Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên năm học 2013-2014 CHUYÊN TIN CỦA THPT VĨNH PHÚC

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
—————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2013-2014
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Tin
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề.
—————————
Câu 1 (3,0 điểm).
a)
Giải hệ phương trình:
( )
2
2
2 2 0
,
3 0
x xy y
x y
y xy x y
+ − + =
∈
+ −





− =
¡
b)

Giải phương trình:
( )
2 2
3 2 1 6 3 1 2 2 2 1 ,x x x x x x x+ + + − + = + + + + − ∈¡
.
Câu 2 (2,0 điểm).
a) Chứng minh rằng nếu
n

là số nguyên dương thì
( )
2013 2013 2013
2 1 2 n+ + +
chia hết cho
( )
1n n +
.
b) Tìm tất cả các số nguyên tố
,p q
thỏa mãn điều kiện
2 2
2 1p q− =
.
Câu 3 (1,0 điểm). Cho
, ,a b c
là các số thực bất kì. Chứng minh:
( ) ( )
2 2 2
3 .a b c ab bc ca a b b c
+ + − − − ≥ − −

Câu 4 (3,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC,

AB AC
<
và nội tiếp đường tròn
( )
O
. D là điểm đối
xứng với A qua O. Tiếp tuyến với
( )
O
tại D cắt BC tại E. Đường thẳng DE lần lượt cắt các đường
thẳng AB, AC tại K, L. Đường thẳng qua A song song với EO cắt DE tại F. Đường thẳng qua D song
song với EO lần lượt cắt AB, AC tại M, N. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác BCLK nội tiếp.
b) Đường thẳng EF tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác BCF.
c) D là trung điểm của đoạn thẳng MN.
Câu 5 (1,0 điểm). Xét 20 số nguyên dương đầu tiên
1,2,3, ,20.
…
Hãy tìm số nguyên dương
k
nhỏ
nhất có tính chất: Với mỗi cách lấy ra k số phân biệt từ 20 số trên, đều lấy được hai số phân biệt
a
và
b
sao cho
a b+

là một số nguyên tố.
HẾT
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
Họ và tên thí sinh:……………………………………………; SBD:……………………………….
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
———————
(Hướng dẫn chấm có 03 trang)
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2013-2014
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN
Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Tin
—————————
A. LƯU Ý CHUNG
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh
làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó.
B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
Câu Ý Nội dung trình bày Điểm
1
a
Giải hệ phương trình:
( )
2
2
2 2 0
,
3 0
x xy y
x y
y xy x y

+ − + =
∈
+ −





− =
¡
1,5
( )
( )
2
2
2 2 0 1
3 0 2
x xy y
y xy x y

+ − + =


+ − − =


Cộng từng vế các phương trình (1) và (2) ta được:
( ) ( ) ( )
2
2 2

2 3 2 0 3 2 0x y xy x y x y x y
+ + − + + = ⇔ + − + + =
0,50
1
2
x y
x y
+ =

⇔

+ =

+) Nếu
1 1x y y x
+ = ⇔ = −
thay vào (1) ta được
( ) ( )
2
1 2 1 2 0x x x x
+ − − − + =
3 0 0 1x x y
⇔ = ⇔ = ⇒ =
.
0,50
+) Nếu
2 2x y y x
+ = ⇔ = −
thay vào (1) ta được
( ) ( )

2
2 2 2 2 0x x x x
+ − − − + =
1 3
4 2 .
2 2
x x y
⇔ = ⇔ = ⇒ =
0,25
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm
( ) ( )
1 3
; 0;1 , ;
2 2
x y
 
=
 ÷
 
. 0,25
b
Giải phương trình
( )
2 2
3 2 1 6 3 1 2 2 2 1 ,x x x x x x x+ + + − + = + + + + − ∈¡
1,5
Điều kiện xác định
1x
≥
. Khi đó ta có

2 2
3 2 1 6 3 1 2 2 2 1x x x x x x+ + + − + = + + + + −
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 1 6 3 1 2 2 2 1x x x x x x x⇔ + + + − + + = + + + + −
0,50
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 1 3 1 2 1 2 2 6x x x x x x x⇔ + + + − + − + = − + + −
( ) ( )
1 2 1 3 2 1 2 3x x x x x⇔ + + + − − = − + + −
( ) ( )
1 2 x 2 1 3 0x x⇔ + − + + − − =
0,50
*)
( ) ( )
2
2 1 3 0 2 1 2 2 1 9 2 4x x x x x x x x x+ + − − = ⇔ + + − + + − = ⇔ + − = −
2 2
4
2
2 8 16
x
x
x x x x
≤

⇔ ⇔ =

+ − = − +

0,25

*)
1 2 3.x x+ = ⇔ =
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là
{ }
2,3S =
.
0,25
2 a
Chứng minh rằng nếu
n

là số nguyên dương thì
( )
2013 2013 2013
2 1 2 n+ + +
chia hết
cho
( )
1n n +
.
1,0
Nhận xét. Nếu
,a b
là hai số nguyên dương thì
( )
2013 2013
a b a b+ +M
0,25
Khi đó ta có
( ) ( )

