABC^
.
b/ Biết
( )
mp SAC
hợp với
( )
mp ABC
một gc
0
60
. Tính th!
tích kh#i chp
.S ABC

.
"QB=B\B75@Ao5\?
kREZ
( )
SI mp ABC^
 d
SABD
,7
SI


Þ
SI
t! !
SI ABÞ ^
2
 Z
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
SAB ABC
AB SAB ABC SI mp ABC
AB SI SAB
ì
ï
^
ï
ï
ï

= Ç Þ ^
í
ï
ï
^ Ì
ï
ï
î
`$^
GkM/M:
.S AB C
 3)
K
/$-
AC
2
SKÞ
rr !
SAC SK ACD Þ ^
2
 
ABCD
,
C

KI
 !GF2
/>g
\
]

R
y
b
x
w
w
W

/>kkK I BC
KI AC
BC AC
ì
ï
ï
Þ Þ ^
í
ï
^
ï
î
2
 Em:.Z
( ) ( )
·
·
0
( ) ( ) { }
( ) ; 60
( )
mp ABC mp SAC AC

KI AC mp ABC mp SAC mp ABC SKI
SK AC mp SAC
ì
ï
^ =
ï
ï
é ù
ï
Þ ^ Ì Þ = =
í
ê ú
ï ê ú
ë û
ï
^ Ì
ï
ï
î
2
 EZ
( )

.
1
. 1
3
S ABC ABC
V S SI
D

=
 F$
 ?SI

SKID
,
I
Z
· ·
( )

0
1
tan .tan . .tan60 3 2
2
SI
SKI SI IK SKI BC a
IK
= Þ = = =
2
 F$
ABC
S
D
v
( )
2
2 2 2
1 1 1
. . . . . . 2

2 2 2
ABC
S BC AC BC AB BC BC SI BC
D
= = - = -
( )
( ) ( )
 
2
2
2
1
.2 . 2 3 2 2 2 3
2
a a a a= - =
2

( ) ( )
2 , 3

( )
3
2
.
1 2 6
1 .2 2. 3
3 3
S ABC
a
V a aÞ = =

5ITlK2Cho hnh lăng trụ
. ' ' 'ABC A B C
c đy
ABC
là tam
gic đu cạnh bằng
a
. Hnh chiếu vuông gc của
'A
xu#ng
( )
mp ABC
là trung đi!m của
AB
. M(t bên
( )
' 'AA C C
tạo với đy một gc bằng
45
o
. Tính th! tích của kh#i
lăng trụ này2
/> />"QB=B\B75@Ao5\?
3)
, ,H M I
9 C/$
-.l
, ,AB AC AM
2

( )

. ' ' '
. . ' 1
ABC A B C ABC
V B h S A H
D
= =
d
ABCD
?&Z
( )

2 2
. 3 3
2
4 4
ABC
BC a
S
D
= =
2
F$
'A H
v
d
IH
!GF?
AMBD

!
BM
&t !2
dZ
kkIH MB
IH AC
MB AC
ỡ
ù
ù
ị ^
ớ
ù
^
ù
ợ

( )
'
' '
AC A H
AC A HI AC A I
AC IH
ỡ
ù
^
ù
ị ^ ị ^
ớ
ù

^
ù
ợ
EZ
( ) ( )
ã
ã
0
( ) ( ' ') { }
( ) ' ' ; ' 60
' ( ' ')
ABC ACC A AC
AC IH ABC ACC A ABC A IH
AC A I ACC A
ỡ
ù
ầ =
ù
ù
ộ ự
ù
^ è ị = =
ớ
ờ ỳ
ù ờ ỳ
ở ỷ
ù
^ è
ù
ù

ợ
2

'A HID
,
H
Z
( )


0
' 1 3
tan45 ' .tan45 3
2 4
A H a
A H IH IH MB
HI
= ị = = = =
2

( ) ( )
2 , 3

( )
2 3
. ' ' '
3 3 3
1 .
4 4 16
ABC A B C

a a a
Vị = =
2
5ITl.2Cho hnh lng tr ng
. ' ' 'ABC A B C
c y
ABC
l
tam gic vuụng ti
ã
0
, , 60A AC a ACB= =
. ng chộo
'BC
/>\
s
]
s
R
s
\
]
R
E
y
X