THIẾT KẾ HỆ THỐNG KIỂM TRA CÁC QUAN HỆ HÌNH HỌC TRONG 3D

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG
KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
***o0o***
KĨ THUẬT ĐỒ HỌA
Đề Tài: THIẾT KẾ HỆ THỐNG KIỂM TRA CÁC QUAN HỆ
HÌNH HỌC TRONG 3D
Giảng viên hướng dẫn : Trịnh Vân Anh
Nhóm sinh viên thực hiện :
Lớp:
Hà nội ngày 02-12-2010
Đề tài: Thiết kế hệ thống kiểm tra các quan hệ hình học trong 3D
MỤC LỤC
PHẦN I: GIỚI THIỆU.........................................................................................................3
I.SƠ LƯỢC VỀ HỆ THỐNG KIỂM TRA CÁC QUAN HỆ HÌNH HỌC.........................3
II.GIỚI THIỆU SƠ LƯỢC NGÔN NGỮ THỂ HIỆN ĐỀ TÀI.........................................3
1.Sơ lược ngôn ngữ....................................................................................................................3
2.Giới thiệu các hàm của ngôn ngữ được sử dụng...................................................................4
PHẦN II: NỘI DUNG.......................................................................................................10
I.LÝ THUYẾT CƠ SỞ TOÁN HỌC..............................................................................10
1.Giới thiệu về vector:.............................................................................................................10
2.Các phép tính vector:............................................................................................................11
II.CÁC ĐỐI TƯỢNG HÌNH HỌC VÀ SỰ TƯƠNG QUAN TRONG 3D.....................24
1.Các đối tượng hình học cơ bản:............................................................................................24
2.Sự tương quan giữa các đối tượng hình học:.......................................................................24
3.Kiểm tra sự tương quan giữa các đối tượng hình học:.........................................................24
III.CÁC THUẬT TOÁN KIỂM TRA SỰ TƯƠNG QUAN GIỮA CÁC ĐỐI TƯỢNG
HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN 3D.......................................................................25
1.Các phép biến hình 3 chiều...................................................................................................25
2.Biểu diễn đối tượng 3D........................................................................................................27
3.Quan sát vật thể 3D qua hệ tọa độ quan sát.........................................................................29
4.Kiểm tra quan hệ Điểm - Đường thẳng ..............................................................................32

5.Kiểm tra quan hệ Điểm - Mặt phẳng...................................................................................33
6.Kiểm tra quan hệ Đường thẳng - Mặt phẳng .....................................................................35
7.Kiểm tra quan hệ Đường thẳng - Đường thẳng..................................................................38
8.Kiểm tra quan hệ Mặt phẳng - Mặt phẳng .........................................................................41
9.Kiểm tra tính đồng phẳng của đa giác..................................................................................43
10. Tính thể tích hình lăng trụ.................................................................................................44
11.Tính thể tích hình chóp.......................................................................................................44
12.Tính thể tích hình nón.........................................................................................................44
PHẦN III: THIẾT KẾ CHƯƠNG TRÌNH........................................................................45
I.THIẾT KẾ GIAO DIỆN THỰC HIỆN KIỂM TRA CÁC QUAN HỆ HÌNH HỌC......45
II.MỘT SỐ KIỂU DỮ LIỆU ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG CHƯƠNG TRÌNH...............45
III.CÁCH TỔ CHỨC CÁC HÀM TRONG OPENGL 3D .............................................46
1.Những hàm được sử dụng trong lớp CkiemTra3Dview......................................................46
2.Những hàm được sử dụng trong lớp CkiemTra3Ddoc........................................................48

KĨ THUẬT ĐỒ HỌA Trang 2
Đề tài: Thiết kế hệ thống kiểm tra các quan hệ hình học trong 3D
PHẦN I: GIỚI THIỆU
PHẦN I: GIỚI THIỆU
I. SƠ LƯỢC VỀ HỆ THỐNG KIỂM TRA CÁC QUAN HỆ HÌNH
HỌC
Nhiệm vụ thực hiện của đề tài:
Thiết kế hệ thống kiểm tra các quan hệ hình học trong không gian ba chiều (3D)
Với ngôn ngữ thể hiện trên môi trường Visual C++.
Để dễ dàng hơn chúng em xin trình bày một ví dụ điển hình như sau:
Ví dụ: cho đường thẳng a qua hai điểm A và B và đường thẳng b qua hai điểm C và D
trong không gian 3D thì hai đường thẳng này cũng có những sự tương quan với nhau,
như trùng nhau, cắt nhau với một góc nào đó, chéo nhau hay song song…Sau khi đưa vào
những điều kiện giả thiết ban đầu (Input), thì chương trình thực hiện và đưa ra kết quả
kiểm tra (output) của giả thiết trên là hai đường thẳng a và b đã tương quan như thế nào