( )
( )
( )
( )
2013
2013 2013 2013 2013 2013 2013 2013 2013
2 1 2 1 2 1 1 1n n n n n+ + + = + + + − + + + +M
(1)
0,25
Mặt khác
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2013 2013 2013
2013 2013 2013
2013 2013 2013 2013
2 1 2
1 1 2 2 1 1 2. 2
n
n n n n n
+ + +
= + − + + − + + − + + M
0,25
Do
( )

, 1 1n n + =
và kết hợp với (1), (2) ta được
( )
2013 2013 2013
2 1 2 n+ + +
chia hết cho
( )
1n n +
.
0,25
b
Tìm tất cả các số nguyên tố
,p q
thỏa mãn điều kiện
2 2
2 1p q− =
1,0
Nếu
,p q
đều không chia hết cho 3 thì
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 mod3 , 1 mod3 2 1 mod3p q p q≡ ≡ ⇒ − ≡ −
vô lý. Do đó trong hai số
,p q
phải có một số bằng 3.
0,50
+) Nếu
2 2
3 9 2 1 4 2p q q q= ⇒ − = ⇔ = ⇔ =

. Do đó
( ) ( )
, 3,2p q =
. 0,25
+) Nếu
2 2
3 18 1 19q p p= ⇒ − = ⇔ =
vô lí. Vậy
( ) ( )
, 3,2p q =
. 0,25
3
Cho
, ,a b c
là các số thực bất kì. Chứng minh:
( ) ( )
2 2 2
3 .a b c ab bc ca a b b c
+ + − − − ≥ − −
1,0
Ta có
( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2
3
3 3 3 3
a b c ab bc ca a b b c
a b c ab bc ca ab ac b bc
+ + − − − ≥ − −
⇔ + + − − − ≥ − − +

0,25
2 2 2
4 4 4 2 0a b c ab bc ac
⇔ + + − − + ≥
0,25
( )
2
2 0a c b
⇔ + − ≥
(bất đẳng thức này luôn đúng).
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
2a c b
+ =
.
0,50
4
a Tứ giác BCLK nội tiếp. 1,0
Ta có
·
1
2
ALD =
(sđ
»
AD
- sđ
»
DC
) =
1

2
sđ
»
AC
(1)
0,25
N
M
F
L
E
K
D
O
B
A
C
Lại có:
·
1
2
ABC =
sđ
»
AC
(2) 0,25
Từ (1) và (2) suy ra
·
·
ALD ABC=

0,25
Suy ra
·
·
0
180CLK CBK+ =
, suy ra tứ giác BKLC nội tiếp. 0,25
b Đường thẳng EF tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác BCF. 1,0
Do DE là tiếp tuyến của (O) nên
2
.ED EC EB
=
. 0,25
Mặt khác trong tam giác ADF có O là trung điểm của AD, OE song song với AF nên
E là trung điểm của DF suy ra
ED EF
=
.
0,25
Do đó
2 2
. .ED EC EB EF EC EB
= ⇔ =
. Đẳng thức này chứng tỏ
EF
là tiếp tuyến
của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCF.
0,50
c D là trung điểm của đoạn thẳng MN. 1,0
Do tứ giác BCLK nội tiếp nên

2
. . .EB EC EL EK ED EL EK
= ⇒ =
(1). 0,25
Do MN || AF nên theo định lí Talet ta có
,
DM KD DN LD
AF KF AF LF
= =
(2). 0,25
Do đó để chứng minh
DM DN
=
ta sẽ chứng minh
KD LD
KF LF
=
. Thật vậy:
. .
KD LD
KD LF LD KF
KF LF
= ⇔ =
( ) ( ) ( ) ( )
EK ED ED EL ED EL EK ED⇔ − + = − +
0,25
2 2
. . . . . .EK ED EK EL ED ED EL ED EK ED EL EK EL ED
⇔ + − − = + − −
2

.ED EL EK
⇔ =
(luôn đúng do (1)). Do đó
KD LD DM DN
DM DN
KF LF AF AF
= ⇔ = ⇔ =
hay D là trung điểm của MN.
0,25
5
Xét 20 số nguyên dương đầu tiên
1,2,3, ,20.
…
Hãy tìm số nguyên dương
k
nhỏ nhất
có tính chất: Với mỗi cách lấy ra k số phân biệt từ 20 số trên, đều lấy được hai số
phân biệt
a
và
b
sao cho
a b+

là một số nguyên tố.
1,0
Xét tập hợp
{ }
2,4,6,8,10,12,14,16,18,20
, ta thấy tổng của hai phần tử bất kì của tập

hợp này đều không phải là số nguyên tố.
Do đó
11k
≥
, ta sẽ chứng minh
11k
=
là số nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán.
0.25
Thật vậy, ta chia tập hợp
{ }
1,2,3, ,20A
=
thành
10
cặp số sau:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1,2 , 3,16 , 4,19 , 5,6 , 7,10 , 8,9 , 11,20 , 12,17 , 13,18 , 14,15
.
Tổng của hai số trong mỗi cặp số trên là số nguyên tố.
0.50
Khi đó mỗi tập con của
A
có 11 phần tử thì tồn tại ít nhất hai phần tử thuộc cùng
vào một trong 10 cặp số trên. Suy ra trong
A
luôn có hai phần tử phân biệt có tổng là
một số nguyên tố.
0.25
Hết