THI TUYỂN SINH lớp 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN nguyễn trãi toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN
NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2012- 2013
Môn thi: TOÁN (chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút
Đề thi gồm : 01 trang
Câu I (2,0 điểm)
1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử
2 2 2
a (b-2c)+b (c-a)+2c (a-b)+abc
.
2) Cho x, y thỏa mãn
2 2
3 3
x y- y +1+ y+ y +1
=
. Tính giá trị của biểu thức
4 3 2 2
A x +x y+3x +xy- 2y +1
=
.
Câu II ( 2,0 điểm)
1) Giải phương trình
2 4 2
(x - 4x+11)(x - 8x +21) 35=
.
2) Giải hệ phương trình
(
)
(

)
2 2
2 2
x+ x +2012 y+ y +2012 2012
x + z - 4(y+z)+8 0





=
=
.
Câu III (2,0 điểm)
1) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì (n
2
+ n + 1) không chia hết cho 9.
2) Xét phương trình x
2
– m
2
x + 2m + 2 = 0 (1) (ẩn x). Tìm các giá trị nguyên
dương của m để phương trình (1) có nghiệm nguyên.
Câu IV (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC ngoại tiếp đường tròn tâm O.
Gọi D, E, F lần lượt là tiếp điểm của (O) với các cạnh AB, AC, BC; BO cắt EF
tại I. M là điểm di chuyển trên đoạn CE.
1) Tính
·
BIF

.
2) Gọi H là giao điểm của BM và EF. Chứng minh rằng nếu AM = AB thì
tứ giác ABHI nội tiếp.
3) Gọi N là giao điểm của BM với cung nhỏ EF của (O), P và Q lần lượt là
hình chiếu của N trên các đường thẳng DE, DF. Xác định vị trí của điểm M để
PQ lớn nhất.
Câu V (1,0 điểm)
Cho 3 số a, b, c thỏa mãn
0 a b c 1
≤ ≤ ≤ ≤
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức
1 1 1
B (a+b+c+3) + +
a+1 b+1 c+1
 
 ÷
 
=
.
Hết
Họ và tên thí sinh………………………………. Số báo danh……………… ………………
Chữ kí của giám thị 1: ……………………… Chữ kí của giám thị 2: ……………………
ĐỀ CHÍNH THỨC
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT
CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2012 - 2013
HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN (chuyên)
Hướng dẫn chấm gồm : 03 trang

I) HƯỚNG DẪN CHUNG.
- Thí sinh làm bài theo cách riêng nhưng đáp ứng được yêu cầu cơ bản vẫn cho đủ điểm.
- Việc chi tiết điểm số (nếu có) so với biểu điểm phải được thống nhất trong Hội đồng
chấm.
- Sau khi cộng điểm toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm.
II) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM.
Câu Nội dung Điểm
Câu I (2,0đ)
1) 1,0 điểm
2 2 2 2 2 2
a (b - 2c) +b (c - a) + 2c (a - b) + abc=2c (a - b)+ab(a-b)-c(a ) ( )b ac a b− − −
0,25
2
( )[2 2 ]a b c ac ab bc= − − + −
0,25
( )[2 ( ) ( )]a b c c a b a c= − − + −
0,25
( )( )( 2 )a b a c b c= − − −
0,25
2) 1,0 điểm
Có
2 2
3 3
x = y- y + 1 y+ y + 1+

3 2 2 2 2
3 3 3 3
x = 2y +3 y - y + 1 . y+ y + 1 y- y +1 y+ y +1
 
⇒ +

 ÷
 
0,25
3
x + 3x -2y = 0⇒
0,25
4 3 2 2 4 2 3 2
A = x + x y + 3x - 2xy + 3xy - 2y + 1 = (x +3x -2xy) +(x y+3xy - 2y ) 1+
0,25
3 3
x(x +3x-2y) +y(x +3x - 2y) 1 1= + =
0,25
Câu II (1,0đ)
1)1,0 điểm
phương trình đã cho tương đương với
2 2 2
( 2) 7 ( 4) 5 35x x
   
− + − + =
   
(1)
0,25
Do
2
2 2 2
2 2
( 2) 7 7
( 2) 7 ( 4) 5 35
( 4) 5 5
x x

x x x
x x

− + ≥ ∀

   
⇒ − + − + ≥ ∀

   
− + ≥ ∀


0,25
2
2 2
( 2) 7 7
(1)
( 4) 5 5
x
x

− + =

⇔

− + =


0,25
<=>x=2 0,25

2)1,0 điểm
2 2
2 2
(x+ x +2012)(y+ y +2012) 2012 (1)
x + z - 4(y+z)+8=0 (2)

=




(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2
(1) 2012 2012 2012 2012 2012x x y y y y y y⇔ + + + + + − = + −
(Do
2
2012 0y y y+ − ≠ ∀
)
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2

2 2
2012 2012 2012 2012 2012 2012
2012 2012
2012 2012 2012 2012
2012 2012
x x y y x x y y
x y y x
y x y x
x y
y x
⇔ + + = + − ⇔ + + = + −
⇔ + = + − +
+ − + + + +
⇔ + =
+ + +
2 2
2 2
2 2 2 2
2012 2012
( ) 0
2012 2012 2012 2012
y y x x
y x
x y x y
y x y x
+ − + + +
−
⇔ + = ⇔ + =
+ + + + + +
0,25

