Đề thi HSG trường Quỳnh lưu 1 2010

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10 NĂM 2010
Môn thi: TOÁN
TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU 1
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề.


A. Phần chung: ( 18,0 điểm)
Bài I ( 6,0 điểm)
Cho phương trình:
()
(1)
2
42(2)1mx m x m−+−+−=0
1. Tìm m để phương trình có nghiệm.
2. Khi (1) có 2 nghiệm
12
,
x
x . Tìm a sao cho biểu thức M=(
1
x
a
−
)(
2
x
a
−
) không phụ thuộc vào m.
Bài II (6,0 điểm)

1. Giải phương trình
2
2221
x
xx−= −.
2. Tìm để hệ phương trình sau có nhiều hơn hai nghiệm :
m
()
22
2
22 (1
4 (2)
xy m
xy
⎧
+= +
⎪
⎨
+=
⎪
⎩
)
Bài III ( 2,0 điểm)
Tìm m, n để biểu thức
2
1
mx n
P
x
+

=
+
, đạt giá trị lớn nhất bằng 4 và giá trị nhỏ nhất bằng -1.
Bài IV (4,0 điểm)
1. Trong hệ trục tọa độ (Oxy) cho đường tròn (T) có phương trình:
22
222xy xy 0
+
−+−=và đường thẳng

(): 2 2 1 0xyΔ++=
, cắt (T) tại B và C.
()Δ
Tìm tọa độ điểm A thuộc (T) sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất.
2. Cho tam giác ABC, gọi là độ dài các đường phân giác trong và S là diện tích của tam giác ABC. , ,
abc
lll
Chứng minh rằng nếu thì , , 1
abc
lll<
3
3
S <
.
B. Phần riêng: ( 2,0 điểm)
Bài Va. (Dành cho ban khoa học tự niên).
Cho
,,
x
yz

là ba số thực dương thỏa mãn
1
x
yz
=
. Chứng minh rằng ta luôn có:

333
111
()()()xyz yxz zx y
3
2
+
+≥
+++
.(1)
Bài Vb. (Dành cho ban khoa học cơ bản).
Cho là ba số thực dương thỏa mãn
,,abc
1abc
=
. Chứng minh rằng ta luôn có:

222
3
2
abc
bc ac ab
+
+≥

+++
.
Hết

Họ và tên thí sinh:………………………… ; Số báo danh:…………………………………


ĐÁP ÁN –THANG ĐIỂM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10 NĂM HỌC 2010
MÔN:TOÁN
Bài ý Nội dung Điểm

Tìm m để phương trình có nghiệm.
1.(3,0đ) I(6,0 đ)
4m =
:
3
(1) 4 3 0
4
xx⇔−=⇔=
, (Thỏa mãn)

1,0



4:m ≠
PT (1) có nghiệm
,
00m

Δ
≥⇔ ≥
,(
4)m
≠


1,0


Vậy với thì phương trình (1) có nghiệm.
0m ≥ 1,0


2.(3,0 đ)
Tìm a sao cho biểu thức M=(
1
x
a
−
)(
2
x
a
−
) không phụ thuộc vào m.

Với , : PT (1) có 2 nghiệm
0m ≥ 4m ≠
12
,
x
x .
Suy ra: M=(
1
x
a− )(
2
x
a
−
)=
2
12 1 2
()
x
xaxx a
−
++
, (*)
0,5
0,5

0,5
12 1 2
2(2 ) 1
,
44
mm
xx x x
mm
−
−
=+=
−
−


Theo viet:


0,5
2
2(2 ) (1 )
44
mm
aa
mm
−

−
−
+
−−

Thay vào (*) ta có: M=


0,5
2
34
2
4
a
aa
m
−
−++
−

=

4
340
3
Mm a a∉⇔ −=⇔=
0,5

Giải phương trình

II(6,0đ)
1.(3,0đ)

Đk:
1
2
x ≥

Pt ⇔
()
2
11221
x
x−−= −
. Đặt
21 1,( 1xyy)
−
=− ≥


2
(1)21
y
x⇒− =−
0
Ta có hệ phương trình:
2
2
2
()()

(1)21
(1)21
(1)21
xyxy
yx
yx
xy
−
+=
⎧
−=−
⎧
⎪
⇔
⎨⎨
−
=−
−=−
⎪
⎩
⎩


1,0



22
0
22()

(1)21 420
22 22
xy
xy x y
y loai
yxyy
yx
=
⎧
−= =
⎪
⎧⎧
⎡
⇔⇔
=−
⎨⎨⎨
⎢−=− −+=
⎩⎩
⎪
=+ ⇒=+
⎢
⎣
⎩


•
1,0


•

2
(1)21
2
2
x
yx
yxy
=− =−
⎧⎧
⇔
⎨
−=− =−
⎩⎩
y
⎨
, hệ vô nghiệm.

