Đề thi thử Đại học môn Toán kèm hướng dẫn giải số 32

Trường THPT chuyên Lương Văn Chánh
KÌ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2010-2011
MÔN: TOÁN-KHỐI D
(Thời gian làm bài : 180 phút)
A. PHẦN BẮT BUỘC
Câu I(2 điểm). Cho hàm số y = x
3
– 2mx
2
+ m
2
x – 1 có đồ thị (C
m
) .
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (2 ; +
∞
).
Câu II (2 điểm).
1. Giải phương trình :






+=+
4
3sinsin222sinsin2
2
π

xxxx
2. Giải hệ phương trình:





=−
=+
yyyx
yyxx
32
23
2
CâuIII(1 điểm). Tính tích phân I =
∫
+
2ln3
0
3
2
x
e
dx
CâuIV(1 điểm).
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , góc giữa mặt bên và
mặt đáy bằng 60
0
. Tính thể tích hình chóp S.ABCD.
CâuV(1 điểm).

Cho 3 số dương x , y , z có tổng bằng 1. Chứng minh bất đẳng thức :

2
3
≤
+
+
+
+
+ yzx
zx
xyz
yz
zxy
xy
B. PHẦN TỰ CHỌN (Thí sinh chọn phần I hoặc II)
I- Chương trình chuẩn
CâuVIa(2 điểm).
1. Cho tam giác ABC có diện tích bằng 2 . Biết A(1;0) , B(0;2) và trung điểm I của
AC nằm trên đường thẳng y = x . Tìm toạ độ đỉnh C.
2. Trong không gian , cho mặt phẳng (P) và đường thẳng (d) có phương trình:
(P) : 2x + y + z – 1 = 0 , (d) :
3
2
12
1
−
+
==
− zyx

. Viết phương trình của
đường thẳng
( )
∆
qua giao điểm của (P) và (d) , vuông góc với (d) và nằm trong (P).
CâuVIIa( 1điểm). Giải phương trình :
2
4 2
1
log ( 2) log ( 2) 0
4
x x x x+ + + + − =
.
II- Chương trình nâng cao
Câu VIb(2điểm).
1. Trong mặt phẳng Oxy , cho hình chữ nhật ABCD , cạnh AB nằm trên đường
thẳng (
∆
) : 3x +4y +1 = 0 và AB = 2AD và giao điểm hai đường chéo là I(0 ;
)
2
1
.
Tìm phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD.
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;3) và B(3;-1;2) và
mp(P) : x – 2 y + 3z – 1 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua hai điểm A ,
B và vuông góc với mp(P).

CâuVIb(1điểm). Giải bất phương trình:
( )

2 2
log 3 1 log 1x x+ ≥ + −
……….HẾT…… www.laisac.page.tl


ĐÁP ÁN –KHỐI D
Câu Nội dung Th/điểm
A. Phần bắt buộc
CâuII
2điểm
1-(1đ)
Với m = 1 , hàm số y = x
3
– 2x
2
+ x – 1
* TXĐ: D = R
* Giới hạn :
±∞=
±∞→
y
x
lim
* y’ = 3x
2
– 4x + 1
1 1
'
1 23
3 27

x y
y o
x y
= ⇒ = −


⇒ = ⇔

= ⇒ = −

* y” = 6x – 4
27
25
3
2
0" −=⇒=⇔=⇒ yxy







−⇒
27
25
;
3
2
I

- điểm uốn
* Bảng biến thiên:

Hàm số tăng trên
( )
( )
+∞∞− ;1;
3
1
;
và giảm trên
( )
1;
3
1
* Đồ thị (Tự vẽ).


