đề thi Toán - TS 10 Vĩnh Phúc 2013-2014

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
—————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2013-2014
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Dành cho tất cả các thí sinh
Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề.
—————————
Câu 1 (2,0 điểm). Cho biểu thức
( )
3
1
: 1
1
x
P x x
x
 
+
= − −
 ÷
+
 
, với
1, 1x x≠ ≠ −
.
a) Rút gọn biểu thức
P
.
b) Tìm tất cả các giá trị của
x

để
2
7P x= −
.
Câu 2 (2,0 điểm).
a) Giải hệ phương trình:
2 3
1
1
3 1
4
1
x y
x y

− = −

−



+ =

−

b) Giải phương trình:
1 2 3 4
99 98 97 96
x x x x+ + + +
+ = +

Câu 3 (2,0 điểm). Cho phương trình
2
(2 1) 2 0x m x m− − + − =
, (x là ẩn, m là tham số).
a) Giải phương trình đã cho với
1.m =
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm và tổng lập
phương của hai nghiệm đó bằng 27.
Câu 4 (3,0 điểm).
Cho đường tròn
( )
O
và điểm
M
nằm ngoài
( )
O
. Từ điểm
M
kẻ hai tiếp tuyến
,MA MC
(
,A C
là các tiếp điểm) tới đường tròn
( )
O
. Từ điểm
M
kẻ cát tuyến
MBD

(
B
nằm giữa
M
và D,
MBD không đi qua
O
). Gọi
H
là giao điểm của
OM
và
AC
. Từ
C

kẻ đường thẳng song song với
BD
cắt đường tròn
( )
O
tại E (E khác C), gọi
K
là giao điểm của
AE
và
BD
. Chứng minh:
a) Tứ giác
OAMC

nội tiếp.
b) K là trung điểm của BD.
c) AC là phân giác của góc
·
BHD
.
Câu 5 (1,0 điểm). Cho các số thực dương
, ,a b c
thỏa mãn
2 2 2
1a b c+ + =
. Chứng minh:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
1 1 1
ab c bc a ca b
ab bc ca
ab c bc a ca b
+ + +
+ + ≥ + + +
+ − + − + −
HẾT
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
Họ và tên thí sinh:……………………………………………; SBD:……………………………….
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
———————
(Hướng dẫn chấm có 03 trang)
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2013-2014

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN
Dành cho tất cả các thí sinh
—————————
A. LƯU Ý CHUNG
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh
làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó.
B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
Câu Ý Nội dung trình bày Điểm
1
Cho biểu thức
( )
3
1
: 1
1
x
P x x
x
 
+
= − −
 ÷
+
 
, với
1, 1x x≠ ≠ −
.
a Rút gọn biểu thức

P
. 1,0
( )
( )
( )
2
1 1
: 1
1
x x x
P x x
x
 
+ − +
 ÷
= − −
 ÷
+
 
0,50
( )
( )
2
2 1 : 1x x x= − + −
0,25
1x= −
. Vậy
1P x= −
. 0,25
b

Tìm tất cả các giá trị của
x
để
2
7P x= −
. 1,0
Theo phần a) ta có
( )
2 2
7 1 7 1P x x x= − ⇔ − = −
0,50
( )
2
2
1 6 0
3
x
x x
x
= −

⇔ − − = ⇔

=

. KL các giá trị của x cần tìm là:
2
3
x
x

= −


=

0,50
2 a
Giải hệ phương trình:
2 3
1
1
3 1
4
1
x y
x y

− = −

−



+ =

−

1,0
Điều kiện xác định:
0, 1x y≠ ≠

. Đặt
1 1
,
1
a b
x y
= =
−
0,25
Thay vào hệ đã cho ta được
2 3 1 2 3 1 11 11 1
3 4 9 3 12 2 3 1 1
a b a b a a
a b a b a b b
− = − − = − = =
   
⇔ ⇔ ⇔
   
+ = + = − = − =
   
0,50
1 1
1 1 2
x x
y y
= =
 
⇔ ⇔
 
− = =

 
. Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là
( ) ( )
; 1;2x y =
.
0,25
b
Giải phương trình:
1 2 3 4
99 98 97 96
x x x x+ + + +
+ = +
1,0
Để ý rằng
99 1 98 2 97 3 96 4+ = + = + = +
nên phương trình được viết lại về dạng
1 2 3 4
1 1 1 1
99 98 97 96
x x x x+ + + +
+ + + = + + +
(1)
0,50
Phương trình (1) tương đương với
( )
100 100 100 100 1 1 1 1
100 0 100
99 98 97 96 99 98 97 96
x x x x
x x