1,0
22x =+
KL: Phương trình có một nghiệm là
.
Tìm để hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt
m

2.(3,0đ)
1m <−
0,5

: Hệ vô nghiệm

1m ≥− 2( 1)Rm=+
: Các điểm thỏa mãn (1) là đường tròn tâm O bán kính
1,0
Các điểm thỏa mãn (2) nằm trên 2 đường thẳng:



12
: 2 và : 2xy xyΔ+= Δ+=−
0,5
Theo tính chất đối xứng nên
,
1
Δ
2
Δ
cùng là tiếp tuyến hoặc cùng không phải là tiếp
tuyến.


1
(, )dO R
⇔
Δ<Vì vậy hệ có nhiều hơn 2 nghiệm
1,0
0m
⇔
>

KL: .
0m >
Tìm m, n


III(2,0đ)




0,5










0,5




0,5

0,5


.•D=R


2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
(4)0
(1)0
(4 4)0
(1)0
[4( )+ ]0
816
[( ) ] 0
24
16( 4) 0
4( 1) 0
16
3
4, 3

4, 3
ax
m, n
min
ax
min
ax
min
{
{
{
{
{
[
R
R
R
R
R
R
P
P
xmxn
xmxn
m
x
m
x
mn
mn

m
n
mn
mn
m
ycbt Tim
m
m
−=
+=
−++−=
+++=
Δ
−− =
Δ
+−=
Δ= + − =
Δ= − + =
=
=
=− =
==
⇔⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔

Tìm tọa độ điểm A

1.(2,0đ)



IV



0,5

Ta có:
22
( ) ( 1) ( 1) 4 (1; 1), R=2Tx y I⇔−++ =⇒ −

1
(,).
2
SdAB=Δ

C
, BC=const

0,5
Do đó S lớn nhất khi và chỉ khi
(,)dA
Δ
lớn nhất.


,
()
Δ
Lập phương trình đường thẳng , đi qua tâm I(1;-1):
20xy−−=

12
(1 2; 2 1), (1 2; 1 2 )AA+−−−−
cắt (T) tại
,
()Δ
0,5
12
53
(,) , (,)
22
dA dA A AΔ= Δ= ⇒ ≡

1

0,5
(1 2; 2 1)A +−

Vậy



2. (2,0đ)
Chứng minh rằng nếu , , 1
abc
lll
<
thì
3
3
S <
.




•Nếu tam giác ABC có ba góc nhọn. Giả sử góc B lớn nhất, khi đó .
0
60 90
o
B≤<
,1 ,
3
S=

2sin 3
ac a b
ab
Do l l h h
hh
1
B
<⇒ <
⇒<






1,0

•Nếu một trong các góc của tam giác không nhọn, giả sử góc B.

1,0
1, 1
111
S= . . . . . .
222
a
AB l BC lc
BA BC SinB BA BC
≤< ≤<
⇒≤<
Suy ra

3
3
<






Chứng minh bất đẳng thức
(2,0đ
)
Va( 2đ)



111
, , , , 0 và abc=1abcabc
xyz
===⇒>
Đặt:





222
3
2
abc

bc ac ab
+
+≥
+++

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
0,5

2
2
2
4
4
4
abc
a
bc
bac
b
ac
cab
c
ab
+
+
≥
+
+
+
≥

+
+
+
≥
+


0,5
Áp dụng BDT Côsi ta có :







222
1
()
2
abc
abc
bc ac ab
+
+≥++
+++

Cộng vế với vế ta có:

0,5

0,5
3
33abc abc
+
+≥ =
Áp dụng BDT Côsi cho a, b, c ta có:

222
3
2
abc
bc ac ab
⇒++≥
+++
. Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1.
Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh, và dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1.


Vb(2,0)
2
2
2
4
4
4
abc
a
bc

bac
b
ac
cab
c
ab
+
+
≥
+
+
+
≥
+
+
+
≥
+
0,5


Áp dụng BDT Côsi ta có :






222
1

()
2
abc
abc
bc ac ab
+
+≥++
+++
0,5
Cộng vế với vế ta có:




3
33abc abc
+
+≥ =
Áp dụng BDT Côsi cho a, b, c ta có:

0,5

222
3
2
abc
bc ac ab
⇒++≥
+++
. Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1.

0,5
Chú ý: Các cách giải khác đúng thì vẫn cho điểm.






Hết