0,25


0,25


0,25
0,25
2 2- (1 điểm). Hàm số y = x
3
– 2mx
2

+ m
2
x – 1
* y’ = 3x
2
– 4mx + m
2
có
2
' m=∆




=
=
⇔=⇒
mx
m
x
y
3
0'
Với m > 0 ,
hàm số đồng biến trên
( )
2022,0';2 ≤<⇒≤⇔>∀≥⇔+∞ mmxy
(1)
Với m = 0 , y’ = 3x
2

x∀≥ ,0
,
nên hàm số tăng trên
( )
+∞;2
khi m = 0 (2)
Với m < 0 ,
hàm số đồng biến trên
( )
062
3
2,0';2 <⇒≤⇒≤⇔>∀≥⇔+∞ mm
m
xy
(3)
Theo (1) , (2) , (3) suy ra :
2
≤
m
hàm số đồng biến trên
( )
+∞;2

0,25
0,25
0,25
0,25
CâuII
2điểm
1- (1điểm) Giải phương trình :







+=+
4
3sinsin222sinsin2
2
π
xxxx











+=+
=⇔=
⇔







+=+⇔
)2(
4
3sin2cossin
)1(0sin
4
3sinsin22cossin2sin2
2
π
π
π
xxx
kxx
xxxxx
Phương trình (2) tương đương






+=+
4
3sin)
4
sin(
ππ

xx
0,25
0,25
y’
∞−
∞+
3
1
1x
0
0

y
+ +
__

∞+
y’
∞−
∞+
1x
0
0

y
+ +
__

∞+
-1

∞−




+−=
=
⇔






+−−=+
++=+
⇔
28
2
4
3
4
2
4
3
4
ππ
π
π
ππ

π
ππ
kx
kx
kxx
kxx
Vậy phương trình có nghiệm là x = k
28
,
ππ
π
kx +−=
.
0,25
0,25
2
2-1điểm Giải hệ phương trình:





=−
=+
yyyx
yyxx
32
23
2
Nhận xét (0 ; 0) là một nghiệm của hệ phương trình

Xét
0≠y
, cho hai vế hệ phương trình cho y
3
ta được hê:








=−








=









+








(2)
(1)
2
2
2
23
1
1
1
.2
yy
x
yy
x
y
x
thay (2) vào (1) ta được
02
23
=+









−








y
x
y
x
Đặt t =
10)22)(1(02
223
−=⇔=+−+⇔=+−⇒ tttttt
y
x
Với t = - 1 => y = - x ta được : x
3
– x

3
= - 2x => x = 0 và y = 0 (loại)
Vậy hệ phương chỉ có một nghiêm (0;0).
0,5
0,25
0,25
CâuII
I
1điểm
Tính tích phân I =
∫∫
+
=
+
2ln3
0
3
2ln3
0
3
2
2
x
x
e
dx
e
dx
Đặt t =
dt

t
dxdxedte
xx
3
3
1
33
=⇒=⇒
Đổi cận :



=⇒=
=⇒=
22ln3
10
tx
tx
I =
( )
( )
2
3
ln
6
1
2
ln
6
1

)2ln(ln
6
1
2
11
6
1
2
3
2
1
2
1
2
1
2
1
=
+
=+−=






+
−=
+
∫∫

t
t
ttdt
tttt
dt

0,25
0,25
0,5
CâuI
V
1điểm

Do S.ABCD hình chóp đều , nên SO là đường cao h/c
Gọi E là trung điểm CD , suy ra
CDOECDSE ⊥⊥ ,
Suy ra góc SEO là góc giữa mặt bên và mặt đáy
Và góc SEO = 60
0

Ta có : SO = OE tan60
0
=
2
3a
Đáy ABCD là hình vuông và S
ABCD
= a
2

Vậy : V
S.ABCD
=
6
3
.
3
1
3
a
Sh
đ
=
0,25
0,25
0,5
CâuV
1điểm
2
3
≤
+
+
+
+
+ yzx
zx
xyz
yz
zxy

xy
Ta có : x + y + z = 1
)1)(1(1 yxzxyyxz −−=+⇒−−=⇒
S
A
B C
D
E
O
( )( )








−
+
−
≤
−−
=
−−
=
+
⇒
y
x

x
y
y
x
x
y
yx
xy
zxy
xy
112
1
1111
TT:






−
+
−
≤
+









−
+
−
≤
+ z
x
x
z
yzx
zx
z
y
y
z
xyz
yz
112
1
;
112
1
2
3
1112
1
=









−
+
+
−
+
+
−
+
≤⇒
z
yx
y
zx
x
zy
VT
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z =
3
1
.
B Phần tự chọn
I-3đ
CâuV