với nhau? Cắt nhau một góc bao nhiêu độ, song song, hay trùng nhau...
Đó là về mặt thuật toán chương trình kiểm tra, đây chỉ mới là một tác vụ thực hiện
của vấn đề này. Với bài toán như trên nếu chỉ đưa ra được những kết luận với những
dòng thông điệp thì chúng ta thấy rằng đề tài trở nên quá đơn giản không phong phú và
hấp dẫn qua ý kiến của người đọc hoặc tham khảo. Một tác vụ cùng đồng thời với bài
toán trên mà nhiệm vụ của đề tài yêu cầu thực hiện là khi đưa vào giả thiết bài toán chẳng
hạn hai điểm A và B với những tọa độ xác định nào đó, qua hai điểm này sẽ thực hiện vẽ
lên một đoạn thẳng qua hai điểm A và B. Từ đó thấy vấn đề một cách trực quan hơn, hay
vẽ ra góc giữa hai đường thẳng, chính với những thể hiện này đề tài trở nên hấp dẫn
phong phú hơn, tất nhiên vấn đề này không ít những khó khăn cho người thực hiện đề
tài.
II. GIỚI THIỆU SƠ LƯỢC NGÔN NGỮ THỂ HIỆN ĐỀ TÀI
1. Sơ lược ngôn ngữ
Ở phần I giới thiệu sơ lược về “THIẾT KẾ HỆ THỐNG KIỂM TRA CÁC QUAN
HỆ HÌNH HỌC TRONG 3D“, chúng em đã trình bày một ví dụ về yêu cầu nhiệm vụ để
thực hiện một tác vụ kiểm tra vấn đề nào đó của đề tài này. Để thực hiện những vấn đề đó
chúng em nghiên cứu và thực hiện trên môi trường ngôn ngữ Visual C++.
Visual C++ là một phần mềm lập trình hướng đối tượng được phát triển trên cơ sở là
ngôn ngữ lập trình C và C++. Ở đây chúng em thể hiện đề tài trên ngôn ngữ Visual C++.
Và phần tìm hiểu chính là phần thực hiện yêu cầu của đề tài, cụ thể là về phương diện
tính toán trong những thuật toán và thể hiện trực quan bằng đồ hoạ máy tính trên ngôn
ngữ Visual C++.
KĨ THUẬT ĐỒ HỌA Trang 3
Đề tài: Thiết kế hệ thống kiểm tra các quan hệ hình học trong 3D
Trong Visual C++ phần đồ họa được thể hiện trong lớp CDC (Class Device Context)
với nhiều hàm thành viên hỗ trợ cho việc vẽ điểm, đường, đa giác, tô màu…. Đặc biệt
hơn trong ngôn ngữ Visual C++ có sự hỗ trợ cho việc vẽ các đối tượng hình học bằng
chuột. Nhưng ngôn ngữ chỉ thực hiện được với các đối tượng hình học 2D, đối tượng
hình học 3D thì chưa có, cần phải tự thiết kế.
Trong quá trình nghiên cứu, chúng em nhận thấy trong ngôn ngữ Visual C++ có bộ

thư viện OPENGL là một thư viện API hỗ trợ cho việc thực hiện các chương trình đồ
họa, trên cả 2D và 3D rất mạnh, chính vì thế ở phần kiểm tra các quan hệ hình học phần
3D này chúng em thực hiện trên OPENGL. Sau khi nghiên cứu và hiểu được những yếu
tố cơ bản của OPENGL chúng em có nhận xét rằng OPENGL là một ứng dụng để thực
hiện các chương trình đồ họa máy tính hấp dẫn và đẹp mắt. Khi đã cài được thì cách sử
dụng có phần dễ dàng hơn, chỉ cần tìm hiểu một số các hàm trong thư viện các hàm thành
viên của OPENGL là đáp ứng được yêu cầu. Còn mọi việc thực hiện cài đặt theo lý
thuyết đồ họa máy tính như các phép biến hình, thiết lập chế độ màn hình, khởi tạo đồ
họa, setviewport, tạo các Pallette màu, thiết lập độ sâu hình ảnh, độ phản chiếu hình ảnh,
độ tương phản … tất cả do OPENGL hỗ trợ hầu hết.
OpenGL được định nghĩa là “giao diện phần mềm cho phần cứng đồ họa ”. Thực
chất, OpenGL là một thư viện các hàm đồ họa, được xem là tiêu chuẩn thiết kế công
nghiệp cho đồ họa ba chiều.
Với giao diện lập trình mạnh mẽ, OpenGL cho phép tạo các ứng dụng 3-D phức tạp
với độ tinh vi, chính xác cao, mà người thiết kế không phải đánh vật với các núi công
thức toán học và các mã nguồn phức tạp. Và do OpenGL là tiêu chuẩn công nghiệp, các
ứng dụng tạo từ nó dùng được trên các phần cứng và hệ điều hành khác nhau.
Nhận xét về OPENGL chúng em thấy rằng OPENGL là thư viện đồ họa trên
WINDOWS bởi vì ta có thể thấy rằng OPENGL không những thực hiện trên ngôn ngữ
Visual C++ mà còn có thể cho phép thực hiện trên cả Visual Basis , Borland C++
2. Giới thiệu các hàm của ngôn ngữ được sử dụng
a) Các hàm của lớp CDC (Class Device Context)
Trong CDC có rất nhiều hàm thành viên phục vụ cho quá trình kết xuất các hình ảnh ra
các thiết bị. Trong phần thực hiện đề tài, tôi xin đưa ra các hàm được sử dụng trong đề tài
 Vẽ điểm:
SetPixel ( int x , int y , int color );
Hàm này thuộc lớp CClientDC trong phần màu sử dụng macro RGB(red,green,blue)
Ví dụ: Để vẽ một điểm, ta thực hiện như sau:
CClientDC dc( this );
dc.SetPixel (100,100,GRB(0,0,0);

