Đề thi HSG trường quynh lưu 1 2011

A. Phn chung: ( 16,0 im)
Bi I ( 5,0 im)
Cho phng trỡnh:
( )
2
4 2( 2) 1 0m x m x m + =
(1)
1. Tỡm m phng trỡnh cú mt nghim duy nht.
2. Khi (1) cú 2 nghim
1 2
,x x
. Tỡm m nguyờn dng nh nht sao cho tớch hai nghim l mt s
nguyờn .
Bi II (6,0 im)
1. Gii phng trỡnh:
2 3
2 6 4 3 8x x x
+ = +
. (1)
2. Gii h phng trỡnh sau :
2
2
1
1
1
y 1
x y
y
x
x

+ = +




+ = +


Bi III(2,0 im). Cho cỏc s dng
, , : 3.a b c ab bc ca+ + =

Chng minh rng:
2 2 2
1 1 1 1
.
1 ( ) 1 ( ) 1 ( )a b c b c a c a b abc
+ +
+ + + + + +
Bi IV (3,0im)
Cho tam giỏc ABC cú trng tõm G. Gi A
1
, B
1
, C
1
ln lt l hỡnh chiu vuụng gúc ca G xung cnh
BC, AC, AB. Chng minh rng:
2 2 2
1 1 1
. . . 0a GA b GB c GC+ + =

uuur uuur uuuur r
. (Vi a=BC, b=AC, c=AB).
B. Phn riờng: ( 4,0 im)
Bi Va. (Dnh cho ban khoa hc t niờn).
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC có diện tích bằng
3
2
, A(2; - 3), B(3; - 2).
Trọng tâm G ca tam giác ABC thuộc đờng thẳng (d) có phơng trình: 3x- y- 8 = 0. Tính bán kính đờng
tròn nội tiếp tam giác ABC.
Bi Vb. (Dnh cho ban khoa hc c bn).
Trong mt phng vi h to Oxy cho tam giỏc ABC cú din tớch bng 2 v ng thng AB cú
phng trỡnh x-y=0. Bit rng im I(2;1) l trung im ca on thng BC, tỡm to trung im K
ca on thng AC.
Ht
S GIO DC V O TO NGH AN
TRNG THPT QUNH LU 1
THI HC SINH GII LP 10 NM 2011
Mụn thi: TON
Thi gian lm bi: 150 phỳt, khụng k thi gian phỏt
.
ĐÁP ÁN –THANG ĐIỂM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10 NĂM HỌC 2011
MÔN:TOÁN
Họ và tên thí sinh:………………………… ; Số báo danh:…………………………………
Bài ý Nội dung
Điểm
I(5,0
đ)
1.

(2,0đ)
Tìm m để phương trình có một nghiệm duy nhất
TH1:
4m
=
:
3
(1) 4 3 0
4
x x⇔ − + = ⇔ =
, (Thỏa mãn)
0,5
TH2:
4:m
≠
PT (1) có nghiệm duy nhất khi
,
0 0m∆ = ⇔ =
1,0
Vậy với
0, 4m m= =
thì phương trình (1) có nghiệm.
0,5
2.(3,0
đ)
Tìm m nguyên dương nhỏ nhất sao cho tích hai nghiệm là một số nguyên
PT (1) có 2 nghiệm
1 2
,x x
khi

0m
≥
,
4m
≠

1,0

Theo viet: P=
1 2
1 3
1 ,
4 4
m
x x
m m
−
= = +
− −
P Z
∈
khi
3
4
Z
m
∈
−
4 1; 4 1; 4 3; 4 3m m m m⇔ − = − = − − = − = −
5; 3; 7; 1m m m m⇔ = = = =

Vậy m nguyên dương nhỏ nhất thỏa mã là: m=1
0,5
0,5
0,5
0,5
II(6,0đ
)
1.
(3,0đ)
Giải phương trình
ĐK:
2x ≥ −
.
( )
( ) ( )
( )
2 2
(1) 2 2 4 2 2 3 2 2 4x x x x x x⇔ − + − + = + − +

2 2
2 2
2 3 2 0
2 4 2 4
x x
x x x x
+ +
⇔ + − =
− + − +
Đặt
2

2
, 0
2 4
x
t t
x x
+
= ≥
− +
.
Phương trình trở thành
2
2, ( )
2 3 2 0
1
2
t loai
t t
t
= −


+ − = ⇔

=

.
Với
1
2

t =
: Phương trình đã cho có nghiệm
3 13x = ±
.
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
2.
(3,0đ)
Giải hệ phương trình:
Điều kiện:
, 0x y ≠
Hệ đã cho tương đương với hệ:
2 2 2 2
1 1
2 2 2 2
y 1 ( - ) -
x y y y x y y y
x x x xy x y y x y x
 
+ = + + = +
 
⇔
 
 
+ = + + = −
 

2 2
1
( - )( 1) 0
x y y y
x y x y xy


+ = +
⇔

+ + − =


Chú ý: Các cách giải khác đúng thì vẫn cho điểm.
Hết