Ia
2-
điểm
1-(1điểm)
Ta có :
( )
.52;1 =⇒−= ABAB
Phương trình AB là : 2x + y – z – 2 = 0.
I
xyd
=∈
:)(
suy ra I(t;t) . I là trung điểm của AC : C(2t – 1 ; 2t)
Theo bài suy ra : S
ABC
=




=
=
⇔=−⇔=
3
4
0
4462);(.
2
1
t

t
tABCdAB
Từ đó ta suy ra hai điểm C(-1;0) hoặc C






3
8
;
3
5
thoả mãn.
0,25
0,25
0,5
2-(1điểm)
Đường thẳng (d) :





−−=
=
+=
tz
ty

tx
32
21

(d) cắt (p) tại M
2
1
01)32()21(2 =⇒=−−−+++⇒ tttt
Vậy toạ độ điểm M là :
M









−=−−=
=
=+=
2
7
2
3
2
2
1
211

z
y
x






−⇒
2
7
;
2
1
;2M
Đường thẳng cần tìm đi qua điểm






−
2
7
;
2
1
;2M

và có hai véc tơ pháp tuyến
là
[ ]
)0;2;1()0;8;4(,)1;1;2(n)3;1;2(
p
−=⇒−==⇒=−=
∆
anaaa
pdd
,
Vậy phương trình đường thẳng
( )
∆
cần tìm là :









−=
−=
+=
2
7
2
2

1
2
z
ty
tx
0,25
0,25
0,25
0,25
CâuV
IIa
(1điể
ĐK x + 2 > 0 <=> x > - 2
Phương trình viết lại:
( )
2
2 2
1 1
log 2 log ( 2) 0
4 4
x x x x+ + + + − =

m)
Đặt : t = log
2
(x + 2) , ta được:
2
1 1
0
4 4

t xt x+ + − =


1
4 1
t
t x
= −

⇔

= − +

Với t = -1 <=> log
2
(x + 2) = -1 <=> x = - 3/2 (nhận).
Với t = - 4x + 1 <=> log
2
(x + 2) = - 4x + 1 (*)
Vp: hàm đồng biến ; Vt : hàm nghịch biến
Nên (*) chỉ có một nghiệm x = 0 (nhận)
Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 0 và x = - 3/2.
0,25
0,25
0,25
0,25
II.3đi
ểm
CâuV
Ib

(2
điểm)
1.(1đ) Ta có : AD = 2d(I ;
∆
) =
2 2
3 4 1 3 6
2
5 5
3 4
I I
x y
AB AD
+ +
= ⇒ = =
+
Đường chéo : BD =
2 2
6 5 3 5
5 2 5
BD
AB AD R+ = ⇒ = =
Vậy đường tròn ngoại tiếp ABCD là (C) :
2
2
1 9
2 5
x y
 
+ − =

 ÷
 

0;25
0,25
0,5
2 2.(1đ) Ta có : (Q) nhận hai véc tơ sau là chỉ phương

( ) ( )
( ) ( )
2; 3; 1 , 1; 2;3
, 7; 7; 1 7;7;1
p
p Q
AB n
AB n n
= − − = −
 
⇒ = − − − ⇒ =
 
uuur uur
uuur uur uur
Và (Q) chứa A(1;2;3) nên có phương trình :
7(x-1) + 7(y -2) +1.(z -3) = 0
Vậy (Q) : 7x + 7y + z – 24 = 0.
0,25
0,25
0,5
CâuV
IIb

(1điể
m)
Điều kiện :
3 1x− < ≠
Bpt
( )
2 2 2
2
3
log 3 log 1 1 log 1
1
3
2 3 2 1 3 14 5 0
1
1
5 5
3
x
x x
x
x
x x x x
x
x
+
⇔ + − − ≥ ⇔ ≥
−
+
⇔ ≥ ⇔ + ≥ − ⇔ − − ≤
−

⇔ − ≤ ≤
Vậy tập nghiệm bpt S =
1
;5
3
 
−
 
 
0,25
0,25
0,25
0,25