KĨ THUẬT ĐỒ HỌA Trang 4
Đề tài: Thiết kế hệ thống kiểm tra các quan hệ hình học trong 3D
Để thể hiện tọa độ một điểm trong hệ trục tọa độ hai chiều, Visual C++ dùng lớp CPoint,
đối tượng thuộc lớp này được thể hiện bởi hai thành phần x và y. Ví dụ ta khai báo điểm
point như sau:
CPoint point
point.x=100;
point.y=100;
 Vẽ đường thẳng:
Line (int x1, int y1, int x2, int y2);
Hàm này thuộc lớp CClientDC
Ví dụ: Để vẽ đường thẳng ta thực hiện các bước sau đây
CClientDC dc(this);
dc.Line(x1,y1,x2,y2);
Ngoài ra trong việc vẽ đường thẳng còn có thể sử dụng hai hàm sau:
MoveTo(int x, int y);
Hàm này dùng để di chuyển con trỏ đến tọa độ x,y trong màn hình.
LineTo(int x, int y);
Hàm này dùng để vẽ đường thẳng từ điểm hiện hành đến điểm x, y.
Cả hai hàm này đều thuộc lớp CClientDC, việc sử dụng như sau:
CClientDC dc(this);
dc.MoveTo(x,y);
dc.LineTo(newx, newy);
 Vẽ hình chữ nhật:
Rectangle(int x1,int y1,int x2,int y2);
Hàm này thuộc lớp CclientDC. Dùng để vẽ hình chữ nhật có tọa độ trên góc trên trái là
(x1,y1) và tọa độ góc dưới phải là (x2,y2). Cú pháp vẽ hình chữ nhật như sau:
CClientDC dc(this);
dc.Rectangle(x1, y1, x2, y2);
 Vẽ hình Ellipse:

Ellipse(int x1,int y1,intx2,int y2);
Hàm này có các tham tương tự các tham số hình chữ nhật, hàm này cũng thuộc lớp
CClientDC. Cú pháp vẽ hình Ellipse như sau:
CClientDC dc(this);
KĨ THUẬT ĐỒ HỌA Trang 5
Đề tài: Thiết kế hệ thống kiểm tra các quan hệ hình học trong 3D
dc.ellipse(int x1, int y1, intx2, int y2);
 Hàm loan vùng kín:
FloodFill(int x,int y, int color);
Hàm này dùng để tô màu vùng được giới hạn bởi một đường biên khép kín. Hàm này
thuộc lớp CClientDC có tác dụng tô màu với màu color tô hết vùng có tọa độ (x,y) và
một vùng kín bao quanh điểm đó. Cú pháp hàm như sau:
CClientDC dc(this);
dc.FloodFill(x, y, color);
 Tạo các đường vẽ:
CreatePen(typeline, width, color);
Để tạo đường vẽ trong các ứng dụng vẽ ta xét hàm CreatePen của lớp Cpen, hàm này có
dạng như sau:
Cpen *pPen=new Cpen;
pPen->CreatePen(typeline, width, color);
Trong đó :
• Tham số typeline là kiểu đường vẽ, nó có giá trị được định nghĩa như sau:
PS-SOLID Đường thẳng đồng nhất.
PS-DASH Đường thẳng gồm các gạch ngang đứt nét.
PS-DOT Đường thẳng gồm các nét chấm đứt.
PS-DASDOT Đường thẳng gồm các gạch ngang chấm đứt.
PS-DASHDOTDOT Đường thẳng gồm các gạch ngang chấm đứt.
PS-NULL Đường thẳng vô hiệu lực không vẽ ra.
PS-INSIDEFRAME Đường thẳng nằm bên trong đường viền.
• Tham số width cho độ rộng của nét vẽ tính bằng pixel.

