đề kiểm tra toán lớp 11 học kì 2 đề số 6

Đề số 6
ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2 – Năm học 2010 – 2011
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
I. Phần chung: (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
a)
x
x
x
3
0
( 2) 8
lim
→
− +
b)
( )
x
x xlim 1
→+∞
+ −
Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm
x
0
1=
:
x x
khi x
f x
x

x khi x
3 ² 2 1
1
( )
1
2 3 1

− −

>
=

−

+ ≤

Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
x
y
x
1
2 1
−
=
+
b)
x x
y
x

2
2
2 1
+ −
=
+
Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, SA ⊥ (ABC), SA =
a 3
.
a) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: BC ⊥ (SAM).
b) Tính góc giữa các mặt phẳng (SBC) và (ABC).
c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
II. Phần riêng
1. Theo chương trình Chuẩn
Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh phương trình:
x x x
4 2
2 4 3 0+ + − =
có ít nhất hai nghiệm thuộc (–1; 1).
Câu 6a: (2,0 điểm)
a) Cho hàm số
x
y
x
3
4
−
=
+
. Tính

y
′′
.
b) Cho hàm số
y x x
3 2
3= −
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm I(1; –2).
2. Theo chương trình Nâng cao
Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh phương trình:
x x
3
3 1 0− + =
có 3 nghiệm phân biệt.
Câu 6b: (2,0 điểm)
a) Cho hàm số
y x x.cos=
. Chứng minh rằng:
x y x y y2(cos ) ( ) 0
′ ′′
− + + =
.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số
y f x x x
3
( ) 2 3 1= = − +
tại giao điểm của
(C) với trục tung.
Hết
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . .

1
ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2010 – 2011
MÔN TOÁN LỚP 11 – ĐỀ SỐ 6
Câ
u
Ý Nội dung
Điểm
1 a)
3 3 2
0 0
( 2) 8 6 12
lim lim
x x
x x x x
x x
→ →
− + − +
=
0,50
2
0
lim( 6 12) 12
x
x x
→
= − + =
0,50
b)
( )
1

lim 1 lim
1
x x
x x
x x
→+∞ →+∞
+ − =
+ +
0,50
= 0 0,50
2
f (1) 5=
(1) 0,25
x x x
x x
f x x
x
1 1 1
3 ² 2 1
lim ( ) lim lim(3 1) 4
1
+ + +
→ → →
− −
= = + =
−
(2) 0,25
x x
f x x
1 1

lim ( ) lim(2 3) 5
− −
→ →
= + =
(3) 0,25
Từ (1), (2), (3) ⇒ hàm số không liên tục tại x = 1
0,25
3 a)
x
y y
x
x
2
1 3
'
2 1
(2 10
−
= ⇒ =
+
+
0,50
b)
x x x x
y y
x
x
2 2
2
2 2 2 5

'
2 1
(2 1)
+ − + +
= ⇒ =
+
+
0,50
4
0,25
a)
Tam giác ABC đều,
,M BC MB MC AM BC∈ = ⇒ ⊥
(1) 0,25
( )
. .SAC SAB c g c SBC∆ = ∆ ⇒ ∆
cân tại S
SM BC⇒ ⊥
(2) 0,25
Từ (1) và (2) suy ra BC ⊥ (SAM)
0,25
b)
(SBC)
∩
(ABC) = BC,
( )
,SM BC cmt AM BC⊥ ⊥
0,50
·
SBC ABC SMA(( ),( ))⇒ =

0,25
AM =
( )
·
3
, 3 tan 2
2
a SA
SA a gt SMA
AM
= ⇒ = =
0,25
c)
Vì BC ⊥ (SAM) ⇒ (SBC) ⊥ (SAM)
0,25
SBC SAM SM AH SAM AH SM AH SBC( ) ( ) , ( ), ( )∩ = ⊂ ⊥ ⇒ ⊥
0,25
d A SBC AH( ,( )) ,⇒ =
0,25
a
a
SA AM a
AH AH
AH SA AM SA AM a
a
2
2
2 2
2
2 2 2 2 2 2

2
3
3 .
1 1 1 . 3
4
5
3
3
4
= + ⇒ = ⇒ = =
+
+
0,25
2
5a
Gọi
f x x x x
4 2
( ) 2 4 3= + + −
⇒
f x( )
liên tục trên R 0,25
f(–1) = 2, f(0) = –3
⇒
f(–1).f(0) < 0 ⇒ PT
f x( ) 0=
có ít nhất 1 nghiệm
c
1
( 1;0)∈ −

0,25
f(0) = –3, f(1) = 4
f f(0). (1) 0⇒ <
⇒ PT
f x( ) 0=
có ít nhất 1 nghiệm
c
2
(0;1)∈
0,25
Mà
1 2
c c≠ ⇒
PT
f x( ) 0=
có ít nhát hai nghiệm thuộc khoảng
( 1;1)−
. 0,25
6a a)
x
y y
x
x
2
3 7
'
4
( 4)
−
= ⇒ =

+
+
0,50
y
x
3
14
"
( 4)
−
⇒ =
+
0,50
b)
y x x
3 2
3= −
y x x k f
2
' 3 6 (1) 3
′
⇒ = − ⇒ = = −
0,50
x y k PTTT y x
0 0
1, 2, 3 : 3 1= = − = − ⇒ = − +
0,50
5b
x x
3

3 1 0− + =
(*). Gọi
f x x x
3
( ) 3 1= − +
⇒
f x( )
liên tục trên R
f(–2) = –1, f(0) = 1
f f( 2). (0) 0⇒ − <
⇒
c
1
( 2;0)∃ ∈ −
là một nghiệm của (*)
0,25
f(0) = 1, f(1) = –1
f f c
2
(0). (1) 0 (0;1)⇒ < ⇒ ∃ ∈
là một nghiệm của (*) 0,25
f f f f c
3
(1) 1, (2) 3 (1). (2) 0 (1;2)= − = ⇒ < ⇒ ∃ ∈
là một nghiệm của (*) 0,25
Dễ thấy
1 2 3
, ,c c c
phân biệt nên PT (*) có ba nghiệm phân biệt 0,25
6b a)

y x x.cos=
⇒
' cos sin " sinx sinx cos " cosy x x x y x x y x x= − ⇒ = − − − ⇒ = −
0,50
x y x y y x x x x x x x x x x2(cos ) ( ) 2(cos cos sin ) ( 2sin cos cos )
′ ′′
− + + = − + + − − + =
0,25
2 sin 2 sin 0x x x x
= − =
0,25
b) Giao điểm của ( C ) với Oy là A(0; 1) 0,25
y f x x x
3
( ) 2 3 1= = − +
⇒
y f x x
2
' ( ) 6 3
′
= = −
0,25
k f (0) 3
′
= = −
0,25
Vậy phương trình tiếp tuyến tại A(0; 1) là
y x3 1= − +
0,25
3