De thi vao lop 10 Vinh Phuc 2013-2014

Đề thi vào lớp 10 Vinh Phúc 2012-2013
Đề thi vào lớp 10 Vinh Phúc 2012-2013
Đề bài của đề :
Cho x,y là các số thực thỏa mãn x
2
+ y
2
=1.Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn
nhất của biểu thức M =
3
xy + y
2
Lời giải
* Nếu y =0 thì M = 0
* Nếu y
0≠
đặt x=ty ,khi đó ta có :
t
2
y
2
+ y
2
= 1 và
3
ty
2
+ y
2
= M
Chia vế với vế hai đẳng thức trên ta được :

t
2
+ 1/
3
t + 1 = 1/M
⇔
Mt
2
–
3
t + M – 1=0 (*)
Phương trình cuối này là phương trình bậc hai vởi ẩn là t ,tham số là M
- Nếu M = 0 thì t = -
1
3
Nếu M
0≠
. Để phương trình này có nghiệm thì
0∆ ≥
.
Tức là (-
3
)
2
- 4.A.(A-1)
0
≥
hay 4A
2
- 4A - 3

0
≤
hay (A -
3
2
)(A +
1
2
)
0
≤

Hay (A -
3
2
)
0
≤
và (A +
1
2
)
0
≥
hoặc (A -
3
2
)
0
≥

và (A +
1
2
)
0
≤
Hay
1 3
2 2
A− ≤ ≤
hoặc A
3
2
≥
và A
1
2
≤ −
(vô lí)
Vậy:
* GTLN của A =
3
2
khi phương trình(*) có nghiệm kép t
1
= t
2
= 1/
3
hay

x = 1/
3
y hay x =
1
2
và y =
3
2
hoặc x =-
1
2
và y =-
3
2
*GTNN của A =
1
2
−
khi phương trình(*) có nghiệm kép t
1
= t
2
= -
3

hay x = -
3
y hay x =-
3
2

và y =
1
2
hoặc x =
3
2
và y = -
1
2
************************************
Tôi xin giới thiệu cách giải bài này với việc sử lại đôi chút của đề thi vào lớp 10
Vĩnh Phúc năm học 2012 – 2013 ,bài này xứng tầm thi vào Đại học –Cao
đẳng.Tôi tin chắc ngay cả học sinh khá giỏi lớp 12 nhiều em sẽ gặp khó khăn.
Đề bài :
Cho x,y là các số dương và x
2
+ y
2
=1.Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
của biểu thức A =
3
xy + y
2
Lời giải
Vì x,y dương nên y
≠
0 nên đặt x=ty ,khi đó ta có :
t
2
y

2
+ y
2
= 1 và
3
ty
2
+ y
2
= A
Chia vế với vế hai đẳng thức trên ta được :
t
2
+ 1/
3
t + 1 = 1/A
⇔
At
2
–
3
t + A – 1=0 (*)
Phương trình cuối này là phương trình bậc hai vởi ẩn là t ( t dương vì x,y đều
dương),tham số là A.Do x,y dương nên A dương ( Tức là A
0≠
) ta không cần
xét A= 0 nữa.Để phương trình này có nghiệm dương thì
0∆ ≥
và tích các
nghiệm phải dương.

Đề thi vào lớp 10 Vinh Phúc 2012-2013
Tức là (-
3
)
2
- 4.A.(A-1)
0
≥
và A-1/A
≥
0 hay 4A
2
- 4A - 3
0
≤
và A-1/A
≥
0
hay (A -
3
2
)(A +
1
2
)
0
≤
và A-1/A
≥
0

*Do A dương nên (A +
1
2
) dương nên để (A -
3
2
)(A +
1
2
)
0
≤
thì A -
3
0
2
≤
hay
3
2
A ≤
.
*Do A dương nên để A-1/A
≥
0 thì A-1
≥
0 hay A
≥
1
Vậy:

* GTLN của A =
3
2
khi phương trình(*) có nghiệm kép t
1
= t
2
= 1/
3
hay
x = 1/
3
y hay x =
1
2
và y =
3
2
.
*GTNN của A =1 khi t
2
-
3
t = 0 hay t =
3
(do t dương) hay x =
3
y hay x=
3
2

và y =
1
2
Lưu ý :Đề ở trên Tôi đã chỉnh lại với điều kiện x,y dương để bạn đọc thấy cách
giải này rất phù hợp với học sinh .Nếu đề chi là x,y là các số thực thì lời giải sẽ
dễ hơn rất nhiều .