• Tham số color cho màu vẽ
b) Các hàm trong bộ thư viện OpenGL
OpenGL gồm 5 bộ hàm, bộ hạt nhân có 115 hàm cơ bản. Tên các hàm này bắt đầu
bằng GL. Windows NT hỗ trợ 4 chủng loại hàm khác, bao gồm thư viện OpenGL
utility(tên hàm bắt đầu bằng GLU), thư viện OpenGL auxiliary(tên hàm bắt đầu bằng
AUX), bộ hàm”WGL” (tên hàm bắt đầu bằng WGL), và các hàm WIN32 API (tên hàm
không có tiền tố đặc biệt). Bộ hàm hạt nhân cho phép thiết kế các hình dạng khác nhau,
tạo các hiệu quả chiếu sáng, kết hợp antialiasing và gán cấu trúc, thực hiện biến đổi ma
trận…
Do các hàm cơ bản được thể hiện ở nhiều dạng khác nhau tùy thuộc vào loại dữ liệu
mà chúng tiếp nhận, nên trên thực tế có hơn 300 nguyên mẫu (prototype) các hàm cơ bản.
 Thư viện OpenGL utility gồm các hàm cao cấp. Các hàm này đơn giản hoá
việc sử dụng hình ảnh cấu trúc, thực hiện việc biến đổi tọa độ mức cao, hỗ trợ tesselation
đa giác, và biểu diễn các đối tượng có cơ sở đa giác như hình cầu, hình trụ hình dĩa.
KĨ THUẬT ĐỒ HỌA Trang 6
Đề tài: Thiết kế hệ thống kiểm tra các quan hệ hình học trong 3D
 Thư viện OpenGl auxiliary gồm các hàm đặc biệt dùng đơn giản hóa các ví dụ
lập trình trong sách chỉ dẫn lập trình OpenGL. Các hàm phụ thuộc platform này thực hiện
các nhiệm vụ như quản ký cửa sổ, điều khiển xuất/nhập, vẽ các đối tượng 3D nhất định.
Do các hàm này có mực đích thiết minh nên không được dùng trong các mã sản xuất.
 Các hàm “WGL”kết nối OpenGL với WINdows NT, cho phép người lập trình
xây dựng và chọn lựa các ngữ cảnh biểu diễn, tạo các bitmap font, các hàm này chỉ dùng
trên Windows NT.
 Cuối cùng, các hàm Win32 API được dùng giải quyết các định dạng điểm ảnh
và tạo bộ đệm đôi.
Trong phần này, tôi trình bày một số hàm được sử dụng trong đề tài.
 Hàm vẽ điểm, đường, đa giác:
Được bắt đầu bởi hàm:
glBegin (Glenum mode)
Để chỉ sự bắt đầu những đỉnh của một primitive, tham số mode chỉ kiểu các primitive.

Tham số mode có các giá trị sau:
 GL_POINTS : chỉ đỉnh được sử dụng là điểm.
 GL_LINES : chỉ những đỉnh được dùng để tạo đoạn thẳng.
 GL_LINE_STRIP : chỉ những đỉnh được sử dụng tạo đoạn thẳng nhẵn.
 GL_TRIANGLES : những đỉnh được sử dụng tạo ra những tam giác.
 GL_TRIANGLE_STRIP : những đỉnh được sử dụng tạo ra tam giác có
cạnh nhẵn.
 GL_POLYGON : những đỉnh được sử dụng tạo ra đa giác lồi.
glEnd ( )
Hàm trên dùng để chấm dứt danh sách các đỉnh mà nó chỉ rõ primitive được khởi tạo bởi
hàm glBegin.
Ví du: Vẽ đường thẳng từ 2 điểm
glBegin(GL_LINES)
glVertex3f(0.0f, 0.0f, 0.0f);
glVertex3f(50.0f, 50.0f, 50.0f);
glEnd( );
 Hàm chỉ ra tọa độ của điểm, đường, đa giác:
glVertex2f (Glfloat x,Glfloat y)
glVertex3f (Glfloat x,Glfloat y,Glfloat z)
 Hàm biến đổi tọa độ:
• glLoadIdentity(); thay thế ma trận hiện hành bởi ma trận đơn vị.
• glMultMatrix(); nhân ma trận hiện hành với ma trận được chỉ định.
KĨ THUẬT ĐỒ HỌA Trang 7
Đề tài: Thiết kế hệ thống kiểm tra các quan hệ hình học trong 3D
• gl PopMatrix(void); lấy ma trận hiện hành từ stack.
• glPushMatrix(void); đẩy ma trận hiện hành vào stack.
• glTranslatef (Glfloat x, Glfloat y, Glfloat z); nhân ma trận hiện hành bởi ma
trận tịnh tiến.
• gl Rotatef(Glfloat Angle, Glfloat x, Glfloat y, Glfloat z); nhân ma trận hiện hành
bởi ma trận quay.