+ + + +
 
+ = + ⇔ + + − − = ⇔ = −
 ÷
 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
100.x = −
0,50
3
Cho phương trình
2
(2 1) 2 0x m x m− − + − =
, (x là ẩn, m là tham số).
a Giải phương trình khi
1.m
=
1,0
Khi
1m
=
phương trình có dạng
2
1 0x x− − =
0,25
Phương trình này có biệt thức
2
( 1) 4 1 ( 1) 5 0, 5∆ = − − × × − = > ∆ =
0,25
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
1

1 5
2
x
−
=
và
2
1 5
2
x
+
=
0,50
b Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm và tổng lập
phương của hai nghiệm đó bằng 27.
1,0
Phương trình đã cho có biệt thức
[ ]
2
2 2
(2 1) 4 1 ( 2) 4 8 9 4( 1) ,5 0m m m m m m∆ = − − − × × − = − + = − + > ∀
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt
1 2
,x x
với mọi giá trị của tham số m.
0,25
Khi đó, theo định lý Viét:
1 2 1 2
2 1, 2x x m x x m+ = − = −
Ta có

3 3 3 3 2
1 2 1 2 1 2 1 2
( ) 3 ( ) 8 18 21 7x x x x x x x x m m m+ = + − + = − + −
0,25

3 3 3 2 2
1 2
27 8 18 21 34 0 ( 2)(8 2 17) 0x x m m m m m m+ = ⇔ − + − = ⇔ − − + =
(1) 0,25
Do phương trình
2
8 2 17 0m m− + =
có biệt thức
4 4 8 17 0
∆ = − × × <
nên
(1) 2m⇔ =
Vậy
2m =
.
0,25
4
a
Tứ giác
OAMC
nội tiếp. 1,0
Do MA, MC là tiếp tuyến của (O) nên
·
·
0

, 90OA MA OC MC OAM OCM⊥ ⊥ ⇒ = =
0,50
·
·
0
180OAM OCM⇒ + = ⇒
Tứ giác OAMC nội tiếp đường tròn đường kính OM. 0,50
b
K là trung điểm của BD.
1,0
Do CE // BD nên
·
·
AKM AEC=
,
·
·
AEC ACM=
(cùng chắn cung
»
AC
)
· ·
AKM ACM⇒ =
. Suy ra tứ giác AKCM nội tiếp.
0,50
Suy ra 5 điểm M, A, K, O, C cùng thuộc đường tròn đường kính OM
⇒
·
0

90OKM =

hay OK vuông góc với BD. Suy ra K là trung điểm của BD.
0,50
c
AH là phân giác của góc
·
BHD
.
1,0
B
K
E
H
C
A
OM
D
Ta có:
2
.MH MO MA=
,
2
.MA MB MD=
(Do
,MBA MAD∆ ∆
đồng dạng)
. .MH MO MB MD
⇒ =

,MBH MOD⇒ ∆ ∆
đồng dạng
·
·
BHM ODM⇒ =
⇒
tứ giác
BHOD nội tiếp
⇒

·
·
MHB BDO=
(1)
0,25
Tam giác OBD cân tại O nên
·
·
BDO OBD=
(2) 0,25
Tứ giác BHOD nội tiếp nên
·
·
OBD OHD=
(3) 0,25
Từ (1), (2) và (3) suy ra
·
·
·
·

MHB OHD BHA DHA= ⇒ = ⇒
AC là phân giác của góc
·
BHD
.
0,25
5
Cho các số thực dương
, ,a b c
thỏa mãn
2 2 2
1a b c+ + =
. Chứng minh:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
1 1 1
ab c bc a ca b
ab bc ca
ab c bc a ca b
+ + +
+ + ≥ + + +
+ − + − + −
1,0
Do
2 2 2
1a b c+ + =
nên ta có
( ) ( )

2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
1
2
ab c ab c ab c ab c
ab c a b c ab c a b ab
ab c a b ab
+ + + +
= = =
+ − + + + − + +
+ + +
0,25
Áp dụng bất đẳng thức
( )
, , 0
2
x y
xy x y
+
≤ >
( ) ( )
( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
2 2
2

2 2
a b c
c a b ab
ab c a b ab a b c
+ +
+ + +
⇒ + + + ≤ ≤ = + +
0,25
( ) ( )
( )
2 2 2
2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 1
1
2
ab c ab c ab c
ab c
ab c a b c
ab c a b ab
+ + +
⇒ = ≥ = +
+ − + +
+ + +
Tương tự
( )
2
2

2
2
2 2
1
bc a
bc a
bc a
+
≥ +
+ −
và
( )
2
2
2
2
2 3
1
ca b
ca b
ca b
+
≥ +
+ −
0,25
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1), (2), (3) kết hợp
2 2 2
1a b c+ + =
ta có bất đẳng
thức cần chứng minh. Dấu “=’’ khi

1
3
a b c= = =
.
0,25
Hết