Do
2
2 2
2
2012 | |
2012 2012 0
2012 | |
y y y y
y y x x y x
x x x x

+ >

+ + + + > =


+ >


0,25
Thay y=-x vo(2)
2 2 2 2
4 4 8 0 ( 2) ( 2) 0x z x z x z + + + = + + =
0,25
2
2
( 2) 0 2
2
2
( 2) 0

x x
y x
z
z

+ = =


= =

=
=



Vy h cú nghim (x;y;z)=(-2;2;2).
0,25
Cõu III (2,0)
1)1,0 im t A = n
2
+ n + 1 do
n

Â
n = 3k; n = 3k + 1; n = 3k + 2 (k
Â
) 0,25
* n = 3k => A khụng chia ht cho 9 (vỡ A khụng chia ht cho 3) 0,25
* n = 3k + 1 => A = 9k
2

+ 9k + 3 khụng chia ht cho 9. 0,25
* n = 3k +2 => A = 9k
2
+9k+7 khụng chia ht cho 9
Vy vi mi s nguyờn n thỡ A = n
2
+ n + 1 khụng chia ht cho 9.
0,25
2)1,0 im
Giả sử tồn tại m
*
Ơ
để phơng trình có nghiệm x
1
,

x
2
Theo vi-et:
2
1 2
1 2
2 2
x x m
x x m

+ =

= +

(x
1
- 1) (x
2
- 1) = - m
2
+ 2m + 3
0,25
Vi m
*
Ơ
. Ta có x
1
x
2

1
và x
1
+ x
2

4
m x
1
hoặc x
2
nguyên và
2 *

1 2
x x m+ = Ơ
*
1 2 1 2
, ( 1)( 1) 0x x x x Ơ
2
m 2m 2 0 (m 1)(m 3) 0 3m + + +
m {1;2;3}
0,25
Với m = 1; m = 2 thay vào ta thấy phơng trình đã cho vô nghiệm.
0,25
Với m = 3 thay vào phơng trình ta đợc nghiệm của phơng trình đã cho là x
=1; x = 8 thoả mãn. Vậy m= 3
0,25
Cõu IV (2,0)
1) 1,0 im V hỡnh ỳng theo yờu cu chung ca
M
H
A
C
K
I
E
B
O
D
F
0,25
Gi K l giao im ca BO vi DF =>
IKF

vuụng ti K 0,25
Cú
ã
ã
0
1
DFE= DOE=45
2
0,25
ã
0
BIF 45 =
0,25
2) 1,0 im
Khi AM = AB thỡ
ABM
vuụng cõn ti A =>
ã
0
DBH=45
.Cú
ã
0
DFH=45
=> T giỏc BDHF ni tip
0,25
=> 5 im B, D, O, H, F cựng thuc mt ng trũn. 0,25
=>
ã
ã

0
BFO=BHO 90=
=>
OH BM
, m
OA BM
=> A, O, H thng hng
0,25
·
·
0
BAH=BIH 45=
=> Tứ giác ABHI nội tiếp.
0,25
3) 1,0 điểm
P
Q
N
C
B
A
O
D
E
F
M
Có tứ giác PNQD nội tiếp = >
·
·
·

QPN=QDN=EFN
.
Tương tự có
· ·
·
NQP=NDP=FEN
=>
ΔNEF
và
ΔNQP
đồng dạng
0,25
=>
PQ NQ
= 1 PQ EF
EF NE
≤ => ≤
0,25
Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi P
≡
F; Q
≡
E => DN là đường kính của (O)
=> PQ lớn nhất bằng EF.
0,25
Cách xác định điểm M : Kẻ đường kính DN của (O), BN cắt AC tại M thì
PQ lớn nhất.
0,25
Câu V (1,0đ)
Đặt x=1+c, y=1+b, z=1+a do

0 a b c 1
≤ ≤ ≤ ≤
= >1
≤
z
≤
y
≤
x
≤
2
Khi đó A= (x+y+z)(
1 1 1
x y z
+ +
)=3+
3
x x y y z z
y z x z x y
+ + + + + +
0,25
.
1 1 0 1 0 1
.
.
1 1 0 1 0 1
.
2 2 2
x y x y x y x y x
y z y z y z y z z

z y z y z y z y z
y x y x y x y x x
x y z y x z x x y y z z x z
y z y x z x y z x z x y z x
 
 
− − ≥ ⇔ − − + ≥ ⇔ + ≤ +
 ÷
 ÷
 
 
 
 
− − ≥ ⇔ − − + ≥ ⇔ + ≤ +
 ÷
 ÷
 
 
 
⇒ + + + ≤ + + ⇒ + + + + + ≤ + +
 ÷
 
0,25
Đặt
x
z
= t =>
1 2t
≤ ≤

2 2
1 1 2 5 2 5 (2 1)( 2) 5
2 2 2 2
x z t t t t t
t
z x t t t t
+ − + − −
+ = + = = + = +
Do
1 2t
≤ ≤

⇒
(2 1)( 2)
2
t t
t
− −
0
≤

⇒
x z
z x
+
5
2
≤
⇒
A

5
3 2. 2 10
2
≤ + + =
0,25
Ta thấy khi a=b=0 và c=1 thì A=10 nên giá trị lớn nhất của A là 10 0,25