 Các hàm liên quan đến màu:
• glColor3f (Glfloat red, Glfloat green, Glfloat blue); đặt màu hiện hành bởi các
thành phần red, green, blue với giá trị từ 0,0 đến 1,0.
• glClearColor(GLclampf red, GLclamp green, Glclamp blue, Glclamp alpha); đặt
màu cho việc xóa buffer màu.
• glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT); xóa buffer màu, xóa cửa sổ bởi màu xóa
hiện hành .
 Các hàm liên quan đến ánh sáng:
• glLightf(Glenum light, Glenum pname, GLfloat param);
• glLighti(Glenum light, Glenum pname, GLint param);
Trong đó:
 Tham số light chỉ ra nguồn sáng có giá trị từ GL_LIGHT0 đến GL_LIGHT7.
 Tham số pname chỉ ra tham số light nào được lập như GL_AMBIENT,
GL_DIFFUSE…
 Tham số param chỉ có ý nghĩa đối với nguồn sáng điểm. Tham số này có các
giá trị như: GL_SPOT_EXPONENT, GL_SPOT_CUTOFF…
 Các hàm liên quan đến thuộc tính ánh sáng của vật liệu:
• glColorMaterialf(Glenum face,Glenum pname, GL float param);
• glMateriali(Glenum face,Glenum pname, GL int param);
• glMaterialfi(Glenum face,Glenum pname, const Glint* params);
• glMaterialfi(Glenum face,Glenum pname, const Glint* params);
Trong đó:
 face: là thuộc tính bề mặt trước ,sau của đa giác.
 pname: là thuộc tính của vật liệu: GL_AMBIENT,GL_DIFFUSE,…
 param : chỉ định giá trị mà tham số pname được lập.
 params: chỉ định dãy số nguyên hay thực chứa các thành phần thuộc tính được
lập.
• glFrontFace(Glenum mode); xác định bề mặt đa giác là mặt trước hay sau.
KĨ THUẬT ĐỒ HỌA Trang 8
Đề tài: Thiết kế hệ thống kiểm tra các quan hệ hình học trong 3D

KĨ THUẬT ĐỒ HỌA Trang 9
Đề tài: Thiết kế hệ thống kiểm tra các quan hệ hình học trong 3D
PHẦN II: NỘI DUNG
PHẦN II: NỘI DUNG
Trong phần giới thiệu chúng em trình bày những nội dung sơ lược mang tính tổng
quát của đề tài. Phần nội dung tôi trình bày chi tiết hơn theo thứ tự logic các vấn đề từ lý
thuyết toán học đến các thuật toán chương trình.
I. LÝ THUYẾT CƠ SỞ TOÁN HỌC
Các lý thuyết cơ sở toán học được sử dụng cho thuật toán trong đề tài “THIẾT KẾ
HỆ THỐNG KIỂM TRA CÁC QUAN HỆ HÌNH HỌC TRONG 3D“ bao gồm:
• Hình học giải tích trong mặt phẳng
• Hình học giải tích trong khơng gian.
Phần lý thuyết cơ sở toán học này rất cần thiết cho việc thiết kế chương trình thực hiện
việc kiểm tra các quan hệ hình học, không gian vector l cơ sở lý thuyết toán học tất yếu
để xây dựng các cấu trúc đồ họa máy tính.
1. Giới thiệu về vector:
Điểm (point): Mô tả các vị trí của đồ hình và có nhiều cách để diễn đạt. Trong hai
chiều biểu diễn bằng cách dùng bộ-2 để cho các tọa độ theo hai trục. Hai dạng thường
được áp dụng nhiều đó là dạng Cartesian như (x,y) =(3,4) hay dạng tọa độ cực (R,
θ)=(2.4,45
0
).
Trong khi chúng được định nghĩa một cách đại số theo các thao tác nhất định trên đó,
chúng cũng cho phép một diễn dịch hình học theo các điểm, đường, chiều.
Vector: Nhìn một cách hình học, vector là một đoạn thẳng mà các điểm đầu và
điểm cuối đã được xác định . Vector là một đối tượng có độ dài và chiều tương ứng với
một số thực thể vật lý như lực, khoảng cách, và vận tốc. Vector thường được vẽ như một
mũi tên có chiều dài chỉ về một hướng.
Khi vector được chọn để chỉ định hệ tọa độ, các vector có một hàm số để đưa ra hai hằng
số, ba hằng số,... Vì thế, một trong các thể hiện của một vector hai chiều a là một cặp có

thứ tự a=(a
x
, a
y
). Trong chương trình, vector được biểu diễn bằng kiểu dữ liệu:
Typedef struct
{
dx,dy: float;
} vector;
struct
{
dx,dy,dz : float;
KĨ THUẬT ĐỒ HỌA Trang 10
b
a+b
a
a+b
b
a
Đề tài: Thiết kế hệ thống kiểm tra các quan hệ hình học trong 3D
} vector3D

Với hai điểm P
1
(x
1
,y
1
) và P
2

(x
2
,y
2
) ta định nghĩa vector v với các thành phần là
vector v =(x
2
-x
1
, y
2
-y
1
). Đôi khi vector này được ghi là P
1
P
2
và gọi là vector từ P
1

đến
P
2
. Bản thân vector không bị buộc vào một vị trí, mặc dù để dễ hình dung thường vẽ
chúng xuất phát từ một điểm. Với điểm bất kỳ P = (P
x
, P
y
) trong một hệ tọa độ, vector đi
từ gốc tọa độ với các tọa độ v=(P

x
, P
y
) được gọi là vector vị trí cho P. Vector 3D cũng
rất quan trọng trong đồ họa.
2. Các phép tính vector:
Một vector n chiều, với n là số nguyên dương bất kỳ:
W=(W1,W2,. . .,Wn)
với mỗi thành phần Wi là số vô hướng.
Các vector 2 chiều và 3 chiều với n=2, n=3 thì thường gặp nhất trong đồ hoạ, chúng ta
không thể thấy được các vector lớn hơn 3 nhưng chúng là những thành phần có giá trị rất
lớn.
Hai phép tính số học cơ bản trên vector là cộng hai vector và định tỷ lệ một vector.
 Cộng hai vector
Tổng hai vector a,b là vector c được định nghĩa như sau:
C = (c
1
, c
2
, …, c
n
) = (a
1
+ b
1
, a
2
+ b
2
, …, a

n
+ b
n
)
KĨ THUẬT ĐỒ HỌA Trang 11
x
P
2
v
P
4
P
3
v
P
1
y
P
5
Hình a
Hình b
a
a-c
c
-c
Đề tài: Thiết kế hệ thống kiểm tra các quan hệ hình học trong 3D
Hình a: Các thành phần của tổng là tổng các thành phần của các vector tham gia.
Hình b: Tổng các vector là đường chéo hình bình hành.
Procedure AddVectors ( vector a, vector b; vector &c );
{

c.dx := a.dx + b.dx;
c.dy := a.dy + b.dy;
}
 Định tỷ lệ một vector
Việc định tỷ lệ một vector nhằm thay đổi độ dài của hay đảo chiều của nó.
sa = (sa
1
, sa
2
, …, sa
n
)
Với s là hệ số tỷ lệ và a là vector. Khi s âm, chiều của s ngược lại với a.
Procedure Scalar(real s; vector a; vector &b)
{
b.d
x
= s
∗
a.d
x
;
b.d
y
= s
y
a.d
y
;
}

 Phép trừ hai vector:
Trên cơ sở cộng và định tỷ lệ, phép trừ dễ dàng định nghĩa:
a-c = a +(-c)
với thành phần thứ i là ai-ci.
KĨ THUẬT ĐỒ HỌA Trang 12
Đề tài: Thiết kế hệ thống kiểm tra các quan hệ hình học trong 3D
 Trị tuyệt đối (độ dài) của vector
Nếu một vector W được thể hiện trong không gian nhiều chiều (W
2
, W
2
, …, W
n
),
dựa theo định lý Pithagore ta có công thức sau:
)...(
22
2
2
1 n
WWWW +++=
Vector có độ dài bằng zero thường được gọi là vector 0. Chương trình con minh họa như
sau: Function Length(vector v): Real;
•
Chuẩn hóa vector -Vector đơn vị
Việc định tỷ lệ một vector để kết qủa có độ dài bằng 1 gọi là chuẩn hoá một
vector, và kết qủa gọi là vector đơn vị. Ví dụ dạng chuẩn hoá u
a
của a như sau:
u

a
= a / | a|
và có cùng chiều với a.
Biểu thức cho hệ số của vector có thể khai báo trực tiếp như sau:
Normalize(vector v, vector &u);
Nó có dạng vector đơn vị u do các hệ số mỗi thành phần của v:
u.d
x
:= v.d
x
/Length(v);
u.d
y
:= v.d
y
/Length(v);
 Tổ hợp tuyến tính của vector:
Để hình thành tổ hợp tuyến tính của hai vector V và W, định tỷ lệ mỗi vector theo các
tỷ số a và b rồi cộng kết qủa để thành vector mới av+bw.
Tổng quát, tổ hợp tuyến tính của m vector V
1
, V
2
, …, V
m
như sau:
W = a
1
V
1

+ a
2
V
2
+ …+ a
m
V
m
Procedure Combo2D(float a,b vector u,v ,vector &W );
{
w.dx:=a*u.dx+b*v.dx;
w.dy:=a*u.dy+b*v.dy;
}
KĨ THUẬT ĐỒ HỌA Trang 13
Đề tài: Thiết kế hệ thống kiểm tra các quan hệ hình học trong 3D
• Tổ hợp lồi của vector
Một lớp đặc biệt của tổ hợp tuyến tính có vị trí quan trọng trong toán học và ứng
dụng số học trong đồ họa, đó là:Tổ hợp lồi (convex combination), hay tổ hợp tuyến tính
mà các hệ số không âm và tổng bằng 1. Vậy tổ hợp tuyến tính:
W = a
1
V
1
+ a
2
V
2
+ … +a
m
V

m
là tổ hợp lồi nếu tổng
∑
i
a
=1và a
i
≥
0, và cung “spline” thực ra là tổ hợp lồi của
một tập các vector.
 Tích vô hướng của hai vector:
Tích vô hướng của hai vector cho ta thông tin đáng giá về một cặp vector như góc giữa
chúng (cụ thể là khi nào chúng vuông góc) và chiếu vector lên vector khác. Nó cũng cho
ta phương trình của một mặt phẳng mô tả bằng một điểm và hai vector.
Cho hai vector, ví dụ hai chiều (a
1
,a
2
) và (b
1
,b
2
).
Tích vô hướng hai vector định nghĩa là:
a.b = a
1
b
1
+ a
2

b
2
Một cách tổng quát cho vector n chiều như sau: Cho Vector V= (v
1
, v
2
, …, v
n
) và
W=( w
1
, w
2
, …, w
n
), tích vô hướng của hai vector trên là:
V. W =
i
i
V
∑
W
với i = 1,… ,n
Tích vô hướng của hai vector được thể hiện trong thủ tục sau:
Procedure Float Dot (vector a,b)
{
return Dot = a.d
x
* b.d
x

+ a.d
y
* b.d
y
;
}
• Các tính chất của tích vô hướng
1. Đối xứng : a.b = b.a
2. Tuyến tính: (a+c).b = a.b + c.b
3. Đồng nhất : (sa).b = s(a.b)
4. | b
2
| = b.b
KĨ THUẬT ĐỒ HỌA Trang 14
Đề tài: Thiết kế hệ thống kiểm tra các quan hệ hình học trong 3D
Độ dài của hiệu và tổng hai vector được cho như sau:
|a - b|
2
= |a|
2
- 2ab + |b|
2
|a + b|
2
= |a|
2 +
2ab + |b|
2

Các ứng dụng của tích vô hướng:

a. Góc giữa hai vector (hay hai đường)
Đây là ứng dụng quan trọng của tích vô hướng. Hình a dưới cho thấy góc θ giữa
hai vector a và b. Các vector này có thể có hai, ba, hay nhiều chiều. Chúng tạo thành
hai cạnh của tam giác, và cạnh thứ ba là a-b. Theo hệ thức lượng trong tam giác, ta có :
| a-b|
2
= |a|
2
+ |b|
2
- 2 |a||b|cos(θ)
Từ phương trình này và phương trình
| a-b|
2
= |a|
2
- 2ab + |b|
2
ta suy ra được: a.b = |a||b| cos(
θ
)
Nghĩa là cos(
θ
) = u
a
.u
b
Vậy cosin của góc giữa hai vector a và b là tích vô hướng của dạng chuẩn hóa hai
vector.
∗ Dấu cuả vector a.b và sự trực giao

Ta biết rằng
cos(
ϕ
) >0 nếu
ϕ
< 90
0
cos(
ϕ
) <0 nếu
ϕ
> 90
0
cos(
ϕ
) =0 nếu
ϕ
= 0
Do vậy từ phương trình:

cos(
ϕ
) = u
a
.u
b

KĨ THUẬT ĐỒ HỌA Trang 15
a
b

Hình a
a.b>0 a.b=0 a.b<0
a
a
a
b
b
b
c
a
e
b
x
y
Đề tài: Thiết kế hệ thống kiểm tra các quan hệ hình học trong 3D
ta có góc giữa hai vector như sau:


Nhỏ hơn 90
o
nếu a.b >0

Bằng 90
0
nếu a.b = 0

Lớn hơn 90
o
nếu a.b < 0
b. Chiếu và phân tích vector:

Hình trên ta phân tích a thành c theo chiều vector b và e. Theo cách này vector c
gọi là chiếu trực giao của a lên b. Rõ ràng c có cùng chiều với b, ta còn phải tính độ lớn |
c|.
Theo phương trình a.b = |a||b|cos(
ϕ
) và hệ thức lượng tam giác ta có

phương trình:
|c| = |a|
( )
ba
ba.
= a.u
b
(*)
Như thế độ dài của c chỉ phụ thuộc vào độ dài của a. Bây giờ ta hình thành vector
c, bằng cách thêm chiều của b.
c = |c|.u
b

Sau đó, kết hợp với phương trình (*) trên ta có:
c = ( a.u
b
)u
b
c =
a.b
b

|b|

2

Ví dụ: trong hai chiều, chiếu của a = (6,4) lên b = (1,2) như hình dưới
KĨ THUẬT ĐỒ HỌA Trang 16
Đề tài: Thiết kế hệ thống kiểm tra các quan hệ hình học trong 3D
Hình chiếu của c nằm dài hơn b kể từ gốc, từ phương trình trên ta có độ dài của
c là (2.8, 5.6), vector e = a-c = (3.2, -1.6 ).
c. Dạng điểm chuẩn cho đường và mặt phẳng
Dạng điểm chuẩn cho đường và cho mặt phẳng dùng nhiều trong đồ họa như việc cắt
loại bỏ đường bị che và tô đa giác.
Xét đường L đi qua điểm A = (Ax ,Ay) theo chiều vector c = (cx ,cy), ta có vector
n vuông góc với vector c nghĩa là c.n = 0, cũng có nghĩa là c
x
.n
x
+ c
y
.n
y
=0, hay:
cy / cx = -nx / ny
Điều kiện n trực giao với c cho ta suy ra n có thể là bội số bất kỳ của (c
x
, c
y
), có
hai chiều đối nhau. Để có phương trình cho đường L, xét điểm bất kỳ R = (x,y) trên L.
Vector R phải vuông góc với n, nên n.(R-A) = 0. Ta có thể viết lại như sau: nR=nA,
nhưng không thể nhân điểm với vector được. Ta thay vector R bằng r đi từ gốc và thay A
bằng a. Như vậy, các tính toán đều phụ thuộc vào việc chọn gốc tọa độ, còn phương trình

đường thẳng vẫn phụ thuộc vào gốc không có gì thay đổi. Như vậy ta có:
n.r = D Với D = n.a = n
x
Ax + n
y
Ay
Đây là phương trình điểm chuẩn cho đường. Phương trình này có thể viết dạng quen
thuộc như sau:
n
x
x + n
y
y = D
• Mở rộng dạng điểm cho mặt phẳng
Các mặt phẳng cũng có thể biểu diễn ở dạng chuẩn điểm. Một mặt phẳng hoàn
toàn được xác định với một điểm S = (s
x
, s
y
, s
z
) nằm trong đó và hướng chuẩn của mặt
phẳng. Chuẩn cho mặt phẳng được hiểu là vuông góc với mọi đường trong mặt phẳng.
Gọi hướng chuẩn là n= (n
x
, n
y
, n
z
). Với điểm R= (x, y, z) bất kỳ trong mặt phẳng, xây

dựng vector từ R đến S, vuông góc với n.
KĨ THUẬT ĐỒ HỌA Trang 17
A
c
n
L
cn
x
y
Đề tài: Thiết kế hệ thống kiểm tra các quan hệ hình học trong 3D
n.(R-S) = 0
Thay R-S bằng r -s và dùng tính tuyến tính, ta được:
n.r = D với D = n.s
Đây là phương trình điểm chuẩn của mặt phẳng. Mọi điểm trên mặt phẳng có cùng tích
vô hướng với chuẩn. Nghĩa là mọi điểm có cùng hình chiếu lên n.
Phương trình mặt phẳng P thường viết là: Ax + By + Cz = D
Tư tích vô hướng của phương trình ta thấy rằng dạng điểm chuẩn thực ra là:
n
x
X + n
y
Y + n
z
Z = D
Với A = n
x
, B = n
y
, và C = n
z

. Điều này cho thấy (A, B, C) là chiều chuẩn của mặt
phẳng.
Điểm trên mặt gần gốc nhất là điểm chiếu vuông góc của gốc lên mặt. Như vậy nó tỉ lệ
với n, gọi là Kn, nên khoảng cách là| Kn |. Vì Kn nằm trên mặt nên n. (Kn)=D.
d. Kiểm tra nửa không gian trong và ngoài của một điểm
Xét điểm Q, giả sử đường E đi qua điểm A và có chuẩn hướng ra n như hình vẽ:
Góc
ϕ
giữa n và Q -A < 90
0
, nếu Q nằm phía ngoài, vì vậy tích n.(Q - A) > 0.
Tương tự, góc
ϕ
sẽ lớn hơn 90
0
nếu Q nằm phía trong, vì vậy n.(Q -A) < 0. Cuối cùng,
ϕ
= 90
0
nếu Q nằm trên E, và n .(Q - A) = 0. Nếu thay Q -A bằng vector q - a và gọi đặt
KĨ THUẬT ĐỒ HỌA Trang 18
S
n
ϕ
n
E
A
inside
E
Đề tài: Thiết kế hệ thống kiểm tra các quan hệ hình học trong 3D

a.n = D, thì đường E được cho bởi phương trình n.p = D, và ta viết lại thủ tục kiểm tra
điểm Q với vector biểu diễn q sẽ nằm:
1. Ở nửa không gian phía ngoài của E nếu q.n > D.
2. Trên E nếu p.n = D.
3. Ở nửa không gian phía trong của E nếu q.n < D.
• Mở rộng cho mặt phẳng
Giả sử mặt P qua điểm A và có vector chuẩn hướng ra n thì điểm Q sẽ:
1. Ở nửa không gian phía ngoài của P nếu T=(q-a).n > 0
2. Trên P nếu (q-a).n=0
3. Ở nửa không gian phía trong của P nếu (q-a).n<0.
e. Cắt đường thẳng với cửa sổ lồi
Ta dùng kiểm tra trong-ngoài để xây dựng công cụ cắt hữu hiệu với cửa sổ là đa giác
lồi bất kỳ. Cửa sổ W chứa một đa giác lồi cùng với đường thẳng L từ P
1
tới P
2
. Ta muốn
xác định phần thấy của L nằm trong W. Đa giác lồi nên phần trong cửa sổ được định
nghĩa là vùng nằm ở nửa không gian phía trong của mỗi cạnh của W. Đoạn L được kiểm
tra đối với mỗi cạnh của W, và phần nằm ở nửa không gian phía ngoài được loại ra. Sau
khi mọi cạnh đã được kiểm tra, phần còn lại của L sẽ nằm trong W.Ta biểu diễn L ở dạng
tham số:
P(t) = P
1
+ ct với c = P
2
- P
1
.
KĨ THUẬT ĐỒ HỌA Trang 19

w
L
P
P
2